Vorbereitung auf die Matheprüfung

Wenn ihr das hier lest, steht euch wahrscheinlich eine Matheprüfung bevor. Alle Schüler der 10. Klasse, die sich der Abschlussprüfung (ZAP/MSA/RSA) stellen müssen, können sich freuen. Wir gehen mit euch alle möglichen Typen von Aufgaben durch und zeigen euch Tricks und Gedankenbrücken, damit ihr Fehler vermeidet. Es fängt einfach an und wird mit jedem Aufgabenblock schwieriger. Auf geht es!

Für welchen Schultyp sind die Videos gedacht?
Die Videos sind für Realschule, Hauptschule, Gymnasium, ... Jeder Zehnklässler sollte die Aufgaben lösen können, die wir in den Videos zur Prüfungsvorbereitung behandeln, ohne Einschränkung.

Auch du schaffst die Prüfung!

Tipp: Druckt euch die Checkliste zur Abschlussprüfung (PDF) und das Formelblatt (PDF) oder als Bilddatei aus. Beides ist sehr hilfreich!

Mathe-Video PR01-1 Vorbereitung Matheprüfung - Aufgabenblock 1

Wir bereiten uns auf die Prüfungen vor, damit ihr diese sicher besteht. Wir testen euer Wissen und lösen Aufgaben zu Prozenten, Dezimalzahlen, Dreisatz, Geometrie.

Mathe-Video PR01-2 Vorbereitung Matheprüfung - Aufgabenblock 2

Prüfungsvorbereitung: Aufgaben zu Anteilen, Term vereinfachen, Geraden-Schnittpunkte, Gleichung lösen, Prozentwert berechnen, schriftliches Multiplizieren, Steigungswinkel berechnen, Wahrscheinlichkeit Ziehung roter Kugeln, Term bestimmen für Flächeninhalt Dreieck.

Mathe-Video PR01-3 Vorbereitung Matheprüfung - Aufgabenblock 3

Weiter geht es mit Prozentrechnung und Exponentialfunktionen. Wir stellen eine Funktionsgleichung auf, die die Sprunghöhe eines Balls und die Anzahl seiner Bodenkontakte in Zusammenhang bringt.

Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

  • PR01-4 Vorbereitung Matheprüfung - Aufgabenblock 4

    Nun lösen wir eine Aufgabe zu einem Geländelauf, es sind Strecken an 2 Dreiecken zu berechnen. Wir verwenden den Innenwinkelsummensatz, den Satz des Pythagoras, Kosinus und Sinussatz.

  • PR01-5 Vorbereitung Matheprüfung - Aufgabenblock 5

    Wir lösen eine Aufgabe aus dem Alltag. Die Wohnungsmiete inkl. Nebenkosten soll nach Zimmerflächen aufgeteilt werden. Zusätzlich Flächenberechnung inkl. Sinus-Anwendung und Winkelbestimmung. Abschließende Aufgabe mit Zinseszins.

  • PR01-6 Vorbereitung Matheprüfung - Aufgabenblock 6

    Wir lösen Aufgaben mit Volumen (Stein im Wasser), berechnen Kegelvolumen (Kerzen) und ermitteln das Volumen der Cheops-Pyramide.

  • PR01-7 Vorbereitung Matheprüfung - Aufgabenblock 7

    Aufgaben zu Funktionen: Parabel mit Parameter und gegebenem Punkt, Scheitelpunktform aus Allgemeinform bestimmen, Geradengleichung aus 2 Punkten bestimmen.

  • PR01-8 Vorbereitung Matheprüfung - Aufgabenblock 8

    Wahrscheinlichkeit mindestens eine 6 beim Wurf von zwei Würfeln zu erzielen. Und Wahrscheinlichkeit, die Augensumme 6 zu werfen. Gewinnspiel mit Einsatz und Gewinn - Erwartungswert berechnen.

  • PR01-9 Vorbereitung Matheprüfung - Aufgabenblock 9

    Anwendungsaufgaben Maße, Volumen, Funktionen. Golfbälle in Schachtel, Volumenanteil prozentual bestimmen, Flugbahn Golfball bestimmen anhand quadratischer Funktion (Parabel).

Zugriff auf alle Videos bestellen

Zu allen Themen der einzelnen Aufgaben finden sich erklärende Videos auf unserer Webseite, hier die Links zu Aufgabenblock 1, 2 und 3:

Aufgabenblock 1: Brüche addieren, Bruch als Dezimalzahl, Dezimalzahl als Prozent, Gleichung mit Variable lösen, Prozent berechnen, Text als Gleichung schreiben

Aufgabenblock 2: Term vereinfachen, Geraden-Schnittpunkte, Gleichung lösen, Prozentwert berechnen, schriftliches Multiplizieren, Term bestimmen für Flächeninhalt Dreieck

Aufgabenblock 3: Prozentrechnung und Exponentialfunktionen.

 

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Hilfreiche Prüfungstipps

Wenn ihr in der Matheprüfung seid, beachtet unbedingt folgende Tipps:

  1. Zuerst einfache Aufgaben lösen
  2. Rückseite des Aufgabenblatts beachten
  3. Am Ende die Lösungen kontrollieren
  4. Sind Aufgaben richtig nummeriert?
  5. Flüchtigkeitsfehler suchen (z. B. Einheiten vergessen)

Noch vor der Prüfung? Dann nutze die Checkliste zur Abschlussprüfung.

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Untertitel

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Video Teil 1: Aufgabenblock 1

Hi Leute! Mit den folgenden Videos bereiten wir euch auf die Matheprüfung vor. Wie bekannt werden wir zügig vorgehen und die Aufgaben so erklären, dass sie auch jeder verstehen kann. Denn so besteht jeder von euch die Prüfung! Die Aufgaben stammen aus verschiedenen Bereichen der Mathematik. Wir empfehlen euch, bei jeder Aufgabe „Pause“ zu drücken, sie selbst zu lösen und dann mit unserer Lösung zu vergleichen. Auf geht’s.

Im ersten Aufgabenblock geht es um Dezimalzahlen, Brüche und Prozente.

Legen wir los mit Aufgabe 1: Welche Zahl ist die größte? Und hier sind uns 4 Dezimalzahlen gegeben, und wir müssen jetzt die größte bestimmen. Und wenn wir sie mal untereinander schreiben, erkennen wir, dass die Einerstelle 0 ist, das heißt, hier können wir keinen Größenunterschied festmachen. Und die Zehntelstelle 2, 1, 2, 1, das heißt, die 2 ist größer als die 1, also diese und diese Zahl sind schon mal kleiner; und dann schauen wir die Hundertstelstelle an, die ist hier 1, die ist hier 1, die sind gleich; dann gehen wir zur Tausendstelstelle, die ist 1, die ist 2, das heißt, die 2 ist größer, und damit ist diese Zahl die größte Zahl. Wie ihr gesehen habt, gehen wir immer jeder einzelne Stelle durch und vergleichen diese.
Hier nochmal alle Zahlen der Größe nach sortiert. Ein kleiner Tipp: Wer damit Probleme hat, kann in diesem Fall alle Zahlen mit 10000 multiplizieren und erhält dann ganze Zahlen. Hier ist es wesentlich einfacher, den Größenunterschied zu erkennen.

Aufgabe 2: Hier sollen wir zwei Brüche addieren: ¼ + ½. Hier müssen wir die beiden Brüche gleichnamig machen, das heißt, hier unten die Zahl im Nenner muss gleich sein. Die einfachste Variante wäre, wenn wir die ½ umwandeln zu Viertel. Dazu erweitern wir den Bruch mit 2, also oben mal 2 und unten mal 2. So ergibt sich dann 2/4. Und jetzt können wir oben die 1 mit der 2 addieren, und unten lassen wir die Viertel stehen. Und richtig, das ergibt ¾. Fertig!

Aufgabe 3: Wir sollen ¾ als Dezimalzahl schreiben. Dezimalzahl, das ist ja nichts weiter als die Kommazahl. Das heißt, ¾, was ist das als Kommazahl? Viele könnten das im Kopf berechnen und würden auf 0,75 kommen, was korrekt ist. Seid ihr nicht so gut im Kopfrechnen, dann könnt ihr euch wie folgt retten: Ihr müsst hier unten auf eine Zehnerpotenz kommen, also 10, 100, 1000 und so weiter, dann können wir das Komma abtragen. Um also einen Dezimalbruch hieraus zu machen, erweitern wir hier unten den Nenner so, dass eine 10, 100, 1000 etc. dasteht. Können wir also von 4 auf 10 mit einer ganzen Zahl erweitern? Nein. Kommen wir von 4 auf 100? Ja, und zwar mit der 25! Das heißt, wir erweitern ¾ mit 25 im Zähler und im Nenner. Das heißt, 3 * 25; 25, 50, 75, super; und im Nenner ergibt sich 100. Und jetzt wissen wir, wenn wir 75 : 1 rechnen, bleibt es so, 75 : 10 = 7,5; 75 : 100 = 0,75. Also 75 : 100, nehmen wir eine 0 weg, springt das Komma einen nach links, nehmen wir noch eine 0 weg, so wie die durch 1, geht das Komma noch einen nach links. Wir haben also 0,75. Das war ein etwas längerer Weg, aber vielleicht hilft er euch bei anderen Zahlen, die noch schwieriger sind. Gut,

Aufgabe 4: Wir sollen die Dezimalzahl als Prozent schreiben. Zur Erinnerung: 1 = 100%. Also Prozent heißt ja nichts weiter als „durch 100“. Und anstatt „durch 100“ schreiben wir Prozent %. Wenn wir also zum Beispiel 0,5 hätten, sind das 5 : 10 beziehungsweise 50 : 100, und das sind dann 50%. Und genau das machen wir jetzt hier oben. 0,202 sind ja 0,202 : 1 beziehungsweise 2,02 : 10 beziehungsweise 20,2 : 100. Und dann sind das also 20,2 und jetzt nicht durch 100, wir schreiben Prozent %. Alternativ hättet ihr auch 0,202 schreiben können als 202 : 1000, und wenn wir einmal durch 10 rechnen, dann springt das Komma einen nach links; und dann hätten wir auch die 20,2%.
Gut.

