Mathe G27: Kubische Gleichungen und Polynomdivision

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 10. - 11. Klasse

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Das Lösen von Kubischen Gleichungen ist für manche Schüler eine große Herausforderung. Wir helfen euch und zeigen, welche Lösungsverfahren es gibt und wie ihr diese sicher anwendet. Insbesondere schauen wir uns die Polynomdivision an, die beim Lösen von kubischen Gleichungen hilft, denn sie macht aus einer Gleichung 3. Grades eine Gleichung 2. Grades (x³ → x²). Und diese Gleichung können wir dann mit Hilfe der p-q-Formel lösen.

Sinnvoll ist es, wenn ihr die Videos zu den Quadratischen Gleichungen bereits gesehen habt. Am Ende dieser Lektion werdet ihr in der Lage sein, kubische Gleichungen zu lösen und vor allem verstehen, wie die Polynomdivision funktioniert und warum.

Um eigene Aufgaben zu lösen, nutzt einfach das Mathe-Programm zum Lösen kubischer Gleichungen.

Mathe-Video G27-5 Gleichung 3. Grades lösen mit Polynomdivision und pq-Formel

Anwendung des neuen Wissens: Zuerst raten wir systematisch die erste Lösung der Gleichung x³-6x²+11x-6=0, danach wenden wir die Polynomdivision an und erhalten einen Term zweiten Grades, der null gesetzt wird und sich mit der pq-Formel lösen lässt.

Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

  • G27-1 Kubische Gleichungen - Einführung

    Bedeutung "kubisch". Allgemeinform und Normalform der kubischen Gleichung (Gleichungen 3. Grades), Auflistung von Lösungsverfahren, Anzahl von Lösungen (bzw. Nullstellen bei Deutung als Funktion), was ist ein Polynom und ein Monom, Einleitung zur Division von Polynomen.

  • G27-2 Kubische Gleichungen - Polynomdivision Verfahren

    Lösungsverfahren Polynomdivision, das den Grad des Polynoms vermindert, Wiederholung schriftliche Division, Einführung zum Verfahren der Polynomdivision am Beispiel (x²-4x-5):(x-5)

  • G27-3 Kubische Gleichungen - Polynomdivision Erklärung

    Wir erklären, warum die Polynomdivision funktioniert bzw. wie Polynome dividiert werden. Darstellung der Division als Bruch, Umformung mittels Erweitern des Zählers sowie Ergänzung des Zählerterms und anschließendes Kürzen.

  • G27-4 Kubische Gleichungen - Lösungsverfahren

    Lösung von (x³+6x²+11x+6):(x+1) mit Polynomdivision und p-q-Formel. Polynom in Linearfaktorform, Deutung als Funktionen. Lösen über Ausklammern, Lösen mit Wurzel bei reinkubischen Gleichungen. Erklärung der Polynomdivision mit Rest. Lösungsmenge Reelle und Komplexe Zahlen.

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Wissen zur Lektion

Was sind kubische Gleichungen?

Kubische Gleichungen sind Gleichungen dritten Gerades, also Gleichungen, deren höchste Potenz ein x³ ist.

Sie haben die Allgemeinform:

+ b· + c·x + d = 0
wobei man a, b, c und d Koeffizienten nennt.

Die einzelnen Summanden haben dazu auch noch folgende Namen:

heißt kubisches Glied.

heißt quadratisches Glied.

x heißt lineares Glied.

d heißt absolutes Glied.

Um die Normalform zu erzeugen, teilt man die Allgemeinform durch a, sodass ein 1·x³ entsteht:

+ b· + c·x + d = 0 | :a

a/a· + b/a· + c/a·x + d/a = 0

Setzen wir uns jetzt neue Variablen, um die Gleichung etwas übersichtlicher darzustellen:

b/a = r

c/a = s

d/a = t

Und man schreibt dann für die Normalform allgemein (Brüche ersetzt mit neuen Variablen):

+ r· + s·x + t = 0

Verschiedene Lösungsverfahren

Bestimmt man die Lösung einer kubischen Gleichung, so berechnet man die Nullstellen einer Funktion 3. Gerades. Diese Funktion sieht dann so aus:

f(x) = + r· + s·x + t

Möchte man eine solche Gleichung lösen, so gibt es mehrere Lösungsverfahren:

- Polynomdivision

- Grafisches Lösen

- Cardanische Formeln

- Newton-Verfahren

Wir konzentrieren uns aber zunächst einmal nur auf die Polynomdivision, da nur dieses Verfahren Thema des Schulstoffes ist.

Übrigens haben kubische Gleichungen in den reellen Zahlen mindestens eine und maximal drei Lösungen. Sie können also 1, 2 oder 3 Lösungen haben. Warum eine kubische Gleichung mindestens eine Lösung hat, machen wir uns klar, indem wir eine beliebige kubische Gleichung als Funktion mit Graphen betrachten:

funktionsgraph kubisch 1

Alle Gleichungen 3. Gerades haben diese oder eine ähnlich verlaufende Form des Graphen. Wenn wir x gegen unendlich laufen lassen, gehen auch die Funktionswerte (y) gegen unendlich. Wenn wir x gegen minus unendlich laufen lassen, gehen auch die Funktionswerte (y) gegen unendlich. Wenn die Werte von minus unendlich zu plus unendlich laufen (oder umgekehrt) und die Funktion stetig ist (also keine Definitionslücken hat, was bei Kubischen Gleichungen gegeben ist), sehen wir, dass die Funktion mindestens ein mal durch die x-Achse verlaufen muss. Die Funktion hat also mindestens eine Nullstelle. Damit wird klar, dass jede kubische Funktion mindestens eine Lösung haben muss.

Wer sich das nochmal genauer anschauen möchte, kann mit diesem Programm einige kubische Gleichungen erstellen und sehen, dass die Gleichung mindestens eine Lösung hat.

Die Polynomdivision

Um das Verfahren der Polynomdivision zu erklären, klären wir zunächst einmal, was überhaupt ein Polynom ist.

Ein Polynom ist ein Term, der aus einer Summe von Vielfachen von Potenzen besteht. Ein allgemeines Polynom sieht so aus:

a0 + a1·x1 + a2·x2 + a3·x3 + .... + an·xn

Einzelne Summanden eines Polynoms, zum Beispiel a2·x2 nennt man Monom.

Der Grad eines Polynoms entspricht der Höhe der größten Potenz des Polynoms. Ein Polynom n-ten Gerades hat also n als höchste Potenz. Wichtig ist, dass die Potenzen nur aus natürlichen Zahlen bestehen.

Ein Polynom 3. Gerades a0 + a1·x1 + a2·x2 + a3·x3 ist somit eine kubische Gleichung. a3 darf übrigens nicht gleich 0 sein, sonst würde x3 wegfallen.

Kommen wir nun zum eigentlichen Verfahren:

Mit der Polynomdivision schaffen wir es, den Grad eines Polynoms zu verringern. Das hilft uns enorm bei der Berechnung der Nullstellen eines Polynoms.

Bei einer Polynomdivision machen wir genau das, was der Name schon sagt. Wir dividieren ein Polynom durch ein zweites Polynom.

Wie genau das geht, machen wir uns jetzt an einem Beispiel anschaulich. Wir nehmen erstmal eine ganz normale Division:
12 : 4 = 3

Jetzt können wir die 12 auch als 3·4 schreiben.

(3 · 4) : 4 = 3

Setzen wir jetzt x = 4 erhalten wir:

(3 · x) : x = 3

Auch hier kürzt sich das x heraus und wir erhalten das selbe Ergebnis. Eine Division mit Variablen können wir also durchführen.

Setzen wir nun x=3 und nicht x=4:

(x · 4) : 4 = x

Hier kürzt sich nun die 4 wieder heraus.

Verändern wir unsere Gleichung, indem wir das x nun mit (x + 1) ersetzen. Dann erhalten wir:

(x + 1) · 4 : 4 = x+1

Den Divisor (die 4) verändern wir jetzt weiterhin und ersetzen die 4 mit (x - 5):

(x+1) · (x - 5) : (x - 5) = x+1

Die blau markierten Teile ergeben auch hier wieder 1. Somit bleibt unser Ergebnis x+1.

Multiplizieren wir jetzt einmal (x + 1) und (x - 5) aus, so erhalten wir:

(x + 1) · (x - 5) = x2 - 5x + x - 5 = x2 - 4·x - 5

Das setzen wir für den ersten Term, den Dividenden, ein:

(x2 - 4·x - 5) : (x-5) = x+1

Diese Gleichung ist eine Polynomdivision. Wir haben ein Polynom 2. Gerades und dividieren dieses durch ein Polynom 1. Gerades.

Die Zerlegung von (x2 - 4·x - 5), die wir benutzt haben, nennt man Linearfaktorzerlegung. Wir dividieren das Polynom 2. Gerades durch einen Linearfaktor des Polynoms und erhalten einen weiteren Linearfaktor.

Wir haben gesehen, dass man ein Polynom durch ein anderes dividieren kann. Schauen wir uns nun an, wie man so eine Polynomdivision ausführt, wenn man die Linearfaktorzerlegung nicht bereits vorher kennt.