5. Aufgabe: Wir sollen einen Milliliter ml in Liter l umrechnen. Dazu müssen wir wissen: Wieviel Milliliter sind denn ein Liter? Und das ist Allgemeinwissen, das müsst ihr draufhaben:
1 l = 1000 ml. Und ihr erinnert euch: „milli“ steht für Tausendstel, das als Gedankenbrücke. Das heißt, wenn wir jetzt wissen wollen, wieviel Liter ein Milliliter sind, dann können wir hier das wie folgt berechnen: Um von 1000 Milliliter auf einen Milliliter zu kommen, müssen wir was multiplizieren beziehungsweise dividieren? Richtig: Durch 1000. Also 1000 ml : 1000 = 1 ml.
Die gleiche durch 1000 müssen wir auch hier links rechnen, also 1 : 1000. Und dann müssen wir jetzt die Kommas wieder abtragen. Eine 0 hier weg, und dann ein Komma hier nach links gesetzt, eine 0 hier weg, und wieder das Komma nach links gesetzt, und das letzte Mal 0 weg und Komma eins nach links. Beziehungsweise noch mal auf eine andere Art und Weise gezeigt: Ihr setzt hier vor die 1 ein paar Nullen und wisst jetzt: Hier eine weg, das heißt, das Komma, was hier steht, springt einen nach links; hier eine 0 weg, das Komma springt wieder einen nach links; hier eine 0 weg, das Komma springt wieder einen nach links. Dann nehmen wir hier vorne die 0 weg, dass nur noch eine da steht, und die durch 1, das ist das neutrale Element, also 0,001 Liter. Und das ist auch schon die Lösung für hier oben.

Aufgabe Nr. 6: Wir sollen eine Gleichung lösen, eine Gleichung mit einer Unbekannten, in unserem Fall x. Um diese auflösen zu können, erinnern wir uns an das Distributivgesetz, das heißt: Die 3 mal muss auf beide Elemente hier in dieser Summe multipliziert werden. Also 3 * x + 3 * 1.
3 * x + 3 * 1, die Klammern nehmen wir weg; wie haben also ausmultipliziert, 3 * 1 = 3, und 3 * x lassen wir so stehen. Die 3 ziehen wir rüber auf die rechte Seite, wir machen nichts weiter, als auf beiden Seiten 3 zu subtrahieren. Wir schreiben einen Querstrich |, dann -3. Die erscheint dann auf beiden Seiten, einmal hier und einmal hier. 6 – 3 = 3, und 3 – 3 = 0, und damit fällt die links weg. Und wir haben noch 3 * x da zu stehen. Wie kriegen wir jetzt die 3 hier weg? Es ist ja 3 * x beziehungsweise wir können auch schreiben x * 3, also die beiden dürfen wir vertauschen mit Hilfe des Kommutativgesetzes, und jetzt mal 3, dann müssen wir durch 3 hier rechnen, damit das x alleine steht. Wir schreiben „|: 3“, die erscheint wieder auf beiden Seiten, einmal hier und einmal hier. Dann 3 : 3, das sind 1, und 1 * x, da bleibt das x übrig. Und hier drüben 3 : 3 = 1. Fertig! Die Lösung ist also x = 1. Und wenn ihr das in der Prüfung habt, setzt immer zur Probe Euer Ergebnis in die Ursprungsgleichung ein! Also ihr nehmt euch die hier runter, setzt Euer Ergebnis für x ein, x wird 1, und rechnet aus: 1 + 1 = 2, und 3 * 2 = 6. Beide Seiten sind gleich, das heißt, wenn x = 1 ist, stimmt diese Gleichung, wir haben richtig gelöst.
Diese Gleichung hätten wir übrigens noch schneller lösen können, indem wir hier gleich die durch 3 gerechnet hätten auf beiden Seiten. Dann wäre sie hier weggefallen, und hier drüben hätten wir die 2, dann hätten wir auch die Klammer gleich auflösen können, dann die 1 herüber subtrahiert, und wir wären ebenfalls auf 1 gekommen.

Aufgabe Nr. 7: Wir sollen 40% von 40 Euro berechnen. Diejenigen, die die Prozentrechnung-Videos gesehen haben, wissen, das geht ganz schnell: 40 * 0,4, und wir erhalten 16 Euro. Die die Prozentrechnung-Videos nicht gesehen haben, die müssen hier etwas länger rechnen, und zwar mit dem Dreisatz: 40 Euro sind 100%, dann wollen wir x Euro haben, und das sind dann 40%. Wir kommen wir von 100 auf 40%? Da rechnen wir durch 100 mal 40 beziehungsweise gleich mal 0,4, und hier drüben müssen wir dann auch mal 0,4 rechnen; also 40 * 0,4, das ergibt 16. Wir sehen also, 40% = 16 Euro.

Aufgabe 8: Wir sollen eine Gleichung erstellen: „Das Produkt aus einer Zahl mit der um 2 vergrößerten Zahl ist 15.“ Hier müssen wir die einzelnen Teile auseinander nehmen. Wir haben ein Produkt aus einer Zahl mit einer anderen Zahl! Das heißt, Produkt ist immer mal, wir schreiben also für die erste Zahl x, für die zweite Zahl y; x * y. Jetzt steht hier weiterhin „mit der um 2 vergrößerten Zahl“, also y ist x um 2 vergrößert. Wir können also y ersetzen mit x + 2. Wir schreiben das in Klammern, da es der zweite Faktor ist. Und jetzt kommt da 15 raus. Also es kommt raus 15. Und das ist schon die fertige Gleichung:
x * (x + 2) = 15
Ihr müsst hier aufpassen, dass ihr unbedingt die Klammer setzt!

Aufgabe 9: Prüfe die Aussagen! Fangen wir von hinten an.

„Richtig ist, dass in jedem Rechteck die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen.“ Ein Gegenbeispiel reicht, um diese Aussage zu widerlegen. Wenn wir ein Rechteck haben und die Diagonalen einzeichnen, dann sehen wir schon, dass das hier kein rechter Winkel ist. Also stehen diese nicht senkrecht aufeinander. Dies wäre übrigens in einem Quadrat der Fall: Dann sehen wir, dass sich hier vier rechte Winkel ergeben. Also die Diagonale steht dann senkrecht auf dieser Diagonalen. Diese Aussage ist also falsch.

Schauen wir Aussage C an: „Richtig ist, dass jedes Rechteck zwei unterschiedlich lange Diagonalen hat.“ Wie wir hier gut sehen können, ist diese Diagonale genauso lang wie diese Diagonale. Wir können also diese nehmen, drehen und auf diese rauflegen; wir sehen, beide sind gleich lang. Diese Aussage ist also auch falsch. Wir können das noch genauer zeigen: Beschriften wir einmal alle Seiten. Jetzt erkennen wir hier zwei Dreiecke, die beide deckungsgleich sind und damit die gleichen Seitenlängen haben. Beide Diagonalen sind also gleich lang.

Aussage B: „Richtig ist, dass jedes Rechteck auch ein Quadrat ist.“ Hier ist ein Rechteck. Ist es ein Quadrat? Nein! Weil: Bei einem Quadrat sind alle Seiten gleich lang, und diese Seite ist länger als diese Seite.

Also bleibt Aussage A: „Richtig ist, dass jedes Quadrat auch ein Rechteck ist.“ Und das stimmt. Zeichnen wir ein Quadrat ein. Wir sehen, die gegenüber liegenden Seiten sind gleich lang, und die Winkel sind jeweils 90 Grad. Also ist ein Quadrat auch ein Rechteck.

Aufgabe 10: Wir sollen eine prozentuale Steigerung ausrechnen. Der Preis für einen Becher Saft hat sich von 50 Cent auf 60 Cent erhöht. Das ist eine Steigerung von … Solche Art von Aufgaben hatten wir in der Lektion „Prozentrechnung“ mehrfach gelöst. Ein möglicher Rechenweg ist der folgende: Als erstes berechnen wir die Differenz von 50 Cent zu 60 Cent, das sind 10 Cent. Das ist also unsere Steigerung. Und der Grundwert, also unser Ausgangswert waren 50 Cent. Wieviel sind 10 Cent von 50 Cent? Und wie wir bei der Prozentrechnung gelernt haben, dividieren wir die beiden. Also 10 Cent : 50 Cent, und das sind 10 : 50 beziehungsweise 1 : 5, und das sind 0,2.
Und 0,2 = 20 : 100, und die „: 100“ schreiben wir als Prozent %. Fertig.