Zunächst benötigen wir die Kenntnisse über die schriftliche Division. Machen wir eine kleine Wiederholung. Wir wollen 365 : 5 schriftlich berechnen. Das schreiben wir wie folgt auf:

365 : 5 = 73
-35
= 15
- 15
= 0

Wir schauen uns an, wie oft die 5 in die 36 passt. Die 5 passt 7 mal in die 36. Wir ziehen dies dann mit 5 multipliziert von der 36 ab. Dann holen wir die 5 von oben nach unten. Jetzt schauen wir uns an, wie oft die 5 in die 15 passt. Das ist 3 mal. Jetzt ziehen wir 3·5 von 15 ab und erhalten den Rest 0. Die 5 passt also 73 mal in die 365.

Die Polynomdivision beruht auf dem selbem Prinzip. Das machen wir uns an dem bereits bekannten Beispiel klar:

(Anschließend wird die schriftliche Division Schritt für Schritt dargestellt, um die einzelnen Schritte besser aufzuzeigen. Wenn man selber rechnet, hat man nur eine Rechung. Diese Rechnung gleicht der letzten Rechnung, die im Beispiel benutzt wurde. Die einzelnen Gleichungen sind also nur als Ganzes vollständig.)

(x2 - 4·x - 5) : (x - 5)

Wir müssen (x - 5) mit etwas multiplizieren, sodass wir die Elemente aus (x2 - 4·x - 5) erhalten. Als erstes wollen wir x2 erzeugen. Das machen wir, indem wir (x - 5) mit x multiplizieren, denn:

x · (x - 5) = x2 - 5·x

Man betrachtet also immer den höchsten Exponenten des Dividenden und versucht diesen zu erzeugen, indem man den höchsten Exponenten des Divisors mit etwas multipliziert.

Der erste Teil unserer Lösung ist also x. Wir schreiben schon mal:

(x2 - 4·x - 5) : (x - 5) = x ...

Da wir (x - 5) mit x multiplizieren, müssen wir (x - 5)·x von (x2 - 4·x - 5) abziehen:

(x2 - 4·x - 5) - (x - 5)·x = (x2 - 4·x - 5) - (x2 - 5 · x) = (x2 - 4·x - 5) - x2 + 5 · x = x - 5

Das müssen wir jetzt noch in unsere Rechnung schreiben, wie bei der schriftlichen Division schon gemacht:

(x2 - 4·x - 5) : (x - 5) = x...
-(x2 - 5·x)
= 0 + x - 5

Wir versuchen jetzt wieder den höchsten Exponenten des Rests (x - 5), also x, durch den höchsten Exponenten des Divisors, also auch hier x, darzustellen. Das schaffen wir durch eine Multiplikation mit 1. Wir können also die 1 an unsere Lösung heranhängen:

(x2 - 4·x - 5) : (x - 5) = x + 1 ....
-(x2 - 5·x)
= 0 + x - 5

Auch hier ziehen wir wieder 1·(x - 5)= x - 5 von dem Rest ab und erhalten:

(x2 - 4·x - 5) : (x - 5) = x + 1 ....
-(x2 - 5·x)
= 0 + x - 5
- (x - 5)
= 0

Da unsere Division nun keinen Rest hat, haben wir als Ergebnis (x + 1).

Noch einmal die vollständige Rechnung, so wie sie bei euch auf dem Papier aussehen sollte:

(x2 - 4·x - 5) : (x - 5) = x + 1
-(x2 - 5·x)
= 0 + x - 5
- (x - 5)
= 0

Machen wir noch einmal die Probe:

(x - 5) · (x + 1) = (x2 - 4·x - 5)

Wir haben also richtig dividiert.

Inwiefern hilft uns die Polynomdivision jetzt?

Haben wir eine Gleichung in dieser Form:

x2 - 4·x - 5 = 0

So können wir den linken Term als Linearfaktoren darstellen:

(x - 5) · (x + 1) = 0

Da bei einem Produkt nur einer der Faktoren 0 ergeben muss, damit das ganze Produkt 0 ergibt, können wir jetzt die Lösungen unserer Gleichung sogar ablesen. Es muss nämlich gelten:

(x - 5) = 0

oder

(x + 1) = 0

Als Lösungen haben wir somit x = -1 oder x = 5 .

Warum funktioniert die Polynomdivision?

Wir haben bereits eine Polynomdivision ausgeführt, ohne jedoch zu wissen warum wir diese Untereinander-Schreibweise überhaupt benutzen können. Auch hier gibt es wieder ein Beispiel, an dem erklärt wird, wieso unsere Schreibweise anwendbar ist.

Wir nehmen uns die Division:

(x2 + 6·x + 8) : (x + 4)

Wir wissen, dass wir diese Division auch aufteilen können:

(x2 + 6·x + 8) : (x + 4) = x2 : (x + 4) + (6·x + 8) : (x + 4)


Führen wir eine kurze Nebenrechnung durch:

Wir schreiben uns zunächst einmal (x + 4) als Dividend und versuchen dann ein x2 zu erzeugen. Dies schaffen wir, indem wir den Dividenden mit x multiplizieren:

x2 : (x + 4) → (x + 4) : (x + 4) → ( x· (x + 4)) : (x + 4) = (x2 + 4·x) : (x + 4)

Wir haben im Dividend ein 4·x zu viel. Deshalb ziehen wir 4·x im Dividenden wieder ab, um wieder unsere vorherige Gleichung zu erhalten:

(x2 + 4·x - 4·x) : (x + 4) = (x2 + 6·x + 8) : (x + 4)

Ziehen wir ein x nun wieder aus dem Dividenden:

( x· (x + 4) - 4·x) : (x + 4)

Wir teilen unsere Division wieder auf:

( x· (x + 4) - 4·x) : (x + 4) = x· (x + 4) : (x + 4) - 4·x : (4 + x)

Jetzt können wir bereits einen Teil der Division ausführen, da sich (x + 4) wegkürzt:

x · (x + 4) : (x + 4) - 4·x : (4 + x) = x - 4·x : (4 + x)


Kommen wir zurück zu unserer ursprünglichen Division und setzen das, was wir gerade erhalten haben, ein:

(x2 + 6·x + 8) : (x + 4) = x2 : (x + 4) + (6·x + 8) : (x + 4) = x - 4·x : (4 + x) + (6·x + 8) : (x + 4)

Jetzt fassen wir wieder zusammen:

x - 4·x : (4 + x) + (6·x + 8) : (x + 4) = x - (- 4·x + 6·x + 8) : (x + 4) = x - (2·x + 8) : (x + 4)

Wir ziehen wieder auseinander:

x - (2·x + 8) : (x + 4) = x - 2·x : (x+4) + 8 : (x+4)

Jetzt machen wir uns nach dem selben Prinzip wie vorhin wieder eine Nebenrechnung:

2·x : (x + 4) → (x +4) : (x + 4) → 2· (x + 4) : (x + 4) = (2·x + 8) : (x + 4)

2·x : (x + 4) = (2·x + 8-8) : (x + 4)= 2· (x + 4) : (x + 4) - 8 : (x + 4) = 2 - 8 : (x + 4)

Das setzen wir oben wieder ein:

x - (2·x + 8) : (x + 4) = x - 2·x : (x+4) + 8 : (x+4) = x - 2 - 8 : (x + 4) + 8: (x+4)

Hier fällt auf, dass sich die letzten beiden Glieder aufheben. Damit erhalten wir zuletzt:

(x2 + 6·x + 8) : (x + 4) = x - (2·x + 8) : (x + 4) = x - 2

Wir sehen also, dass unsere Division (x - 2) ergibt.

Mit der Untereinander-Schreibweise erreichen wir das gleiche Ergebnis, nur dass wir, wie dieses Beispiel zeigt, nicht einmal annähernd so viel Schreib- und Rechenarbeit haben. Dieses Beispiel sollte also nur verdeutlichen, warum wir die Division untereinander schreiben können. Hier noch einmal die selbe Division in kurzer Schreibweise:

(x2 + 6·x + 8) : (x + 4) = x - 2
-x2 - 4·x
= 2·x + 8
- 2·x - 8
= 0

Wenn man genau hinschaut, sieht man, dass sich die Schritte, die wir gerade durchgeführt haben, auch in der kurzen Schreibweise wiederfinden.

Lösen einer Kubischen Gleichung

Wie lösen wir jetzt eine Kubische Gleichung mit dem, was wir gerade gelernt haben?

Nehmen wir uns als Gleichung:

x3 + 6·x2 + 11·x + 6 = 0

Uns ist zusätzlich noch vorgegeben, dass x = (-1) die Gleichung löst.
Überprüfen wir dies einmal durch einsetzen:

(-1)3 + 6·(-1)2 +11·(-1) + 6 = 0

(-1) + 6 - 11 + 6 = 0

5 - 11 + 6 = 0

- 6 + 6 = 0

x = (-1) ist also eine Lösung.

Aus x = (- 1) folgt also, dass (x + 1) ein Linearfaktor des Polynoms ist.

Wir dividieren nun unser Polynom durch den Linearfaktor, um den Grad des Polynoms zu verringern. Unser Ziel ist es also, ein Polynom 2. Grades zu erhalten, da wir bereits wissen, wie man die Nullstellen eines solchen Polynoms bestimmt. Die einzelnen Schritte werden nun nicht mehr erklärt, da wir die ganz normale Polynomdivision durchführen:

(x3 + 6·x2 + 11·x + 6) : (x + 1) = x2 + 5·x + 6
-x3 - x2
= 5·x2 + 11·x + 6
- 5·x2 -5·x
= 6·x +6
- 6·x - 6
= 0

Es gilt also:

(x3 + 6·x2 +11·x +6) =(x + 1) · (x2 + 5·x +6)

Wir erinnern uns, dass ein Produkt gleich 0 wird, wenn einer der Faktoren gleich 0 wird.

Also:

(x + 1) = 0

x = -1

Diese Lösung kennen wir ja bereits, da sie vorgegeben war.

Oder:

(x2 + 5·x +6) = 0

Diese Gleichung können wir nun zum Beispiel mit der pq-Formel lösen:

x1,2 = (5/2) ± √( (5/2)2 - 6)

x1,2 = -(5/2) ± √(6,25-6)

x1 = -(5/2) + (1/2) = -(4/2) = -2

x2 = -(5/2) - (1/2) = (6/2) = -3

Wir haben also die Lösung L = { -2, -3, -1 }.

Damit wären wir mit unserer Rechnung fertig.

Grafische Lösung

Wir stellen die kubische Gleichung als Linearfaktoren da. Die Darstellung mit Linearfaktoren einer kubischen Gleichung sieht so aus:

(x - x1) · (x - x2) · (x - x3)

Die Linearfaktoren können wir auch bei unserer berechneten Lösung darstellen:

(x3 + 6·x2 +11·x +6) =(x + 1) · (x2 + 5·x +6) = (x + 1) · (x + 2) · (x + 3)

Betrachten wir, wie das Polynom als Graph aussieht. Auch die einzelnen Linearfaktoren stellen wir als lineare Funktionen da:

Funktionsgraph Kubisch 2

Wir sehen, dass die Nullstellen der einzelnen Geraden, die die Linearfaktoren darstellen sollen, die selben Nullstellen sind, die unser Polynom besitzt. Wir können die Gleichung in diesem Fall auch durch Ablesen der Nullstellen des Graphens lösen. Das Polynom nimmt den Wert an der Stelle x an, der dem Produkt der Werte der drei Geraden an der Stelle x entspricht.

Das sehen wir anhand der nächsten beiden Grafiken:

funktionsgraph kubisch 3

funktionsgraph kubisch 4

Besondere Fälle kubischer Gleichungen

1. Kubische Gleichungen ohne absolutes Glied

Möchten wir kubische Gleichungen lösen, bei denen das absolute Glied fehlt, zum Beispiel:

x3 + 4·x2 + 3·x = 0

so können wir direkt ein x ausklammern:

x·(x2 + 4·x + 3) = 0

Wir erhalten also direkt als eine Lösung x = 0.

Die anderen beiden Lösungen ergeben sich aus:

(x2 + 4·x + 3) = 0

Diese Gleichung können wir lösen. Wir erhalten mit der pq-Formel:

x1 = -1

x2 = 3

Und damit als Gesamtlösung L = { 0, -1, 3 }.

2. Reinkubische Gleichungen

Haben wir eine Gleichung, die nur ein kubisches Glied und ein absolutes Glied besitzt, zum Beispiel:

x3 - 27 = 0

formen wir diese einfach um und ziehen die dritte Wurzel:

x3 = 27

x = 3

Hier gib es nur eine Lösung L = { 3 } .

Hinweise zu Reihenfolge, Raten, Polynomdivision mit Rest

1. Reihenfolge

Beachtet, dass es wichtig ist, dass bei der Polynomdivision das Polynom in absteigender Reihenfolge angeordnet ist. Der höchste Exponent muss an erster Stelle stehen, danach der zweithöchste Exponent und so weiter. Das absolute Glied steht an letzter Stelle.

Wir müssen zum Beispiel folgendes Polynom umordnen, bevor wir versuchen, es zu lösen:

-3·x + 9 + x3 + x2 = 0

Umgeordnet:

x3 + x2 - 3·x + 9 = 0

2. Keine Nullstelle gegeben?

Haben wir keine Lösung vorgegeben, so müssen wir eine Lösung erraten. Für gewöhnlich macht man das, indem man ganze Werte um 0 in die Gleichung einsetzt.

Wir testen bei x3 + x2 - 3·x + 9 = 0 einfach mal ein paar Werte:

x = 0:

0 + 0 - 3·0 + 9 = 9

x = 1:

1 + 1 - 3·1 + 9 = 8

Das selbe machen wir auch für die Werte 2, 3, (-1), (-2), (-3).

Für x = -3 erhalten wir:

(-3)3 + (-3)2 - 3· (-3) +9 = -27 + 9 + 9 + 9 = 0

Damit hätten wir eine Lösung x = -3. Der dazugehörige Linearfaktor ist (x+3). Wir können nun eine Polynomdivision durch (x + 3) durchführen, um weitere Lösungen zu bestimmen.

Mit der Polynomdivision erhalten wir:

x3 + x2 - 3·x + 9 : (x + 3) = x2 - 2·x + 3

Wenden wir auf diesen Term die pq-Formel an, so haben wir unter der Wurzel einen negativen Wert. Es gibt also keine weitere Lösung der Gleichung. Unser x = -3 ist die einzige Lösung.

3. Polynomdivision mit Rest

Erhalten wir bei der Polynomdivision mit einem Linearfaktor einen Rest, so haben wir uns entweder verrechnet oder die angebliche Nullstelle, aus der wir den Linearfaktor erstellt haben, ist überhaupt keine Nullstelle. Es ist also sinnvoll, wenn man zunächst einmal überprüft, ob die gegebene Nullstelle überhaupt eine Nullstelle ist.

Mathe-Programme Kubische Gleichungen

Beim folgenden Matheprogramm könnt ihr eigene kubische Gleichungen eingeben, es berechnet euch die Lösungen und stellt die Gleichung als Funktionsgraph dar! Nutzt es, um zum Beispiel die Lösungen eurer Hausaufgaben auf Richtigkeit zu kontrollieren:

  • Kubische Gleichungen lösen Kubische Gleichungen lösen
    Dieses Programm löst beliebige kubische Gleichungen und stellt die Gleichung als Funktion dar (Nullstellen sind die Lösungen).

Zusätzlich findet ihr in der Formelsammlung das neue Programm: Kubische Gleichung online berechnen, mit dem ihr eure Lösungen kontrollieren könnt.

Weitere Lernprogramme aufrufen

Übungsaufgaben

Nachfolgend findet ihr Aufgaben zum Thema "Kubische Gleichungen", mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.

A: Allgemeine Fragen zu den kubischen Gleichungen

1. Wieviele Lösungen kann eine kubische Gleichung im Reellen maximal haben? Wieviele Lösungen hat sie mindestens?

2. Wie kann man ein Polynom 3. Grades der Form a·x3 + b·x2 + c·x + d mit den Nullstellen x1, x2, x3 in anderer Form darstellen? Wie sieht diese Form aus?

3. Was erreicht man durch Anwenden der Polynomdivision mit einem Linearfaktor bei einer kubischen Gleichung?

4. Was macht man, wenn man eine kubische Gleichung lösen soll, aber gar keine Lösung vorgegeben ist?

5. Eine kubische Gleichung hat kein absolutes Glied. Was kann man daraus direkt schließen?

B: Polynomdivision

Führe für jede Aufgabe die Polynomdivision aus:

1. Aufgabe

(x2 + 3·x - 18) : (x - 6)

2. Aufgabe

(x2 - 49) : (x - 7)

3. Aufgabe

(x3 + 7·x2 + 14·x + 8) : (x+1)

4. Aufgabe

(x3 + 9·x2 - 9·x - 81) : (x-3)


C: Kubische Gleichungen

Löse die folgenden kubischen Gleichungen, finde alle Lösungen für x.

1. Aufgabe

x3 + 13·x2 + 52·x + 60 = 0 Bekannte Nullstelle: x1 = -2

2. Aufgabe

x3 - 125 = 0

3. Aufgabe

x3 + 8·x2 + 12·x = 0

4. Aufgabe

x3 - 6·x2 - 88·x + 192 = 0

5. Aufgabe

5x3 - 15·x2 + 15·x = 5

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Untertitel

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Video Teil 1: Einführung Kubische Gleichungen