Super, Aufgabenblock 1 haben wir damit abgeschlossen! Hattet ihr alles richtig? Gut, denn diese 10 Aufgaben waren noch relativ einfach. Schauen wir, ob ihr den Aufgabenblock 2 genauso gut besteht.

Video Teil 2: Aufgabenblock 2

Willkommen zurück zum Aufgabenblock 2! Der Schwierigkeitsgrad wird sich etwas erhöhen, es ist aber noch relativ einfach.

Fangen wir an mit Aufgabe 1: Wir sollen einen Anteil berechnen, und zwar 3/8 von 80 Euro. Wie lösen wir das? Die einfachste Variante wäre 3 * 80 : 8. Dann hätten wir 240 : 8, und das sind 30 Euro. Und die Aufgabe wäre gelöst. Diejenigen, die das hier nicht verstehen, können auch wie folgt vorgehen: Ihr bestimmt erst mal 1/8; dazu rechnet ihr 80 : 8 und erhaltet 10 Euro. Und dann wollt ihr ja nicht 1 haben, sondern 3, das heißt, ihr multipliziert die Seite mit 3 und die Seite mit 3, und ihr erhaltet hier 3/8 und hier 30 Euro. Gut.

Aufgabe 2: Die Aufgabe ist schon interessanter. „4 Freunde treffen sich. Jeder gibt jedem die Hand. Wie oft werden die Hände geschüttelt?“ Und hier könnte man sich das kurz aufzeichnen: Hier sind die vier Freunde. Wenn dieser 1, 2, 3 mal die Hände gegeben hat, dann bleiben für den nächsten ja nur noch 1, 2 übrig; denn er hatte ja dem ersten schon die Hand gegeben! Und wieder für den nächsten bleibt nur noch einer übrig, und für den letzten gar keiner mehr! Das heißt, wir haben immer einen weniger gerechnet. Der erste hat also dreimal die Hände geben können, der nächste hat zweimal die Hände geben können, und der hier hat nur noch einmal die Hände geben können, und der letzte null Mal. Das ergibt, richtig, sechsmal.

Aufgabe 3: Wir sollen diesen Term vereinfachen, und wir sehen, wir müssen ausmultiplizieren, also das x mal wird hierauf und hierauf multipliziert. Tun wir das. Das x mal kommt also hier ran und hier ran. Und jetzt können wir zusammenfassen. x * x ist, richtig x², und x² * x (dann wissen wir, das ist x^1), und die Potenzregel sagt, wir dürfen die Exponenten bei gleicher Basis zusammenaddieren, also hier oben rechnen wir +1, und wir haben x³, beziehungsweise mit Zwischenschritt nochmal: Dieses x² können wir auch schreiben als x * x, und dann kann man gut abzählen, x * x = x², x * x * x = x³. Fertig. Und die beiden lassen sich nicht mehr zusammenfassen, beide haben einen anderen Exponenten. Und hier ist eine Differenz.

Aufgabe 4: Wir haben zwei Geraden gegeben, einmal y1 mit 2x – 2 und einmal y2 mit 2x + 2. Und wir sollen jetzt feststellen, ob sie einen Schnittpunkt in (1|0) haben oder in (0|2), oder ob sie die gleichen y-Achsenabschnitte haben oder ob sie parallel sind. Fangen wir an mit dem gemeinsamen Schnittpunkt: Haben sie einen Schnittpunkt 1 und 0 (1|0)? Um einen Schnittpunkt festzustellen, müssen wir beide gleichsetzen. Machen wir das als erstes. Warum wir hier gleichsetzen dürfen, hatten wir in der Lektion „Schnittpunkte von linearen Graphen“ gelernt. Wir schreiben also y1 = y2,
setzen für y1 die 2x – 2 ein, setzen für y2 die 2x + 2 ein und müssen diese Gleichung jetzt umformen. 2x, 2x, wir subtrahieren auf beiden Seiten 2x. Dann ergibt sich hier drüben: 2x – 2x = 0, die fällt weg. Und hier: 2x – 2x, das ist 0, also bleibt +2 hier stehen. Wir sehen, dass es hier keine Gleichheit gibt, denn -2 ist ungleich 2. Dies hier ist eine falsche Aussage, und damit haben wir für x keine Lösung, es gibt also gar keinen Schnittpunkt! Und warum ist das so? Einige haben das bestimmt schon gesehen: Beide Graphen haben die gleiche Steigung, und zwar 2. Damit können sie sich nicht schneiden. Schauen wir uns die beiden Geraden im Koordinatensystem an, dann sehen wir, beide haben die Steigung 2; also hier ein Steigungsdreieck angesetzt, ein nach rechts, zwei nach oben und hier auch ein nach rechts, zwei nach oben. Sie sind beide parallel zueinander und schneiden sich nicht. Damit ist Aussage A „Sie haben einen Schnittpunkt“ falsch. Schauen wir uns Aussage B an „Sie haben einen Schnittpunkt in (0|2)“ ist damit natürlich auch falsch. Aussage C: „Sie haben die gleichen y-Achsenabschnitte“. Erinnern wir uns, was das ist. Das ist der y-Wert des Schnittpunktes mit der y-Achse. x ist 0, und dann haben wir hier für den einen Graphen y = 2 und hier haben wir y = -2. Und diese Zahlen können wir auch ablesen, hier -2 und hier +2. Das hatten wir bei den Funktionen gelernt. Das heißt, sie haben nicht die gleichen y-Achsenabschnitte, sondern unterschiedliche. Aussage D: „Sie sind parallel zueinander“. Und die Aussage ist korrekt, denn sie haben beide die gleiche Steigung mit 2. Gut.

Aufgabe 5: Wir sollen die folgende Gleichung lösen. Wie gehen wir vor? Und zwar, hier steht ein x², hier steht ein x², da können wir auf beiden Seiten -x² rechnen; und damit fallen dieses und dieses x² weg. Sehr schön, jetzt haben wir keine quadratische Gleichung mehr, denn hier hätten wir ja bis zu zwei Lösungen; wir haben jetzt nur noch eine lineare Gleichung und damit eine oder keine Lösung. Lösen wir sie! Wie bekommen wir die 1 weg? Richtig, +1 auf beiden Seiten, und dann ergibt sich hier 0, das können wir dann wegnehmen, und hier 2. Und schon haben wir unsere Lösung bestimmt! Und wie bereits gesagt, immer die Lösung prüfen, damit ihr sicher sein könnt, dass Eure Lösung stimmt!
Also wir nehmen uns zur Probe diese Gleichung hier runter, setzen jetzt für x unsere 2 ein und schauen, ob beide Seiten gleich sind. 2² = 4, +2 = 6, -1 = 5; und hier drüben: 2² = 4, + 1 = 5. Beide Seiten sind gleich, eine wahre Aussage, also stimmt unsere Lösung. Super!

Bei der Aufgabe 6 heißt es: „Der Preis für Hosen wurde um 10% reduziert. Jetzt kosten die Hosen nur noch 72 Euro. Wie hoch war der Preis vorher?“ Unser erster Gedanke an dieser Stelle sollte sein: Das sind ja nicht die 100%; vorher hatten wir 100%, den Gesamtpreis, dieser wurde um 10% reduziert, und dann erhalten wir 90%. Und diese 90% sind ja jetzt unsere 72 Euro. Fragt sich also: Was sind die 100%, und wie kommen wir darauf? Und das kann man auch relativ schnell machen, indem wir ein Verhältnis aufstellen. Also 90% verhalten sich zu 72 Euro genauso wie 100% zu x, also unser Euro-Betrag. Und jetzt müssen wir noch diese Gleichung umstellen, und dann haben wir unser Ergebnis. Am einfachsten ist es, wenn wir hier auf beiden Seiten den Kehrwert machen, dass das x oben im Zähler steht. Tun wir das. Und jetzt können wir die 100% in eine Zahl umwandeln, Prozent % heißt ja durch 100, und 100 : 100, dann erhalten wir hier 1. Und x : 1 ist natürlich x. Als nächstes können wir hier 90% schreiben als 90 : 100, also 0,9. Und jetzt, damit wir das Komma wegbekommen und einfacher rechnen können, erweitern wir den Bruch mit 10. Damit erhalten wir
720 : 9. Und das können wir im Kopf machen, das ergibt 80. Und das ist das fertige Ergebnis: Der Preis vorher war 80 Euro, der um 10% reduzierte Preis ist 72 Euro.
Diejenigen, die die Prozentrechnen-Videos gesehen haben, hätten übrigens an der Stelle viel, viel schneller rechnen können, indem sie einfach 72 : 0,9 gerechnet hätten und so ebenfalls auf 80 Euro kommen. Gut.

Aufgabe 7: Wir sollen 1,0005 * 101 schriftlich berechnen. Wie machen wir das vorteilhaft? Hier bietet es sich an, die 101 als Summe von 100 + 1 zu schreiben, denn dann können wir das Distributivgesetz anwenden: Die 1,0005 wird auf die 100 multipliziert und auf die 1. Jetzt können wir, da hier mal 100 steht, das Komma 1, 2 nach rechts setzen, die mal 1 können wir wegnehmen. Und jetzt können wir 100 plus die 1 rechnen, dann haben wir 101, und dann noch die letzten zwei Ziffern hierher raufaddiert. Und schon sind wir fertig.