Hallo liebe Schüler und willkommen zur nächsten Lektion. In dieser Lektion schauen wir uns die kubischen Gleichungen an. Klären wir als erstes, was kubisch überhaupt bedeutet. Kubisch kommt aus dem griechischen, von „kubos“ und bedeutet „Würfel“. Und blickt man weiter zurück, so sieht man, dass das Wort aus dem indoeuropäischen stammt und so viel wie „rollen“ oder „drehen“ heißt. Was ja zum Würfel passt. In unserer heutigen Sprache finden wir das Wort bei zum Beispiel bei „Kubus“, das ist ein anderes Wort für Würfel, das man auch im Deutschen benutzt. Oder aus dem Alltag mit „Kubikmeter“. Und warum heißen die kubischen Gleichungen wohl kubische Gleichungen? Wenn wir uns jetzt mal den Würfel kurz anschauen, dann wissen wir bei einem Würfel sind alle Seiten gleich lang. Das heißt, wenn wir das Volumen berechnen wollen, müssen wir die Breite, die Höhe und die Tiefe multiplizieren. Also das Würfelvolumen ergibt sich aus x*x*x. Und das können wir jetzt als Potenz schreiben, als x³. Und da bei Gleichungen 3ten Grades die höchste Potenz x³ ist, nennt man sie auch kubische Gleichungen. Und diese betrachten wir uns jetzt. Wir hatten ja vorher die quadratischen Gleichungen kennen gelernt, mit einer Allgemeinform und einer Normalform. Genau diese beiden Formen haben wir auch bei den Gleichungen dritten Grades, bei den kubischen Gleichungen und wir schreiben sie wie folgt. Wir haben ein a*x³ + b*x² + c*x + d ist gleich 0. Wir haben hier also die Koeffizienten a, b, c und d und unsere Unbekannten x³, x² und x. Und ebenso wie bei den quadratischen Gleichungen haben unsere Bestandteile Namen. Das hier ist das kubische Glied, das hier das quadratische Glied, das hier das lineare Glied und das, das absolute Glied. An der Stelle sei erwähnt, es ist hilfreich, wenn ihr die Lektion „Quadratischen Gleichungen“ vor dieser Lektion gesehen habt. So, und wie kriegen wir jetzt die Normalform? Wenn wir diese Gleichung durch a dividieren, fällt das a vor dem x³ weg und diese Gleichung nennt man dann Normalform. Hier ist 1*x³. Und hier sind die Koeffizienten durch a dividiert. Und da kann man hier statt b/a, c/a und d/a auch r, s und t schreiben. Gut, Frage ist, wie lösen wir eine kubische Gleichung? Und grundsätzlich, wie viele Lösungsmöglichkeiten gibt es überhaupt? Als Lösungsverfahren sind in der Schulmathematik geläufig, die Polynomdivision und das graphische Lösen. Es gibt aber noch weitere Verfahren, die jedoch nicht in der Schulmathematik behandelt werden. Diese heißen Cardanische Formeln. Mit diesen kann man kubische Gleichungen direkt lösen. Auch kann man bei den kubischen Gleichungen und Gleichungen höheren Grades das sogenannte Newton-Verfahren anwenden, mit dem man sich an eine Lösung annähert. Das Newton-Verfahren werden wir in anderen Lektionen erklären. Es gibt aber auch noch weitere Verfahren, doch wir konzentrieren uns in dieser Lektion, auf das was ihr in der Schule lernt und zwar die Polynomdivision. Noch ein Wort zu der Anzahl der Lösungen von kubischen Gleichungen. Es können entweder 1, 2 oder 3 Lösungen sein. Das Schöne an den kubischen Gleichungen ist, sie haben immer mindestens eine Lösung. Und das könnt ihr euch graphisch vor Augen führen, denn wir sagten ja, man kann jede Gleichung als Funktion verstehen. Also so etwas wie x³ gleich 0 können wir auch als Funktion verstehen, als f(x) gleich x³, eine kubische Funktion, ist gleich 0. Das heißt wir suchen die Nullstelle dieser Funktion. Und wenn wir uns das graphisch anschauen, dann seht ihr, erhalten wir diesen Graphen, der bei x gleich 0, eine dreifache Nullstelle hat. Also er geht hier bei x gleich 0 durch und dann weiter nach oben. Und bei den kubischen Funktionsgraphen, haben wir meist einen so geschwungenen Graphen. Also wir können jetzt noch ein anderes Beispiel wählen. Setzen wir bei dem x den Koeffizient -1 ein. Und wir sehen wir haben jetzt hier 1, 2, 3 Nullstellen und diesen schön geschwungenen Graphen. Und wie gesagt, wir werden immer mindestens eine Nullstelle haben. Bei diesem Beispiel haben wir 1, 2, 3 Nullstellen. Schieben wir den Graph ein bisschen nach oben, indem wir hier zum Beispiel eine 2 einsetzen, sehen wir, haben wir nur noch eine Nullstelle im Bereich der reellen Zahlen. Gut, wir merken uns also, es gibt 1, 2 oder 3 Nullstellen im Bereich der reellen Zahlen. Bei den sogenannten komplexen Zahlen, die wir uns in späteren Lektionen anschauen, haben wir stets drei Lösungen, aber in den uns jetzt bekannten Zahlen, haben wir 1, 2 oder 3 Lösungen. Gut, so viel zur Einleitung. Lösen wir als nächstes eine kubische Gleichung mit einem der bekanntesten Verfahren, der sogenannten Polynomdivision.
Schauen wir uns also im Folgenden an, wie wir die sogenannte Polynomdivision benutzen können, um Lösungen für kubische Gleichungen, also Gleichungen dritten Grades, zu ermitteln. Dieses Verfahren eignet sich übrigens auch um die Lösungen für quadratische Gleichungen zu ermitteln. Was heißt Polynom überhaupt? Das Wort „polynom“ kommt aus dem griechischen und meint so viel wie „mehrnamig“. Und in der Mathematik ist ein Polynom ein Term. Und zwar konkret eine Summe aus Vielfachen von Potenzen. Also allgemein geschrieben: a_0 + a_1*x^1 + a_2*x^2 + a_3*x^3 usw., also bis zu einem beliebigen Glied a_n*x^n. Und für ein Beispiel nehmen wir ein Polynom dritten Grades und wir setzen jetzt für a_3, a_2, a_1 und a_0 jeweils beliebige Werte ein. Und schon haben wir ein Beispiel für ein Polynom. Wichtig ist außerdem, dass ihr euch merkt, dass ihr hier oben für den Exponenten immer natürliche Zahlen eintragt. Also hier oben darf jetzt nicht eine 2,5 stehen oder dergleichen, sondern immer nur 1, 2, 3 und so weiter. Noch als Hinweis, es gibt nicht nur Polynome, sondern auch Monome und ein Monom ist hier ein Element. Also a_1*x^1 ist ein Monom, a_2*x^2 ist ein Monom. a_3*x^3 ist ein Monom und so weiter. Also ein Polynom besteht aus Monomen. Das aber nur als zusätzliches Wissen. Okay, was kann man sich jetzt unter einer Polynomdivision vorstellen? Und hierfür fangen wir wieder einfach an, wir schreiben erst einmal eine Division mit zwei natürlichen Zahlen. Und zwar 12:4. Und da wissen wir, da kommt 3 heraus. Lasst uns jetzt den Term 12 einmal verändern. Und zwar schreiben wir diesen jetzt in Klammern. Und wie ergibt sich 12? Richtig, aus, zum Beispiel, 3*4. Das heißt, wenn wir 3*4 durch 4 rechnen, erhalten wir immer noch 3. Wir ziehen sozusagen die 4 mit der durch 4 hier raus und die 3 bleibt als Ergebnis übrig. Als nächstes können wir die 4 sozusagen verstecken. Wir schreiben jetzt anstatt 4 mal ein x. Und auch hier gilt, (3*x):x ist wieder 3. Durch das durch x, ziehen wir das x hier aus diesem Term heraus. Oder wir können auch die 4 stehen lassen und die 3 mit einem x ersetzen. Das würde dann so aussehen. (x*4):4 ist wieder x. Verändern wir unsere Gleichung weiter. Wir wollen bei dem x einfach eine 1 heraufaddieren. Also bei x*4 schreiben wir jetzt eine (x+1) und dann die mal 4. Und was kommt dann hier raus? Mal 4 durch 4, richtig, (x+1). Und jetzt verändern wir hier unseren Faktor und hier unseren Divisor. Wir schreiben jetzt nicht 4 und 4, sondern (x-5). Und obwohl unsere Gleichung jetzt schon schwieriger aussieht, haben wir immer noch hier rechts (x+1) als Ergebnis. Also (x+1) mal diese Klammer durch die gleiche Klammer ist wieder (x+1). Und jetzt können wir mal diese Klammer mit dieser Klammer verrechnen und wir erhalten folgendes: x*x ist x² plus x*(-5) sind -5x plus 1*x sind 1x plus 1*(-5) sind -5. Setzen wir noch eine Klammer drum herum und schreiben die durch (x-5) dahin. Und was kommt hier raus? Richtig, immer noch x+1. Die verschiedenen Beispiele, die wir euch gerade gezeigt haben, sollten euch klar machen, dass eine Division auch mit Variablen möglich ist, bzw. mit Klammern, die Variablen enthalten. Wir haben hier ein quadratische Gleichung, den wir durch einen sogenannten Linearfaktor dividieren und wir erhalten einen weiteren Linearfaktor. Und wir erkennen, dass dieser quadratische Term auch geschrieben werden kann mit zwei Klammern, die jeweils ein x enthalten und wir dann mit dieser durch (x-5), dieses (x-5) entfernen und (x+1) als Ergebnis übrig bleibt. Mit anderen Worten bei der Polynomdivision ziehen wir einen Faktor aus dem Term. Auch wenn der Term als Polynom geschrieben wurde. Und wenn wir das hier noch zusammenfassen, sieht das dann so aus. Das heißt dividieren wir x²-4x-5 durch den Term (x-5), dann können wir uns denken, dass wir das als (x+1)*(x-5) schreiben können und dann da die (x-5) herausziehen, so dass dann (x+1) übrig bleibt. Als nächstes zeigen wir euch, wie wir diese Division ohne Kenntnis dieser beiden Klammern, also dieser beiden Linearfaktoren auflösen können, so dass sich dann (x+1) ergibt. Also wir dividieren jetzt das Polynom durch die (x-5). Und wie das genau funktioniert, das schauen wir uns im Folgenden an.

Video Teil 2: Verfahren der Polynomdivision

Bevor wir diese Aufgabe lösen, sagen wir noch kurz wofür wir die Polynomdivision brauchen. Und zwar hilft sie uns den Grad eines Polynoms zu verringern. Also hier haben wir ein x², also ein Polynom zweiten Grades. Teilen wir das durch ein Polynom ersten Grades erhalten wir ein Polynom ersten Grades. Also hier wird irgendetwas mit x + und dann eine Zahl herauskommen. Bzw. es könnte noch vor x ein Koeffizient stehen. Wenn wir ein x³ hätten und das jetzt zum Beispiel durch x teilen würden, richtig, würden wir ein x² erhalten. Das ist ein sehr simples Beispiel, dass jedoch den Zusammenhang verdeutlicht. Also x³, wir teilen durch x und erhalten x². Durch die Division hat sich der Grad unseres Polynoms verringert. Und wenn wir unser Beispiel hier oben zweiten Grades durch ein Polynom ersten Grades dividieren, erhalten wir ein Polynom ersten Grades. Und wir können nachher damit die Lösungen schneller finden. Bzw. wie wir nachher sehen haben wir eine kubische Gleichung und teilen diese durch ein Polynom ersten Grades, dann erhalten wir ein Polynom ersten Grades, also eine quadratische Gleichung. Und diese können wir mit de pq-Formel zum Beispiel lösen. Im Folgenden zeigen wir euch die Polynomdivision, wie ihr sie in der Schule lernt, also das Verfahren und zwar ähnelt das der schriftlichen Division, die wir so kennen gelernt haben. Hier ein Beispiel: 365:5. Wir nehmen uns die 36. Schauen wie oft die 5 hier reinpasst. Das ist 7mal. Dann rechnen wir 7*5 sind 35 und ziehen die 35 von den 36 ab, der Rest ist 1. Dann schauen was hier oben noch ist, das sind 5. Also haben wir dann 15. Und wie kommen wir von 5 auf 15? Richtig, mit der 3. Also 3*5 sind 15, das ziehen wir ab und 0 bleibt übrig. Also hier und hier können wir noch die Minuszeichen davor schreiben. Und so wie die schriftliche Division funktioniert auch unsere Polynomdivision, wie ihr im Folgenden sehen werdet. Es ist übrigens kein Problem, falls ihr am Anfang nicht ganz versteht, wie es funktioniert, denn im Nachhinein zeigen wir euch, warum die Polynomdivision überhaupt funktioniert und was eigentlich für ein Mechanismus dahinter steckt.
Wie können wir jetzt also diese Division rechnen, bei der wir ein Polynom durch einen Term in Klammern dividieren, bzw. das ist ja auch ein Polynom. Wir dividieren also ein Polynom durch ein Polynom und deswegen heißt das ganze Polynomdivision. Das Verfahren geht wie folgt: Wie müssen versuchen mit einer Multiplikation mit dieser Klammer, das jeweilige Element zu erzeugen. Was heißt das? Hier haben wir ein x² als erstes stehen. Was müssen wir jetzt mit (x-5) multiplizieren, dass wir ein x² erhalten? Und richtig, wenn wir ein x mit (x-5) multiplizieren erschaffen wir ein x². Also hier als Nebenrechnung: x*(x-5) und wir erhalten x*x-x*5. Und na klar x*x sind natürlich x². Und x*5 können wir schreiben als 5x. Das heißt, wenn wir hier ein x multiplizieren erhalten wir ein x² und das brauchen wir auch hier oben. Also x wäre der erste Teil unserer Lösung. Auf unser x wären wir übrigens auch gekommen, indem wir gefragt hätten, was ergibt x²:x. Die Antwort lautet x. Wir multiplizieren also x*(x-5) und schreiben das Ergebnis hier runter mit x²-5x. Und im nächsten Schritt müssen wir diesen Term von dem Polynom abziehen. Wir müssen an dieser Stelle x²-5x abziehen, weil dieser Term durch unser ermitteltes x zustande kommt. Also wir können uns überlegen. Grundsätzlich a:b ist ein Wert c, dann muss b*c wieder a sein. Und genauso gilt das hier oben, wir haben für a (x²-4x-5), teilen den durch (x-5) und erhalten den ersten Teil unserer Lösung, das x. Also den ersten Teil von c. Wenn wir also x mit (x-5) multiplizieren, tragen wir das mal hier ein, und tragen wir noch unser Polynom für a ein, dann sehen wir, rechnen wir das jetzt aus: x*x sind x² minus 5*x, sind 5x. Und wenn wir jetzt sozusagen den nächsten Teil unserer Lösung ermitteln wollen, entfernen wir die Elemente, die wir mit unserer Lösung bereits erhalten. Wir ziehen also von unserem Polynom, die x² und die -5x ab. Wir formen die Gleichung um. x² und -5x gehen auf die linke Seite. So können wir jetzt auflösen: Minus vor der Klammer und x² wird negativ und -5x wird 5x. Und wir sehen -x²+x², die beiden fallen weg und wir verrechnen -4x+5x zu 1x. Und es bleibt stehen 1x-5 = 0. Und die 1x-5, die brauchen wir für den zweiten Teil unserer Lösung, den wir gleich hier ergänzen werden. Diese Aufstellung diente dazu, euch zu zeigen, warum wir denn jetzt ein x²-5x vom Polynom abziehen. Wir entfernen sozusagen das, was wir bereits durch den ersten Teil der Lösung ermittelt haben. Gut, machen wir mit unserer Lösung weiter und ziehen den Term vom Polynom ab. x² wird zu -x² und -5x wird +5x. Als nächstes subtrahieren wir die Elemente untereinander. x²-x² ist 0, die brauchen wir nicht hinschreiben. -4x+5x ist 1x. Jetzt müssen wir wieder überlegen, was müssen wir mit dieser Klammer multiplizieren, so dass wir auf ein x kommen? Und richtig, das ist 1 mal diese Klammer. Also schreiben wir unten 1*(x-5) und wir erhalten 1x-5. Die nächste Lösung, die wir oben eintragen, ist also 1. +1. Und an dieser Stelle wieder der Hinweis, auf die 1 wären wir auch gekommen, indem wir x durch dieses x dividiert hätten, denn x durch x ist 1. Und jetzt schreiben wieder hier in die nächste Zeile 1*(x-5). Also das ist ja 1x-5, das schreiben wir hier hin, setzen es wieder in Klammern und ein Minus davor, denn wir wollen es von 1x abziehen. Jetzt verändern sich wieder die Vorzeichen. 1x wird -1x und -5 wird +5. Und wir verrechnen 1x-1x ist 0, das schreiben wir nicht mehr mit. Und jetzt ist hier eine +5 übrig und wir können dann die von oben runter nehmen und sehen -5+5, richtig, ergibt 0. Der Rest ist 0, das heißt unsere Division ist aufgegangen und wir haben hier unser x+1, als Ergebnis und wie wir schon im letzten Teil gesehen hatten: das ist auch richtig! Denn (x+1)*(x-5) ergibt diesen Term. Und das können wir jetzt gerne testen, multiplizieren wir diesen Divisor mit unserer Lösung. Da nutzen wir das Distributivgesetz und multiplizieren (x-5) mit x und mit 1. Und wir schreiben. Und dann rechnen wir das aus. Das ist x²-5x und das hier ergibt x-5 und dann fassen wir das zusammen: -5x+x sind -4x. Und wir sehen, wir haben hier unser Polynom x²-4x-5, das wir auch hier oben haben, als Dividend. Also unsere Lösung mit (x+1) ist korrekt. Und hier seht ihr auch die einzelnen Schritte x²-5x + x-5 in dieser Zeile, also die einzelnen Schritte dieser Subtraktion. Hier ist -x²+5x. x²-5x hebt sich auf. Und hier -x+5 und hier +x-5. Das sind die Teilergebnisse, die wir benutzt haben für unsere schriftliche Division. Und hätten wir jetzt folgende Gleichung: x²-4x-5 gleich 0, also das Polynom wird 0 gesetzt, dann könnten wir jetzt x²-4x-5 schreiben als (x-5)*(x+1) und wir können sofort die Lösung ablesen, denn wenn eine Klammer 0 ist, wir der gesamte Term 0 und die Gleichung stimmt. Also wenn hier x -1 ist, wäre das 0. Das ist unser erstes Ergebnis. Und wenn x +5 wird, wird diese Term 0. Das ist unser zweites Ergebnis. Und schon hätten wir diese Gleichung gelöst mit den Lösungen -1 und 5. Gut, jetzt haben wir euch die Polynomdivision anhand eines Beispiels einer quadratischen Gleichung gezeigt, ein Polynom zweiten Grades, das gleiche Verfahren funktioniert auch für Gleichungen dritten Grades, also unseren kubischen Gleichungen. Auch bei denen können wir unsere Polynomdivision durchführen. Und nicht nur bei Polynomen zweiten und dritten Grades, sondern die Polynomdivision funktioniert auch bei Polynomen höheren Grades, also vierten Grades, fünften Grades und so weiter. Bevor wir euch jetzt die Polynomdivision für eine kubische Gleichung zeigen, wollen wir noch aufklären, warum dieses Verfahren überhaupt funktioniert. Denn der ein oder andere fragt sich, wie kann es sein, dass wir hier x mit dem multiplizieren, das abziehen, dann 1 mit dem multiplizieren und das abziehen und wir nachher die richtige Lösung erhalten. Es ist ja keine Zauberei, sondern Mathematik. Und genau das wollen wir euch im Folgenden Video anhand eines weiteren Beispiels erklären.