Bei Aufgabe 8 sollen wir den Steigungswinkel ausrechnen, wenn die Steigung 100% beträgt. Die Steigung von 100% meint, wir gehen beispielsweise 100 Meter nach rechts und müssen dann 100% nach oben gehen, also in dem Fall 100 Meter. Das ist die Gerade, und jetzt ist die Frage: Wie groß ist dieser Steigungswinkel hier? Und die meisten wissen das aus der Erfahrung, das sind 45 Grad. Mathematisch kann man das jetzt wie folgt machen: Man weiß, die Strecke ist genauso lang wie die Strecke, nennen wir sie beide „a“. Jetzt erkennen wir, dass wir für diesen Winkel die Gegenkathete und die Ankathete gegeben haben und damit den Tangens benutzen können, um den Winkel zu ermitteln, so wie wir es in den Trigonometrie-Videos gelernt hatten. tan(β), also nennen wir unseren Winkel hier drinnen β, ergibt sich aus Gegenkathete durch Ankathete, also a : a. Und das ist natürlich 1. Wie kommen wir jetzt von diesem Wert auf den Winkel β? Richtig, das machen wir mit dem Arcustangens. Und den notieren wir mit β = tan-1(1). Also ihr könnt hier tan mit hochgestellt -1 schreiben oder „arctan“, das meint das gleiche. Und das müsstet ihr eigentlich auch wissen, dass der Arcustangens von 1 = 45 Grad ist. Wer das nicht weiß, der nimmt natürlich den Taschenrechner und tippt ein: SHIFT tan(1) = 45 Grad. Achtet bitte darauf, dass ihr als Taschenrechnermodus „DEG“ ausgewählt habt, das steht für DEGree, also Grad. Doch steht dort „RAD“, dann ist das RADian, also Radiant, das Bogenmaß, und ihr erhaltet ein anderes Ergebnis. Bitte achtet darauf, denn dies ist eine häufige Fehlerquelle!

Aufgabe 9: Bei der Aufgabe 9 geht’s um Wahrscheinlichkeit. „In einer Urne sind 5 Kugeln, darunter 3 rote. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, alle roten Kugeln bei dreimaligem Ziehen nacheinander ohne Zurücklegen zufällig zu ziehen?“ Und das können wir uns wie folgt vorstellen: Wir haben als erstes 5 Kugeln, davon sind 3 rot; das heißt, die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Zug eine rote Kugel zu erhalten, ist 3 von 5, also 3/5. Wenn wir also eine rote hier dabei haben, dann bleiben nur noch 2 rote und 2 graue übrig. Wenn wir jetzt wieder ziehen, wie groß ist die Chance, eine der roten zu erwischen? Richtig, 2 von 4; von 4 Kugeln sind 2 rot, also 2/4. Und wenn wir jetzt wieder einer rote dabei haben, bleiben eine rote und 2 graue übrig. Und wie groß ist jetzt die Wahrscheinlichkeit, die rote zu ziehen? Richtig, 1 von 3. Und so bleiben letztlich 2 graue Kugeln über, und hier haben wir 0% Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen. Um jetzt die Gesamtwahrscheinlichkeit von diesen drei Zügen zu ermitteln, müssen wir alle drei Wahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren. Also 3/5 * 2/4 * 1/3. Und dann haben wir die Wahrscheinlichkeit, dass wir dreimal hintereinander die rote Kugel ziehen. Wir erhalten also 3 * 2 * 1 für den Zähler, das sind 6, und
5 * 4 * 3, das sind 60. Die Wahrscheinlichkeit beträgt also 6/60, und diesen Bruch können wir kürzen durch 6, dann erhalten wir 1/10. Die Wahrscheinlichkeit, 3 rote Kugeln hintereinander zu ziehen, beträgt also 1/10 beziehungsweise 10%. Sehr schön!

Aufgabe 10: Hier sollen wir einen Term bestimmen für den Flächeninhalt eines Dreiecks. Es ist gegeben ein Dreieck mit der Grundlinie c und der Höhe, die sich ergibt aus 2 * (c – 1). Und wir sollen jetzt also die Formel für den Flächeninhalt bestimmen. Dazu nehmen wir uns erstmal die allgemeine Formel für Flächeninhalten von allgemeinen Dreiecken, die da lautet: ½ * c * hc
Jetzt gilt es, diesen Term hier für hc einzusetzen, also 2 * (c – 1) hier rein. Und jetzt müssen wir das hier ausmultiplizieren. Fangen wir an. Schreiben wir als erstes die 2 * hier nach vorne zur ½.
Dann sehen wir: 2 * 1 = 2, : 2 = 1. Also hier kommt 1 heraus, und diese 1 brauchen wir nicht mehr mitschreiben, also es bleibt stehen: c * (c – 1). Und das lässt sich jetzt leicht ausmultiplizieren:
c * c – c * 1. Und das ist wiederum c² – c, die Lösung dieser Aufgabe.

Super! Aufgabenblock 2 haben wir damit abgeschlossen. Habt ihr alles richtig gehabt? Das wäre echt gut. Aufgabenblock 3 wird wieder ein wenig schwieriger. Stellt euch der Herausforderung!

Video Teil 3: Aufgabenblock 3

Willkommen zur Prüfungsvorbereitung Aufgabenblock 3! Wer die Lektion „Exponentialgleichungen“ gesehen hat, wird sicherlich keine Probleme hier haben. Legen wir los.

Die Aufgabe lautet: „Lässt man einen Gummiball aus einer Höhe von 100 Zentimetern fallen, so verliert er nach jedem Auftreffen am Boden an Sprunghöhe. Die Tabelle zeigt die maximale Sprunghöhe, die der Ball nach dem jeweiligen Kontakt erreicht.“ Also wir lassen ihn von ein Meter Höhe fallen; hier bitte aufpassen: Es ist eigentlich noch keine Sprunghöhe, sondern nur die Höhe des Balls; denn er ist ja noch nicht gesprungen, wir haben noch keinen Bodenkontakt; er trifft auf den Boden, springt wieder nach oben und erreicht dann eine Höhe von 80 Zentimetern. Dann fällt er wieder runter, springt wieder nach oben und erreicht eine Höhe von 64 Zentimetern. Und er fällt dann wieder runter, springt wieder nach oben, und er hat eine Höhe von 51,2 Zentimetern. Hier nochmal die Sprünge in der Übersicht.

Die erste Aufgabe hierzu lautet: Um wieviel Prozent nimmt die maximale Sprunghöhe nach jedem Aufprall ab? Und um das rauszubekommen, müssen wir die jeweiligen Unterschiede der Werte berechnen. Das heißt: Um wieviel Prozent hat sich der Wert von 100 zu 80 verringert, von 80 zu 64 und von 64 zu 51,2? Und hier können wir ausrechnen: Wieviel sind denn 80 von 100 in Prozent ausgedrückt? Schreiben wir also Verhältnis neuer Wert zu alter Wert, also 80 zu 100. Und das sind dann natürlich 0,8 beziehungsweise 80%. Und wie kommen wir jetzt auf die prozentuale Veränderung? Und dazu rechnen wir einfach 100% minus den neuen Wert, also die 0,8 beziehungsweise das sind 80%. Und dann erhalten wir 20%. Und das ist die prozentuale Veränderung von 100 zu 80, also 100 * 20% = 20, und 100 – 20 = 80.
Wie sieht das Verhältnis aus von 80 zu 64? Setzen wir mal ein: Die 64 oben und die 80 unten. Was ergibt sich hier? Da nehmen wir den Taschenrechner und tippen ein: 64/80 und erhalten 0,8. Also der gleiche Wert, den wir bei 80 : 100 hatten, und damit auch die gleiche prozentuale Veränderung. Und von 64 auf 51,2; das sind, nehmen wir wieder den Taschenrechner: 51,2 dividiert durch 64, und wir erhalten 0,8. Und auch hier gilt, wenn wir die prozentuale Veränderung haben wollen: 100% minus die 80%, also minus diese, und wir erhalten 20%, und hier genauso. Das heißt, nach jedem Bodenkontakt nimmt die Sprunghöhe 20% ab. Hier 20% weniger, hier 20% weniger und hier 20% weniger. Aufgabe 1 gelöst.
Übrigens als Ergänzung: Ihr könnt diese Berechnung der 20% auch in einer Zeile schreiben beziehungsweise mit einer Formel. Machen wir das an diesem Beispiel! Zuerst benötigen wir die Differenz von 80 zu 64, und das sind 16. Wir notieren also: Prozentuale Veränderung, nennen wir sie klein „v“, ist gleich 80 – 64. Und die müssen wir ins Verhältnis stellen zum ursprünglichen Wert, zur 80. Jetzt können wir das wie gesagt ausrechen: 16/80, und das ergibt 0,2 beziehungsweise 20%.
Wie ihr seht, wir erhalten sofort die prozentuale Veränderung, wenn wir die Differenz zum ursprünglichen Wert ins Verhältnis stellen. Gut.