Video Teil 3: Erklärung der Polynomdivision

Erinnern wir uns grundsätzlich an die Division. Hier ein einfaches Beispiel 18:5. Wenn wir das Lösen wollen, können wir die 18 als 15+3 schreiben. Und dann die durch 5 auf die 15 und auf die 3 ziehen. So erhalten wir 15/5 + 3/5. Und 15/5 sind natürlich 3, also 3 + 3/5. Die 5 steckt also 3mal in der 18 und dann nochmal, im Anteil, 3/5. Und natürlich 3/5 sind 0,6, also 3,6 wäre das als Dezimalzahl. Aber hier sehen wir, die 3 ist die ganze Zahl, die in der 18 steckt, und hier ist ein Rest. Und das Verfahren der Polynomdivision funktioniert ebenfalls mit Resten. Und zwar wie folgt: hier sei ein Beispiel gegeben (x²+6x+8) : (x+4). Und diesen Gesamtterm wollen wir jetzt umformen, so dass hier nachher unsere Lösung herauskommt. Und ihr vor allem versteht, warum die Polynomdivision überhaupt funktioniert. Und was wir als erste machen ist, wir schreiben das als Bruch. Das heißt (x+4) ist der der Nenner und die große Klammer ist der Zähler. Und jetzt ist es wichtig, dass ihr die Bruchregeln beherrscht, denn da hatten wir gelernt, denn da hatten wir gelernt, wir dürfen den Nenner auf die einzelnen Summanden im Zähler ziehen. Und genau das machen wir, wir ziehen die (x+4) auf das x² und auf die 6x+8. Also wie folgt: Hier ist das x² mit der durch (x+4). Und hier sind (6x+8) mit der (x+4). An dieser Stelle wollen wir x² durch (x+4) dividieren. Wie machen wir das? Und dazu betrachten wir uns diesem Term allein hier unten. Als Nebenrechnung sozusagen. Wir wollen jetzt hier im Zähler ein (x+4) erzeugen, so dass wir das hier oben heraus dividieren können. Und hier bietet es sich an ganz einfach in den Zähler ein (x+4) zu schreiben und jetzt zu überlegen, wie kann man dort ein x² schaffen? Und wir erkennen, dass wenn wir diese Klammer mit x multiplizieren hätten wir ein x². Rechnen wir das jetzt aus sehen wir jedoch, dass die beiden Terme nicht gleich sind, also hier ist ein x² und hier ist ein x²+4x, die 4x sind zu viel, das heißt um eine Gleichheit herzustellen müssen wir 4x im Zähler abziehen. Schreiben wir sie also hinzu. Jetzt haben wir x²+4x-4, das heißt es bleibt x² übrig. Und wir hätten dann x²/(x+4). Wir können also hier ein ist gleich setzen. Und jetzt schreiben wir x²+4x nochmal wie wir es gerade hatten. Und zwar mit einer Klammer und wir sehen, das ist immer noch das gleiche. Also x²+4x haben wir jetzt wieder geschrieben als x*(x+4) und dann hinten noch die -4x und das ist immer noch das gleiche wie x²/(x+4). Nehmen wir diesen Term jetzt mal weg und ziehen als nächstes diesen Nenner auf diesen Teil und auf diesen Teil. Denn jetzt sehen wir, können wir (x+4) und dieses (x+4) miteinander wegdividieren, so dass nur noch x übrig bleibt. Wir haben jetzt also das x² durch (x+4) dividiert und ein x erhalten und den Rest -4x/(x+4), wir haben also x² sozusagen aufgelöst zu einem x, mit einem Rest. Schreiben wir das auf eine Zeile und ersetzen jetzt unseren Term x²/(x+4), also diesen, mit x - 4x/(x+4), so erhalten wir diesen Term. Und als nächstes gilt es die 6x durch x+4 zu rechnen. Also die (x+4) auf 6x und auf 8 zu schreiben. Also hier und hier. An dieser Stelle sehen wir, dass wir -4x und +6x zusammenfassen können zu, richtig, +2x. Und jetzt rechnen wir 2x/(x+4) in einer Nebenrechnung. Und jetzt müssen wir wieder oben im Zähler ein (x+4) schaffen. Was müssen wir hier multiplizieren, dass wir nachher mindestens ein 2x dastehen haben? Und richtig, das ist 2. Multiplizieren wir das jetzt aus, so ergibt sich 2*x+2*4, also 2x+8. Wir sehen also, wir haben hier die 2x erzeugt, die wir auch hier brauchen. Hier im Zähler ist jedoch die 8 zu viel, das heißt wir müssen eine -8 ergänzen. Nun dürfen wir hier ein = setzen, denn diese beiden Terme sind jetzt gleich. Und hier ist nochmal unser Term mit der (x+4) und der -8. So und jetzt können wir hier die (x+4) mit der (x+4) verrechnen, dazu schreiben wir die Division (x+4) auf diesen Teil und auf diesen Teil. Und jetzt (x+4)/(x+4), das kürzt sich weg, wir erhalten die 2 und es ergibt sich der Rest -8/(x+4). Das heißt für unsere Aufgabe wir können jetzt 2x/(x+4), also diesen Term, ersetzen mit 2 - 8/(x+4). Schreiben wir das hier rechts hin. Also diesen Term ersetzen wir mit diesem Term. Wunderbar. Und was sehen wir jetzt? Wir haben jetzt x+2 stehen -8/(x+4)+8/(x+4). Das heißt hier und hier ist das gleiche Element. Einmal positiv, einmal negativ, das heißt die beiden heben sich auf zu 0. Und es bleibt stehen x+2. Wir haben also hiermit gezeigt, dass wir (x^2+6x+8)/(x+4) dividieren können und zwar schrittweise und sich daraus x+2 ergibt. Und dieses Verfahren wird abgekürzt, durch diese stufenweise Division, die ihr meist für die Polynomdivision durchführt. Also für unsere Aufgabe hier würde die wie folgt aussehen: Hier schon ausgerechnet. x*(x+4) ergibt diesen Term, den ziehen wir ab. Wir erhalten 2x. Dann 2*(x+4) ergibt 2x+8, das abgezogen als -2x-8 und wir erhalten 0 als Rest. Ihr seht als, die Polynomdivision, wenn wir sie so schreiben und rechnen, ist wesentlich schneller, als all die Umformungen, die wir euch vorher gezeigt haben. Jedoch, wenn man nur dieses Schema kennt, versteht man vielleicht nicht, warum es überhaupt funktioniert. Und jetzt wisst ihr, warum es denn funktioniert. Und ihr könnt hier auch die einzelnen Schritte ablesen aus den Umformungen, die wir auch gezeigt haben. Und zwar hatten wir zu Anfang das x² umgewandelt zu x*(x+4) - 4x. Und genau das findet ihr auch hier x*(x+4), das ist der Teil und dann ziehen wir noch davon die 4x ab. Und dann mit der 2 hatten wir das genauso gemacht. Wir hatten die 2 mit (x+4) multipliziert, das war das hier unten. Und dann hatten wir den Rest mit -8 im Zähler, also das ist dieser Teil. Ihr seht also, wenn ihr das Verfahren in dieser schriftlichen Division durchführt, seid ihr wesentlich schneller. Lasst uns als nächstes die Polynomdivision bei einer kubischen Gleichung durchführen.

Video Teil 4: Lösungsverfahren zu Kubischen Gleichungen

Wir wollen also als nächstes die Aufgabe lösen x³+6x²+11x+6 gleich 0. Und uns ist vorgegeben eine Lösung mit x gleich -1. Das heißt wenn wir -1 hier einsetzen für x, wird da auf der linken Seite der Gleichung 0 herauskommen. Bei einigen Aufgaben erhaltet ihr übrigens keine Lösung vorgegeben, dann müsst ihr für x ein paar Beispielwerte einsetzen und so versuchen eine Lösung für x zu finden. Gut, wenn wir also eine Lösung mit x gleich -1 haben, erstellen wir daraus den sogenannten Linearfaktor, also eine Klammer, die, wenn wir für x -1 einsetzen, 0 ergibt. Und das ist der Fall, wenn wir hier (x+1) schreiben. Denn dann -1 hier rein: -1+1 ist 0. Was es sich mit Linearfaktoren auf sich hat erklären wir übrigens im Anschluss an diese Aufgabe. Gut, wir haben also dieses Polynom, nehmen es herunter, setzen es in Klammern und dividieren es jetzt durch unseren Linearfaktor (x+1). Als erstes überlegen wir uns ausgehend von der Klammer, was müssen wir hier multiplizieren, damit x³ zustande kommt. Bzw. anders gesagt x³: x ist was? Und richtig, wenn wir x² mit der Klammer multiplizieren, erhalten wir x³. Unsere erste Lösung ist also x². Jetzt multiplizieren wir dieses x² mit der Klammer und schreiben den Term hier drunter. Und es ergibt sich x²*x sind x³ und dann 1*x² sind x². Jetzt die Klammern hierum und ein Minus davon, denn wir wollen den Term abziehen von unserem Polynom. Und damit ändern sich die Vorzeichen: x³ wird -x³ und x² wird negativ. Und jetzt können wir das verrechnen. Schreiben wir noch die 1en vor die x’e. x³-x³ ist 0. Und 6x²-1x² ergibt 5x². An dieser Stelle stellt sich wieder die Frage, wie kommen wir von x auf 5x² und da müssen wir diese Klammer mit 5x multiplizieren. Der nächste Teil unserer Lösung +5x. Also 5x mal die Klammer, das schreiben wir hier in und rechnen das wieder aus. Das ergibt 5x²+5x und genau das wollen wir wieder abziehen. Klammer drum herum und ein Minus davor. Wir lösen die Klammern auf. 5x² wird -5x² und die +5x wird -5x. Als nächstes ziehen wir das wieder hiervon ab und wir erhalten 5x²-5x² ist 0. Und hier können wir oben gleich das 11x verrechnen. 11x-5x sind 6x. Und jetzt schauen wir erneut, wie kommen wir von diesem x, zu 6x? Richtig, wir müssen die Klammer mit 6 multiplizieren. Der nächste Teil unserer Lösung: +6. Und wir schreiben jetzt 6 mal die Klammer hier runter. Und erhalten 6x+6. Klammer drum herum und ein Minus davor und es ergibt sich -6x-6. Jetzt ziehen wir das wieder ab. 6x-6x das fällt weg zu 0. Und wir können gleich hier oben die 6 verrechnen mit der -6 und es bleibt 0 übrig. Fertig ist unsere Division. Wir haben also unser Polynom dritten Grades durch die Division mit diesem Linearfaktor auf ein Polynom zweiten Grades reduziert. Und diese quadratische Gleichung können wir jetzt natürlich mit Hilfe der pq-Formel lösen. Wir nehmen die Gleichung hier runter, setzen sie 0. Wir sehen, dass es eine Normalform ist, das heißt das wäre unser p, das wäre unser q für die, richtig, pq-Formel. Hier ist sie, und jetzt können wir zuordnen. Unser p ist die 5 und unser q ist die 6. Und wir rechnen aus: 5/2 sind 2,5. 2,5² sind 6,25, davon 6 abgezogen und unter der Wurzel ergibt sich 0,25. Und daraus die Wurzel, wir erhalten 0,5. Und der Bruch hier vorne 5/2 sind 2,5. So ergibt sich für x_1 und x_2 -2,5+0,5 sind -2 und hier ergibt sich -3. Das heißt wir haben jetzt unsere Lösung bestimmt mit x_1 gleich -2, x_2 gleich -3 und die vorgegebene Lösung war ja x_3 gleich -1. Und jetzt können wir hieraus die Linearfaktoren bilden, das heißt wir schreiben es in der folgenden Form: (x-x_1)*(x-x_2)*(x-x_3) ist gleich 0. Also unsere Gleichung hier oben, unser Polynom schreiben wir jetzt in der sogenannten Linearfaktorform, bzw. man sagt auch Produktdarstellung oder Faktordarstellung. Und jetzt setzen wir ein -2 ist x_1, x_2 ist -3 und x_3 ist -1. Und da wissen wir Minus und Minus ist Plus, hier, hier und hier. Wir erhalten also diese Darstellung unserer ursprünglichen Gleichung. Und, das hatten wir ja gesagt, was bedeutet jetzt Linearfaktoren? Und zwar lässt sich das schön bei den Funktionen, also Funktionsgraphen zeigen. Wir jetzt also die Linearfaktoren als lineare Graphen zeichnen, also x+2 der blaue Graph, dann x+3 der rote Graph und x+1 der grüne Graph, dann sehen wir, dass alle drei linearen Graphen, die gleichen Nullstellen haben, wie unsere kubische Funktion, die da lautet: x³+6x²+11x+6, also dieser geschwungene Graph. Wir erkennen, hier sind exakt dieselben Nullstellen. Und woran liegt das? Das liegt daran, dass sich unser lila Graph ja aus der Multiplikation der anderen drei Graphen ergibt. Also erschaffen wir einen weiteren Graphen, orange dargestellt, und schreiben hier jetzt (x+2)*(x+3), dann erhalten wir eine Parabel, der Graph einer quadratischen Funktion und jetzt hinten noch mal (x+1). Wir sehen also, egal ob wir die Funktionsgleichung so schreiben, als Polynom oder in Linearfaktoren, sie hat genau den gleichen Verlauf. Und jeder einzelne Punkt auf diesem Graphen der kubischen Funktion, ergibt sich, indem man die drei y-Werte der linearen Funktion multipliziert. Wenn wir jetzt mal schauen, als Beispiel x gleich -1,5. Das wäre hier, dann würde das heißen, multipliziere den y-Wert vom grünen, vom blauen und vom roten Graphen. Der rote Graphen hat hier die Höhe 1,5. Der blaue 0,5 und der grüne die -0,5. Und multiplizieren wir alle drei zusammen ergibt sich -0,375 und das ist genau hier. Wie gesagt, unser Graph ergibt sich also indem wir alle drei linearen Funktionen miteinander multiplizieren und sich daraus jeweils die neue Höhe ergibt. Und sobald eine lineare Funktion in der Höhe 0 hat, also y gleich 0, eine Nullstelle, ergibt die Multiplikation aller drei Nullstellen sofort 0. Deswegen hat dieser Graph auch die gleichen Nullstellen wie die linearen Funktionen. Also die Linearfaktoren. Gut, es gibt übrigens noch weitere Lösungsverfahren für kubische Gleichungen. Das eine wäre die graphische Lösung, indem wir den Graph einzeichnen und dann versuchen die Nullstellen abzulesen. Aber es gibt noch weitere, die wir uns im Folgenden noch kurz anschauen. Es gibt übrigens auch kubische Gleichungen, die man noch viel einfacher lösen kann, ohne Polynomdivision. Wenn sie zum Beispiel in der Form vorkommen, dass das absolute Glied fehlt, also der konstante Wert und wir nur kubisches, quadratisches und lineares Glied haben. Dann können wir nämlich das x ausklammern aus diesem Term und erhalten: x ausgeklammert, dann Klammer auf, dann hier das x heraus dividiert, wir erhalten x². Hier erhalten wir x^1. Und hier erhalten wir 3. Klammer zu. Dann wissen wir, wenn das x 0 ist und wir multiplizieren 0 mit der Klammer, kommt 0 heraus. Das heißt eine Lösung ist 0 und die anderen beiden Lösungen erhalten wir, indem wir hier für x²+4x+3 die pq-Formel anwenden, die uns dann zwei weitere Werte gibt mit -1 und -3. Das heißt, merkt euch, wenn wir kein absolutes Glied haben, kann das x ausgeklammert werden und wir können die sich ergebende quadratische Gleichung lösen. Dann gibt es noch die reinkubischen Gleichungen, bei denen wir nur ein kubisches Glied haben. Zum Beispiel x³-27 gleich 0. Dann können wir das ganz einfach umstellen. Die 27 hier rüber ziehen und dann, richtig, die dritte Wurzel ziehen aus 27. So ergibt sich dritte Wurzel aus 27 und das ist 3. Und es ergibt sich ein Graph, der so geschwungen ist. Und bei x gleich 3 seine Nullstelle hat. Noch ein paar Hinweise zum Schluss. Bekommt ihr einmal so ein Polynom und wollt die Polynomdivision durchführen, dann bitte aufpassen, die Reihenfolge spielt eine wichtige Rolle. Das heißt die hohen Potenzen müssen vorne stehen und die niedrigen hinten. Also x³, x², x^1 und dann der konstante Wert. Also in absteigender Reihenfolge. Und wenn wir das Polynom so haben, müssen wir versuchen eine Nullstelle zu ermitteln, also einen Wert für x, welcher die Gleichung zu 0 ergibt. Man testet hier ganze Werte um die 0. Und hier wäre eine Nullstelle die x gleich -3. Und jetzt können wir dieses Polynom durch den Linearfaktor (x+3) dividieren, damit wir danach eine quadratische Lösung bekommen. Und die Polynomdivision haben wir schon für euch durchgeführt, die geht auf ohne Rest. Und wir erhalten hier ein Polynom zweiten Grades, also eine Gleichung zweiten Grades, die wir jetzt mit der pq-Formel lösen können. Hier werdet ihr jedoch feststellen, dass hier die pq-Formel zu keinem Ergebnis führt, denn der Wert unter der Wurzel nachher und zwar an dieser Stelle, ist 1-3, also -2. Er ist negativ und wir können ja keine Wurzel aus einem negativen Wert ziehen. Das heißt wir haben hier keine weiteren Ergebnisse, also ist die -3, die einzige Lösung der ursprünglichen Gleichung. Also der Linksterm hier wird nur 0, wenn wir eine -3 für x einsetzen. Bei keinem anderen Wert. Es kann übrigens mal passieren, dass ihr bei der Polynomdivision einen Rest bekommt, den könnten wir hier auch erzeugen, indem wir zum Beispiel aus der 3 eine 2 machen und sich dann die Polynomdivision wie folgt verändert. Wir sehen an der neuen Division, dass wir hier einen Rest erhalten, also wir haben hier nicht mehr eine -9 da stehen, die wir mit der +9 verrechnen zu 0, sondern wir haben jetzt eine 9+2, eine 11. Das heißt diese Division ergibt einen Rest. Und was machen wir dann? Wir schreiben den Rest hier hin mit der Division, also +11 durch unseren Divisor (x+2). Und dann wäre diese Division fertig. Natürlich könnt ihr jetzt auch noch die Probe machen, ihr könnt (x+2) mit diesem Term multiplizieren und es kommt wieder dieses Polynom heraus. Und haben wir hier einen Rest, bedeutet das, dass diese -2, die ja Nullstelle sein soll, gar keine Nullstelle ist. Also wenn wir uns dieses Polynom mal als Graph zeichnen, dann sieht der Graph so aus. Und wenn wir auf die x-Achse schauen, geht der bei -3 durch. Also er hat bei -2 gar keine Nullstelle, das heißt, dass hier ist gar kein Linearfaktor unseres Polynoms. Wir haben sozusagen durch die falsche Nullstelle dividiert und daher erhalten wir hier einen Rest. Falls euch das mal bei einer Aufgabe passiert, gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder ihr habt die Lösung falsch geraten, oder die Lösung wurde euch falsch angegeben. So viel zu kubischen Gleichungen und Polynomdivision. Wir hoffen ihr könnt jetzt die Polynomdivision effektiv anwenden und damit eure Aufgaben lösen. Auf unserer Webseite findet ihr übrigens ein Programm, bei dem ihr eure eigene Gleichung hier eingeben könnt und das euch die Lösung anzeigt. Auch zeichnet euch das Programm den Graphen, der sich aus dieser Gleichung ergeben würde. Also für diesen Fall zieht das Programm die 1 hier rüber, das wird also zu 0 und das hier ist ebenfalls 0. Und ihr seht, wir haben 1, 2, 3 Lösungen bei 0, -3 und -1. Wenn wir den Graph übrigens etwas nach oben verschieben, wählen wir +1, so erkennt ihr, haben wir nur noch eine Nullstelle. Es werden hier jedoch noch zwei andere angezeigt mit einem i am Ende. Da wir uns in den reellen Zahlen befinden ist für uns die gültige Nullstelle, die -3,1479, also an dieser Stelle. Würden wir noch einen Schritt weitergehen und die komplexen Zahlen hinzuziehen, also bei komplexen Zahlen werden Wurzeln aus negativen Werten berücksichtigt, so hätten wir noch zwei weitere Nullstellen mit einem sogenannten Realteil und einem Imaginärteil. Was es mit den komplexen Zahlen auf sich hat, das schauen wir uns in späteren Lektionen an. Für euch gilt das Ergebnis ohne das i, also hier die -3,1479. Gut, nutzt dieses Programm, gebt eure Gleichung ein und schaut ob ihr sie richtig berechnet habt. So viel zum Thema kubische Gleichungen. Wir hoffen ihr habt wieder etwas Neues gelernt und könnt dieses Wissen in der nächsten Klassenarbeit gut anwenden. Viel Erfolg dabei!