Aufgabe 2: „Geben Sie die Funktionsgleichung an, die den Zusammenhang zwischen Anzahl an Bodenkontakten und maximaler Sprunghöhe beschreibt!“ Also, 0 wird die 100 zugeordnet, 1 die 80, 2 die 64, 3 die 51,2; und wichtig: Es soll eine Exponentialfunktion sein! Was machen wir? Wir überlegen uns, wie ergibt sich diese 80 hier? Wir schreiben wir als erstes f(x) = . Wir haben die 100 gehabt und diese dann multipliziert mit 0,8. Dann sind wir auf 80 gekommen. Diese 0,8 ergibt sich ja aus 100% - 20%, wie wir berechnet hatten. Und das können wir jetzt auch als 0,2 schreiben und 100% als 1. Das heißt: Im ersten Durchlauf 100 * (1 – 0,2), das sind also 20% Verringerung des Wertes, und wir kommen auf 80. Für den nächsten Durchgang schreiben wir hier eine kleine 1 als Index ran und hier eine kleine 2, dass man sieht, das sind zwei verschiedene Durchläufe. Und jetzt schreiben wir hier die 80 hin, mal, und jetzt wieder diesen Term, wieder 20 % weniger. Und für diesen zweiten Durchlauf, für diesen zweiten Bodenkontakt, ergibt sich also: 1 – 0,2, das sind
0,8, * 80, also 64, wie wir hier auch gut sehen können. So, und wie machen wir jetzt hieraus eine Exponentialgleichung? Ganz einfach, wir sehen, dass diese 80 hier steht, und sie ergibt sich ja aus unserer 100 * (1 – 0,2). Wir schreiben also statt der 80 diesen Term hierhin. Wir sehen also, das Blaue ergibt die 80, und die wieder um 20 % reduziert ergibt 64. Und erinnern wir uns: Wenn wir einen Term mit sich selbst multiplizieren, dann können wir das auch als Quadrat schreiben. Also das hier ist dann (1 – 0,2)². Und wenn wir uns jetzt noch hier den dritten Bodenkontakt ausrechnen, dann schreiben wir: f(x_3) = , jetzt hätten wir die 64, und dann diese wiederum um 20% vermindert. Und dann kommt dort 51,2 heraus. Und diese 64, gucken wir hier, ergibt sich aus diesem Term, den wir jetzt hier wieder einsetzen können für die 64. Und wir erkennen: Hier ist einmal der Term ins Quadrat, hier ist einmal der Term in 1. Potenz. Das heißt, wenn wir diese beiden miteinander multiplizieren, können wir hoch 2, hoch 1, also das Ganze zusammenfassen zu hoch 3. Erinnert ihr euch hier auch bitte an die Potenzgesetze. Und jetzt lasst uns das zusammenfassen und wir sehen die Exponentialfunktion beziehungsweise deren Gleichung.
Erster Durchlauf, hier können wir eine hoch 1 heranschreiben. Wir können also sagen: 100 haben wir einmal um 20% reduziert.
Zweiter Durchlauf: Wir haben die 100 einmal um 20% reduziert, und dann nochmal um 20% reduziert, also zweimal.
Und dritter Durchlauf: Hier haben wir die 100 jeweils dreimal um 20% reduziert.
Und richtig, das lässt sich allgemein festhalten. Wir schreiben anstatt diese 1, 2 oder 3 beziehungsweise auf dieser Seite ein „n“, das die Anzahl der Bodenkontakte darstellt. Und y ist dann unsere Höhe. Und das ist schon fast unsere fertige Exponentialgleichung. Fassen wir noch die Klammer zusammen, dann erhalten wir hier 0,8, und jetzt schreiben wir anstatt „n“ das „x“ und hier dann ebenfalls „x“. Und das ist unsere fertige Funktionsgleichung! Wir setzen also die Anzahl der Bodenkontakte hier ein und erhalten die maximale Sprunghöhe.

Diese Aufgabe lässt sich übrigens noch schneller lösen, wenn ihr die allgemeine Form der Exponentialfunktion kennt. Sie lautet
f(x) = a * q^x
a ist unser Anfangswert, und q zeigt uns, wie sich dieser verändert. Wir können jetzt a und q mit Hilfe der gegebenen Werte bestimmen. Hier haben wir 0 und 100, also können wir einsetzen:
x wird 0 und y = 100. Jetzt nehmen wir diese Gleichung und lösen sie auf. Wir erkennen, dass
q^0 = 1 ist, vorausgesetzt, q ist ungleich 0, denn 0^0 wäre nicht definiert; und jetzt: a * 1 = a, also ergibt sich a = 100. Und diese 100 können wir oben in die allgemeine Form einsetzen.
Nehmen wir das nächste Wertepaar 1 und 80 und bestimmen jetzt damit unser q. x = 1, y = 80. Jetzt erkennen wir sofort: q^1 = q. Und wir dividieren die 100 auf die rechte Seite und erhalten q = 0,8.
Und diese können wir jetzt oben für q einsetzen. Fertig! Wir haben die Gleichung der Exponentialfunktion ermittelt. Wie wir sehen, ein anderer und schnellerer Weg.

Weiter geht’s mit Aufgabe 3: Die Aufgabe 3 will wissen: „Bestimmen Sie die Anzahl der Bodenkontakte, nach der die maximale Sprunghöhe erstmals weniger als 30cm beträgt!“ Also hier nimmt sie immer ab, und irgendwann wird sie unter 30cm hoch sein. Und zum Lösen dieser Aufgabe eignet sich wunderbar unsere gerade ermittelte Funktionsgleichung. Wir wollen also unser y herausbekommen, unsere Höhe, und die soll kleiner sein als 30cm. Setzen wir also diese 30cm ein für y. Und jetzt wollen wir wissen, wie viele Bodenkontakte, also hier mit x dargestellt, wir benötigen. Und diese Gleichung mit einer Unbekannten x lässt sich lösen! Tun wir das. Als erstes ziehen wir die 100 herüber, durch 100. Dann erhalten wir auf der rechten Seite 0,3. Und jetzt gilt es, das x hier im Exponenten heraus zu bekommen, damit wir es berechnen können. Dazu benutzen wir den Logarithmus naturalis, „ln“ abgekürzt. Auch könnten wir den dekadischen Logarithmus „lg“ wählen, die Lösung wäre die gleiche. Wir ziehen den Logarithmus also auf beiden Seiten, und erhalten ln(0,8^x) = ln(0,3). Und jetzt können wir das x aus dem Exponenten hier nach vorne schreiben als Multiplikation. Erinnert euch hier an die bereits behandelten Logarithmus-Regeln. Und jetzt wird es einfach: Wir dividieren ln(0,8) hier rüber und wir erhalten x = ln(0,3)/ln(0,8).
Und das tippen wir in den Taschenrechner ein, also: ln(0,3)/ln(0,8). Und wir erhalten rund 5,396. Das ist jedoch noch nicht die Lösung unserer Aufgabe, denn wir haben bei den Bodenkontakten immer nur ganze Zahlen, 0, 1, 2, 3 usw. Das heißt, wir müssen diese 5,396 sinnvoll runden! Wenn wir sie auf 5 runden würden, wäre die Höhe über 30 cm, denn wir brauchen ja mindestens 5,4 Bodenkontakte, also mehr als 5, um unter 30 cm zu kommen! Das heißt, die Lösung lautet hier:
6 Bodenkontakte. Das heißt, mit 6 Bodenkontakten sind wir auf jeden Fall unter 30 cm Sprunghöhe. Wir können uns auch noch die 6 Bodenkontakte hier einsetzen für x als Probe. Tun wir das ganz schnell. Wir rechnen also 0,8^6 * 100:
0,8^6 * 100, und wir erhalten 26,2 cm gerundet, also einen Wert unter 30 cm. Unsere Lösung ist damit korrekt. Wunderbar.

Aufgabe 4: Die vierte Aufgabe fragt: „Berechnen Sie, welche Gesamtstrecke der Ball zurückgelegt hat, wenn er nach dem 4. Bodenkontakt die maximale Sprunghöhe erreicht hat!“ Und hier ist es sinnvoll, wenn man sich das erstmal kurz aufzeichnet. Wir lassen den Ball ja aus einem Meter Höhe fallen, und er hat den ersten Bodenkontakt. Das heißt, im ersten Durchlauf legt er 100cm zurück. Dann springt er wieder nach oben, aber erreicht jetzt nur eine Höhe von 80cm. Wenn er ganz oben ist, fällt er natürlich wieder runter und legt auch hier wieder 80cm zurück. Wir sehen also: Einmal 80cm hoch, maximale Sprunghöhe erreicht, er fällt wieder 80cm herunter. Wenn er jetzt wieder nach oben springt, wird er 64cm hoch fliegen und er wird wieder 64cm herunter fliegen. Und gleiches gilt, dritter Durchlauf: 51,2cm hoch, 51,2cm wieder runter. Und jetzt fehlt noch ein Wert, und zwar sagt die Aufgabe: „Nach dem 4. Bodenkontakt, bei der maximalen Sprunghöhe.“ Also wir müssen noch einmal nach oben und die maximale Sprunghöhe erreichen für den 4. Kontakt. Hier war der erste Bodenkontakt, hier der zweite Bodenkontakt und hier der dritte Bodenkontakt. Jetzt fehlt der 4.
Das heißt: Wie kriegen wir diese Zahl raus? Und das können wir ganz einfach machen. Wir wissen ja: Von 51,2 müssen wieder 20% abgezogen werden, und wir erhalten unser y, also unsere neue Höhe. Das machen wir mit dem Taschenrechner: 51,2 * 0,8, und wir erhalten den neuen Wert 40,96 für dieses y.
Und jetzt gilt es einfach, diese zusammen zu addieren, und wir haben den gesamten zurückgelegten Weg, also die Gesamtstrecke, die der Ball von oben nach unten geflogen ist. Und wenn wir das zusammen addieren, erhalten wir 100, 180, 260, 324, 388, 439,2, 490,4 und insgesamt 531,36cm. Wenn ihr nicht so sicher im Kopf seid, nehmt den Taschenrechner hierfür.
Und wir sind fertig mit dieser Aufgabe!