Video Teil 5: Gleichung 3. Grades lösen

Schauen wir uns kurz an, wie man eine Gleichung dritten Grades löst. Gegeben ist x^3-6x^2+11x-6 = 0. Um diese Gleichung zu lösen, solltet ihr als erstes eine Nullstelle raten. Und da rät man systematisch: Man betrachte sich Teiler des absoluten Gliedes. Und die Teiler von -6 sind 1, 2, 3, -1, -2, -3. Diese Zahlen setzen wir jetzt hier für x ein und schauen ob sich der Linksterm zu 0 ergibt. Fangen wir mit der 1 an. Dann ergibt sich 1 - 6 = -5. -5 + 11 = 6. 6 - 6 = 0. Diese Aussage stimmt. Wie sehen durch Raten haben wir eine Nullstelle gefunden mit x = 1. Jetzt können wir die Polynomdivision durchführen. Was heißt das? Wir nehmen uns diesen Term, setzen Klammern darum und jetzt dividieren wir ihn durch einen anderen Term. Und wer die Linearfaktoren kennt, der weiß, dass man alle drei Lösungen so schreiben kann. Das heißt, wenn wir diesen ganzen Term dann durch diesen Term, (x-x_1) dividieren, was bleibt dann übrig? Den und den weg. Richtig, die beiden anderen Linearfaktoren, die wir dann einfacher berechnen können. Und da das hier quadratisch wird, das dann mit der abc-Formel oder der pq-Formel. Durch was müssen wir hier als dividieren? Richtig: (x-x_1). (x-x_1) und x_1 ist ja jetzt, gucken wir hier, unsere 1. Setzen wir die ein. Und jetzt gilt es das auszurechnen. Und das macht man meist in dieser Treppenform. Das heißt man guckt als erstes auf x^3. Wie kommt man mit diesem x auf x^3? Was muss man darauf multiplizieren; auf x? Und das wissen wir, das ist x^2, denn x^2•x = x^3. Schreiben wir also hier hin: x^2. Alternativ können wir auch sagen x^3/x = x^2. Und jetzt gilt es x^2 mit dem gesamten Term zu multiplizieren, also x^2•x = x^3. Und x^2•(-1) = -x^2. Jetzt müssen wir diesen Term von dem hier abziehen. Das heißt Klammern drum herum und ein Minus davorgesetzt. Wir wissen x^3 - x^3 = 0. Und hier -6x^2 + x^2. Passt auf das hier wird ein +x^2 durch das Minus hier vorne. Das ergibt dann -5x^2. Im nächsten Schritt schauen wir dann, wie kommen wir von x auf -5x^2. Und das erreicht man, indem man x mit -5x multipliziert. Also, schreiben wir hier -5x hin und rechnen: -5x•x = -5x^2. Und jetzt noch -5x•(-1) = 5x. Was machen wir als nächstes? Richtig: Klammern drum herum und ein Minus davor. Jetzt addieren wir -5x^2 + 5x^2 = 0. Und durch das Minus wird die +5x zu -5x. 11x - 5x = 6x. Und weiter im Programm: Mit was müssen wir x multiplizieren, damit 6x herauskommt? Richtig, 6. Schreiben wir das hier hin. Und multiplizieren wir 6•x = 6x. Und 6•(-1) = -6. Jetzt die Klammern drum herum und das Minus davor. Und wir verrechnen 6x - 6x = 0. Und jetzt -6, durch das Minus wird das zu +6. Und -6 + 6 = 0. Das heißt den Rest 0 können wir so stehen lassen und wir haben jetzt den quadratischen Term erzeugt. Hier einen Term dritten Grades dividiert durch einen Term ersten Grades ergibt den Term zweiten Grades. Und die Werte für x können wir jetzt mit der pq-Formel bestimmen. Wir setzen den Term 0 und berechnen jetzt unser x. Jetzt nehmen wir uns die pq-Formel, die müsstet ihr alle im Kopf haben. Und jetzt müssen wir überlegen, was ist denn hier p? Und dazu muss man hier aufpassen: jetzt steht da -5x. Einige schreiben sofort 5 hier rein, wäre aber nicht richtig, denn hier muss in der Normalform ein Plus stehen und dann haben wir +(-5x). Das heißt p ist -5 und q ist die 6. Setzen wir die beiden ein und rechnen das aus - und - ist +, also hier stehen 5/2 = 2,5. Und hier unter der Wurzel: Das Minus zum Quadrat, das wird dann zu Plus und (5/2)^2 = 25/4. Davon sollen wir 6 abziehen. Also erweitern wir die 6 auf Viertel, das sind dann 24/4. Und das sehen wir, da kommt ¼ raus, wobei die Wurzel(¼) = 1/2. Und damit 0,5. So und damit sind wir schon fast fertig. Jetzt müssen wir nur noch x_2 und x_3 ausrechnen. Das ändern wir im Index auf 2, 3, da wir ja schon x_1 haben. Und jetzt haben wir hier das Plusminus, daher zwei Ergebnisse. x_2 mit -0,5, x_3 mit +0,5. Dann ergibt das 2 und hier ergibt das 3. Und das ist die Lösung unserer Aufgabe: x_1 = 1, x_2= 2 und x_3 = 3. Wunderschön. An der Stelle könnten wir jetzt auch die Linearfaktoren aufstellen und würden sehen, wenn wir die ausrechnen, dass sich unsere Ausgangsgleichung ergibt. Und wer noch Zeit hat, kann sich diese Gleichung als Funktionsgleichung denken und in ein Koordinatensystem einzeichnen, denn wie bekannt, müssen die Nullstellen des Funktionsgraphen die Lösung für x sein. Und das sehen wir bei x = 1, x = 2 und x = 3. Korrekt. Noch ein kleiner Tipp: Auf unserer Website findet ihr die Formelsammlung 3.0. Hier findet ihr kubische Gleichungen und wenn ihr darauf klickt, kommt ihr zu einem Programm, indem ihr eure Gleichung dritten Grades eingeben könnt. Wir hatten ja 1x^3 - 6x^2 + 11x - 6 und ihr seht automatisch werden euch die Lösungen angezeigt: 1, 2 und 3.
Tags: Partialdivision, Gleichungen dritten Grades, p-q-Formel Cardanische Formeln und Newton-Verfahren zur Lösung kubischer Gleichungen, Allgemeinform und Normalform kubischer Gleichungen

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