Wunderbar! Hattest Du alles richtig? Super, so wirst Du sicher in der Prüfung sein! Mit Aufgabenblock 4 gibt es neue Herausforderungen. Stell dich ihnen!

Video Teil 4: Aufgabenblock 4

Hallo liebe Zuschauer und willkommen zum Aufgabenblock 4! Wir bereiten uns weiter auf die Prüfung vor. Diesmal gibt es eine Aufgabe zu den Dreiecken. Sie lautet: „Bei einem Geländelauf ist folgende Strecke zu laufen: A-D-B-C-A.“
Also hier ist ein Dreieck, hier sind die Punkte A, B, C und D eingezeichnet, und jetzt sehen wir
A zu D AD, D zu B, das ist hierlang, B zu C, und C zu A; zurück zum Ausgangspunkt. Und wir sollen jetzt diese Strecke berechnen. Dazu sind uns gegeben zwei Winkel, einmal hier bei A, einmal bei D und die lange Seite AB und diese Seite hier CD. Und außerdem, ganz wichtig, ein rechter Winkel. Das heißt, wir haben hier ein rechtwinkliges Dreieck, und damit können wir zum Beispiel den Satz des Pythagoras anwenden und so etwas Schönes wie Sinus und Kosinus. Gut, legen wir los! Als erstes wäre es sinnvoll, die Winkel zu bestimmen. Also hier fehlt einer, hier fehlt einer, hier fehlt einer. Wie machen wir das? Und erinnert ihr euch? Wir haben ja den sogenannten „Innenwinkelsummensatz“, der besagt, dass alle Winkel in einem Dreieck immer 180 Grad zusammen ergeben. Wer sich nicht erinnern kann, schaut sich bitte die entsprechende Lektion „Rechtwinklige Dreiecke“ an. Gut, und jetzt können wir die Winkel bestimmen. Dieses kleine Dreieck hier, da haben wir hier 90 Grad, unseren rechten Winkel, +45 Grad sind 135 Grad; und wenn wir jetzt von 180 Grad die 135 Grad abziehen, erhalten wir 45 Grad. Weiter geht’s mit diesem kleinen Dreieck hier. Hier haben wir 30 Grad gegeben, hier fehlt ein Winkel, und hier fehlt ein Winkel; das heißt, der Innenwinkelsummen-Satz hilft uns hier nicht. Wir wissen jedoch, dass an einer Geraden dieser Winkel hier ein gestreckter Winkel ist, also 180 Grad groß. Das heißt, wenn dieser Winkel hier 180 Grad ist und wir davon 45 Grad abziehen, haben wir den Winkel auf dieser Seite; also 180 – 45 = 135 Grad. Und jetzt können wir wieder den Innenwinkelsummen-Satz anwenden: Dieser, dieser und dieser Winkel; sie müssen zusammen 180 Grad ergeben. Also
180 – 135 – 30 ergibt 15 Grad. Und schon haben wir alle Winkel bestimmt. Als nächstes gilt es, die unbekannten Seiten zu bestimmen. Also, wenn wir uns nochmal die Strecke anschauen: AD ist unbekannt, DB ist unbekannt, BC ist unbekannt, CA ist unbekannt. Was jedoch bekannt ist, ist diese lange Seite hier unten und diese Teilstrecke hier. Und diese lange Seite, das ist ganz wichtig, das ist die Hypotenuse! Sie ist die längste Seite in diesem großen Dreieck. Und erinnern wir uns: Die längste Seite bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt immer dem rechten Winkel gegenüber. Hier ist der rechte Winkel, gegenüber liegt die längste Seite. Und dieses kleine Dreieck hier, das ist ebenfalls rechtwinklig, hier ist die Strecke BD die längste Seite, also die Hypotenuse.

Versuchen wir, das Ganze sinnvoll zu lösen, schrittweise und verständlich erklärt. Wenn wir uns dieses rechtwinklige Dreieck anschauen, erkennen wir, dass der Winkel hier 45 Grad ist und dieser Winkel ebenfalls 45 Grad ist. Und da müssen wir uns dran erinnern, dass dies ein gleichschenkliges Dreieck ist. Wenn ein Dreieck zwei gleiche Winkel hat, so sind die beiden Schenkel immer gleich lang. Das heißt, diese Seite hier, der eine Schenkel, ist genauso groß wie dieser Schenkel hier. Und das ist ja unsere unbekannte Seite BC. Das heißt, wir können notieren: Strecke BC ist genauso lang wie Strecke CD. Damit können wir die Strecke BC hier ebenfalls beschriften mit 5 km.

Als nächstes können wir diese Strecke BD bestimmen. Und da haben wir jetzt zwei Möglichkeiten.
Entweder wir benutzen den Satz des Pythagoras mit Hilfe dieser beiden Seiten, oder wir benutzen den Kosinus, denn wir haben ja hier für diesen Winkel die Hypotenuse hier und die anliegende Kathete, die Ankathete hier. Nutzen wir also den Kosinus und bestimmen die Seite BD. Wir schreiben also cos(45°) = Ankathete/Hypotenuse. Wie gesagt, die Ankathete für diesen Winkel ist 5 km, und die Hypotenuse ist die längste Seite, das ist hier die Strecke BD. Und jetzt ist ja BD gesucht, das heißt, wir müssen umstellen; machen wir das schnell. Wir multiplizieren BD hier rüber und dividieren cos(45°) nach rechts. BD hier rüber, und jetzt durch cos(45°). Und wir erhalten
5 km : cos(45°), und das geben wir in den Taschenrechner ein: 5/cos(45) = 7,07 gerundet. Hier bitte aufpassen, dass Euer Taschenrechner im DEG-Modus, Degree, also Grad-Modus ist; nicht im Bogenmaß-Modus, im RAD, Radiant. Gut, 7,07 gerundet. Damit haben wir die nächste Seite bestimmt. Tragen wir das in unser Dreieck ein: Die Seite BD, also hier, ist 7,07 km gerundet.

Ihr hättet übrigens diese Seite BD auch über den Satz des Pythagoras ermitteln können; denn wir haben ja ein rechtwinkliges Dreieck und die zwei Seiten hier gegeben. Das heißt, wir wissen
a² + b² = c². c ist unbekannt, dann könnten wir also aufstellen: 5² + 5² = (BD)². Das würde dann so aussehen, dann würden wir hier ausrechnen 25 + 25 = 50 km², und jetzt müssen wir noch die Wurzel ziehen, und zwar, wie wir in der Lektion „Wurzeln“ gesehen haben ± die Wurzel. Dann erhalten wir für BD = ± die Wurzel aus 50 km². Und die Wurzel aus 50, das verrät uns der Taschenrechner: Wurzel aus 50 ist gleich rund 7,07. Und Wurzel aus Quadratkilometer ist natürlich Kilometer. Wir haben also zwei Lösungen, einmal +7,07 und einmal -7,07 Kilometer. Doch die zweite Lösung ist nicht sinnvoll, da wir keine negativen Strecken haben. Das heißt, hier kommt dann 7,07 km raus. Gut, das wie gesagt als alternativer Weg, um auf dieses Ergebnis zu kommen.

Welche Strecke fehlt jetzt noch? Die haben wir, die haben wir, die haben wir; richtig, diese kleine Strecke, die Strecke AD fehlt noch. Wie berechnen wir die? Wenn wir uns nur dieses Dreieck anschauen, dieses kleine, dann haben wir ja keinen rechten Winkel. Das heißt, den Satz des Pythagoras können wir nicht anwenden, und auch nicht direkt den Sinus oder Kosinus. Jedoch haben wir in den Lektionen zur Trigonometrie gelernt, dass es so etwas Schönes wie den Sinussatz gibt, der für allgemeine Dreiecke gilt! Der Sinussatz besagt: Das Verhältnis Sinus von diesem Winkel zu seiner gegenüberliegenden Seite ist genauso groß wie der Sinus von diesem Winkel zu seiner gegenüberliegenden Seite. Das heißt, wir können hier aufstellen:
sin(135°)/10 km ist genauso groß wie, wir wollen ja Seite AD haben, also sin(15°)/Seite AD. Und diese Gleichung können wir jetzt nach AD umstellen. Am besten machen wir hierzu als erstes den Kehrwert, das heißt, Zähler und Nenner vertauschen auf beiden Seiten ihre Plätze. Jetzt können wir sin(15°) hier rübermultiplizieren. Dann erhalten wir diesen Term, den wir jetzt in den Taschenrechner eingeben dürfen. Sinus von 15 Grad, sin(15) mal die 10, und jetzt durch die sin(135), und wir erhalten gerundet 3,66 km, unsere Lösung für AD. Und die lässt sich jetzt wieder schön ins Dreieck eintragen. Hier ist unser Dreieck, und hier die Strecke AD.

Wir hätten hier übrigens auch statt des Sinussatzes wieder den Pythagoras wählen können, um AD zu bestimmen. Und zwar haben wir ja hier unser großes rechtwinkliges Dreieck, wir kennen die eine Seite, wir kennen die zweite Seite, und die dritte Seite kennen wir zum Teil; denn von der Strecke AC wissen wir, ist die Strecke CD 5 km lang, das heißt der Rest ist unsere Strecke AD. Stellen wir einfach mal den Satz des Pythagoras für das große Dreieck auf. Er lautet:
Strecke BC, also die, ins Quadrat (BC)² + Strecke AC, also die, ins Quadrat (AC)² = Strecke AB, die lange Seite, ins Quadrat (AB)². Und jetzt können wir einsetzen. BC = 5 km und AB = 10 km. Jetzt stellen wir das nach AC um, rechnen vorher jedoch die Quadrate aus, hier ergibt sich 25 und hier ergibt sich 100. Und jetzt -25 auf beiden Seiten, wir erhalten 75 auf der rechten Seite. Und jetzt haben wir das Quadrat, das bekommen wir mit der Wurzel weg. Also ± die Wurzel, und dann steht da: Strecke AC = Wurzel aus 75, wobei wir den negativen Wert vernachlässigen, denn die Strecke darf nicht negativ sein. Und das können wir in den Taschenrechner eingeben: Wurzel 75 und erhalten 8,66 gerundet.

Als Hinweis an dieser Stelle: Manchmal steht auch in der Aufgabe, ihr sollt nicht runden. Dann müsstet ihr hier mit der Wurzel weiterrechnen. Und diese Wurzel 75, die könnte man noch vereinfachen, und zwar steckt ja hier die 25 * 3 drin, und die Wurzelgesetze sagen uns, wir dürfen die Wurzel bei einer Multiplikation auf beide Faktoren ziehen; also Wurzel 25 * Wurzel aus 3, und die Wurzel aus 25 ist 5. Das heißt, 8,66 wäre der Wert gerundet, und konkret wäre er
5 * Wurzel aus 3. Gut, das wie gesagt nur als Nebenbemerkung.

Schauen wir uns jetzt unser Dreieck nochmal an. Wir haben die Strecke AC mit 8,66 km ermittelt, und das ist ja diese gesamte Strecke. Wenn wir davon die 5 abziehen, erhalten wir die Strecke AD, und die ist damit, richtig, 8,66 – 5, also 3,66 km. Also genau das gleiche Ergebnis, das wir auch beim Sinussatz ermittelt hatten.

Und damit haben wir alle Strecken bestimmt, die wir für die Gesamtstrecke, für den Geländelauf benötigen. Jetzt müssen wir sie nur noch zusammenaddieren. AD + DB + BC + CA ist gleich unsere Gesamtstrecke s. Und jetzt können wir einsetzen: AD = 3,66; DB = 7,07; BC = 5; und CA besteht aus zwei Teilen, 5 und 3,66, also 8,66. Und wenn wir das zusammenrechnen, kommt heraus: Die Strecke ist rund 24,39 km lang. Die Lösung lautet also: Der Geländelauf hat insgesamt eine Strecke von 24,39 km.

Damit ist Aufgabenblock 4 erledigt. Seid ihr auch auf die gleichen Ergebnisse gekommen? Dann habt ihr alles richtig gemacht! Schauen wir, was im Block 5 auf uns wartet.

Video Teil 5: Aufgabenblock 5

Hallo liebe Schüler und willkommen zum Aufgabenblock 5! Dieser Block hält Aufgaben bereit, auf die ihr im Alltag treffen könnt. Schauen wir uns die Aufgabe an. Sie lautet:

„Jens sucht mit zwei Studienfreunden eine Wohnung. Im Internet wird eine Dreizimmerwohnung in einem Neubau zur Vermietung angeboten. Sie ist 72m2 groß, der Mietpreis beträgt 540 Euro im Monat, hinzu kommen Nebenkosten in Höhe von 108 Euro.“

Aufgabe a) lautet: „Berechne den Mietpreis pro Quadratmeter einschließlich der Nebenkosten.“ Und um den Mietpreis pro Quadratmeter berechnen zu können, müssen wir erstmal die Gesamtmiete berechnen, und die ergibt sich aus 540 + 108 Euro. Wir schreiben also auf: Gesamtmiete = 540 Euro + 108 Euro, und das ergibt 648 Euro. Als nächstes müssen wir diesen Wert durch 72m2 dividieren. Dann ergibt sich 648:72, und das kann man im Kopf machen, das sind 9. Das heißt, der Mietpreis beträgt 9 Euro je Quadratmeter.

Aufgabe b) „Die Freunde beschließen, die Miete inklusive Nebenkosten zu teilen. Wieviel muss jeder zahlen?“
Und da nehmen wir die Gesamtmiete wieder, das hatten wir schon ausgerechnet, das sind 648 Euro; und diese teilen wir durch die, richtig, 1, 2, 3 Personen. Und 648:3, das ergibt 216 Euro je Person. Also jeder der drei Freunde muss 216 Euro bezahlen. Bevor wir weitermachen mit Aufgabe c), lasst uns doch hier nochmal ein bisschen aufräumen, damit wir hier nur die wichtigen Daten zu stehen haben: Fläche, Mietpreis, Nebenkosten, Gesamtmiete. So.

Aufgabe c) lautet: „Bei der Besichtigung der Wohnung erfahren sie, dass noch weitere 108 Euro pro Monat für Heizung und Kabelfernsehen bezahlt werden müssen. Außerdem sind drei Zimmer unterschiedlich groß, nämlich 18, 24, 15 Quadratmeter. Die restliche Wohnfläche entfällt auf Küche, Bad und Flur, die gemeinsam genutzt werden. Berechne nun die anteilige Monatsmiete unter Berücksichtigung der Zimmergröße und teile die anderen Flächen gleich auf.“
Und hier müssen wir etwas überlegen: Als erste Information können wir das schon festhalten: 108 Euro kommen auf die Miete rauf. Also wir haben nicht mehr 108 Euro wie zuvor, sondern 108 + 108 = 216 Euro an Nebenkosten. Damit erhöht sich auch unsere Gesamtmiete um 108 Euro, das sind dann 756 Euro. Nehmen wir den ersten Satz weg, den haben wir abgearbeitet. Jetzt steht ja, die drei Zimmer sind unterschiedlich groß, 18, 24, 15 Quadratmeter. Und dann haben wir noch die restliche Fläche, anteilig von diesen 72. Also jetzt müssen wir das mal aufschlüsseln. Wir nehmen die Gesamtfläche mit 72, dann ziehen wir die drei Zimmer davon ab, also sagen wir „Zimmerflächen“ mit 18 + 24 + 15 Quadratmeter, das sind dann insgesamt 57 Quadratmeter; und die restliche Wohnfläche, also Küche, Bad, Flur sind dann 72m2 – 57m2. Und wir erhalten 15m2.
Und jetzt gibt es verschiedenen Möglichkeiten, diese Aufgabe zu lösen. Wir schlagen dabei Folgendes vor: Die Restflächen werden ja von allen dreien zusammen genutzt. Also können wir die 15 Quadratmeter durch 3 teilen; so entfallen also 5 Quadratmeter auf jede Person. Schreiben wir also alle drei Freunde mal hin und ordnen wir jetzt zu. Der erste 18, der zweite hatte 24, der dritte 15 Quadratmeter für das jeweilige Zimmer. Und jetzt nochmal diese 15 aufgeteilt mit jeweils 5, also hier +5, hier +5 und hier +5. Dann rechnen wir das aus. Das sind 23, das sind 29 und das sind 20 Quadratmeter. Die Summe hieraus zur Probe muss wieder die Gesamtfläche 72 Quadratmeter ergeben. 23 + 29 = 52, + 20 = 72, richtig. Und jetzt können wir diese Teilflächen nehmen und die Miete entsprechend auf diese verteilen! Tun wir das. Hier gibt’s übrigens auch wieder zwei Möglichkeiten. Einmal über den Quadratmeterpreis oder über den Anteil.
Der Weg über den Quadratmeterpreis ist hierbei der schnellere. Wir nehmen ganz einfach die Gesamtmiete, teilen sie durch die Gesamtfläche, das ergibt dann 10,50 Euro je Quadratmeter; und diese multiplizieren wir jetzt mit 23, das ergibt 241,5; wir multiplizieren diese mit 29, das ergibt 304,5; und dann noch 10,5 * 20, das ergibt 210 Euro.
Der andere Weg ist etwas länger, doch wir wiederholen damit das Rechnen mit Anteilen. Wir berechnen den Flächenanteil von der Gesamtfläche und dann multiplizieren wir diese mit der Gesamtmiete. Das heißt, für Freund 1 23m2/72m2, und dann das multipliziert mit der Gesamtmiete 756 Euro. Hier nehmen wir den Taschenrechner dazu, um das zu lösen, geben ein 23:72, wir erhalten rund 0,319. Ihr seht also, das sind etwa 32 Prozent von der Gesamtfläche. Und diese multiplizieren wir jetzt mit 756. Denn er muss ja dann noch etwa 32 Prozent hiervon bezahlen. Wir erhalten 241,50 Euro, der erste Mietanteil. Für Freund Nummer 2 nehmen wir jetzt nicht 23, sondern 29 Quadratmeter. Schauen wir uns an, wieviel Prozent das von der Gesamtfläche ist.
29:72, und wir erhalten rund 40 Prozent. Und diese multiplizieren wir jetzt mit 756. Wir berechnen also 40% von 756, und wir erhalten 304,50 Euro. Das ist der Anteil für Freund 2. Und zu guter letzt, jetzt könnten wir abkürzen: 756 minus diese beiden Werte und die Differenz dann hier hinschreiben. Jetzt machen wir es jedoch über unseren Weg hier unten. Freund Nummer 3 20m2/72m2, das sind
20:72, und wir erhalten rund 27,8%. Das also mal 756, Anteil an der Gesamtmiete ist 210 Euro für Freund Nummer 3.
An dieser Stelle der Hinweis: Bitte macht immer, wenn ihr so ein Teilergebnis habt, eine Zwischenprobe. Alle drei zusammen müssen die Gesamtmiete ergeben. Und das könnt ihr auch hier im Kopf schnell machen: 50 Cent, 50 Cent, ist ein Euro, der kommt mit rüber, 5, 6 Euro; Stelle stimmt; 4 +1 = 5, richtig; und 2 + 3 + 2 = 7, richtig.
Gut, damit haben wir die Aufgabe c) fertig.

Was will Aufgabe d) von uns? „Jens hat sich das abgebildete Zimmer ausgesucht. Bestimme, welches der drei Zimmer er gewählt hat. Begründe durch Rechnung. Und entscheide durch Rechnung, ob der Winkel α ein rechter Winkel ist.“
Das ist das abgebildete Zimmer, hier ist der Winkel α. Und um jetzt zu bestimmen, welches Zimmer er hat, müssen wir natürlich die Fläche ausrechnen. Dann können wir mit den drei Zimmerflächen vergleichen, die uns gegeben sind. Die Berechnung des Winkels α ist eine zweite Teilaufgabe.

Berechnen wir als erstes die Fläche. Was uns zuerst ins Auge fallen sollte ist, dass ein Teil der Fläche ein Rechteck ist! Wir können also hier eine Strecke einzeichnen und erhalten damit eine Rechtecksfläche, und diese lässt sich berechnen. Wir können jetzt mal eintragen groß A mit einem kleinen R daran für Rechteck AR, und hier groß A mit einem kleinen D daran für Dreieck AD. Groß A meint dabei die Fläche. Und wir können aufstellen:
AR = Seite A * Seite B, also 3,20 Meter * 4,60 Meter. Damit erhalten wir 3,2 * 4,6 = 14,72 Quadratmeter.
Jetzt fehlt uns noch diese Fläche des Dreiecks AD. Und wie lässt sich die bestimmen? Hierzu müssen wir uns an die Flächenformel für Dreiecke erinnern. Sie lautet: Grundseite des Dreiecks * Höhe : 2. Und es bietet sich hier an, weil wir die blaue Seite kennen, die Höhe auf die blaue Seite einzuzeichnen. Und damit erhalten wir auch zwei rechtwinklige Dreiecke, oben und unten. Wie können wir jetzt die Länge der roten Seite ermitteln? Wenn wir uns dieses Teildreieck anschauen, erkennen wir, dass die Strecke mit 3,30 Metern die längste Strecke im Dreieck ist, also die Hypotenuse. Können wir also einen Winkel bestimmen hier bei α? Nein, hier oben ja! Diesen Winkel, nennen wir ihn β, können wir bestimmen, weil wir wissen: Dieser Teilwinkel ist 90 Grad, dieser kleine Winkel muss also 116,3 minus die 90 Grad sein, und das, richtig, ist 26,3 Grad für β.
Und jetzt wissen wir: Wir haben einen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck gegeben und die Hypotenuse. Wir kennen den Sinus und den Kosinus, schreiben wir mal den Sinus da hin mit
sin(von einem Winkel β) ist gleich, richtig, Gegenkathete : Hypotenuse. Das heißt, die Gegenkathete, β liegt diese Höhe des Dreiecks gegenüber, das ist also h; und die Hypotenuse, das sind unsere 3,30 Meter. Und wir kennen unseren Winkel β mit 26,3 Grad. So können wir also jetzt diese Gleichung nach h umstellen, wir müssen einfach 3,30 Meter hier nach links multiplizieren. Und das geben wir in den Taschenrechner ein: sin(26,3) * 3,30 Meter, * 3,3 = rund 1,462 Meter. Und jetzt können wir den Flächeninhalt des Dreiecks bestimmen, denn er ergibt sich ja aus Höhe * Grundseite : 2.
Diese Formel müsstet ihr noch von den Dreiecken kennen. Wir können also ganz bequem einsetzen: Höhe mit 1,462 Metern, und die Grundseite mit, richtig, die ist genauso lang wie die Seite,
4,60 Meter. Und das geben wir auch ganz schnell in den Taschenrechner ein und wir erhalten rund
3,3626 Quadratmeter.
Und jetzt lässt sich die Gesamtfläche bestimmen. AR mit 14,72 Quadratmetern + AD mit 3,3626 Quadratmetern. Und wir erhalten eine Gesamtfläche von ca. 18 Quadratmetern.
Das heißt, die Antwort ist: Jens hat sich das 18 Quadratmeter-Zimmer ausgesucht.

Und machen wir noch schnell die zweite Teilaufgabe, wo wir prüfen sollen, ob α = 90 Grad ist.
Und hier gibt es wieder verschiedene Möglichkeiten, das nachzuweisen. Und eine der wahrscheinlich schnelleren Möglichkeiten ist folgende: Wenn α = 90 Grad wäre, dann gilt ja in diesem großen Dreieck Sinus, Kosinus und Tangens. Wir haben β gegeben, wir haben die anliegende Kathete, die Ankathete gegeben mit 3,30 Metern, und wir kennen die lange Seite, die Hypotenuse mit 4,60 Metern. Ankathete, Hypotenuse und unseren Winkel β. Notieren wir das einmal: cos(β) = Ankathete : Hypotenuse. Und jetzt setzen wir ein: Ankathete sind 3,30 Meter, und die Hypotenuse, das sind unsere 4,60 Meter. Und unser Winkel β, richtig, 26,3°. Wenn also hier auf der linken Seite sich der gleiche Wert ergibt wie hier auf der rechten Seite bei dieser Division, dann handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck, denn dann stimmt der Kosinuswert überein mit diesem Verhältnis, das ist ja der Kosinuswert; und es wäre ein rechtwinkliges Dreieck. Tippen wir das mal in den Taschenrechner ein: cos(26,3) = 0,8965 gerundet. Und jetzt muss hier der gleiche Wert rauskommen! Tippen wir also ein 3,3:4,6 = 0,7174 gerundet. Und das ist ungleich! Das sagt uns wiederum, dass dieses Dreieck kein rechtwinkliges Dreieck ist beziehungsweise dass dieser Winkel α nicht 90 Grad groß ist! Super, Aufgabe d) abgeschlossen. Schauen wir uns die letzte an,

Aufgabe e) Die Aufgabe ist etwas länger. Lesen wir sie schnell: „Jens erhält eine Erbschaft in Höhe von 27000 Euro und möchte sich nach Abschluss seines Studiums in 6 Jahren eine Wohnung davon kaufen. Er rechnet mit einem Kaufpreis von 120000 Euro. Beim Kauf möchte er ein Drittel des Kaufpreises an eigenem Geld aufbringen, der Rest soll durch Bankdarlehen finanziert werden. Um den Eigenanteil von einem Drittel anzusparen, möchte er den Betrag von 27000 Euro, also seine Erbschaft, für 6 Jahre bei der Bank anlegen. Der Zinssatz, den Banken ihren Kunden gewähren, liegt zwischen 4 und 5 Prozent. Beurteile die Erfolgsaussichten für das Vorhaben.“
Viel Text, lasst ihn uns filtern. Wir haben einmal 27000 Euro, wir haben einmal „in 6 Jahren“, wir haben den Wohnungskaufpreis von 120000 Euro; weiterhin wird gesagt, er möchte ein Drittel des Kaufpreises an eigenem Geld aufbringen, also ein Drittel von 120000; und der Rest soll durch Bankdarlehen finanziert werden. Um den Eigenanteil von einem Drittel, also können wir auch „Eigenanteil“ schreiben, anzusparen, möchte er den Betrag von 27000 Euro, den haben wir schon, das ist unser Startkapital, wir schreiben K0, für 6 Jahre bei der Bank anlegen. Und 6 Jahre Anlage, dann schreiben wir hier ein kleines „n“ für die Laufzeit. Der Zinssatz der Bank beträgt 4 bis 5 Prozent. Gut, also das ist hier etwas ungenau, 4 oder 5 Prozent pro Jahr. Zinssatz = 4 bis 5 Prozent.
Wie lösen wir diese Aufgabe jetzt?
Das erste, was euch auffallen muss, ist: Wenn wir Zinsen auf diese Anlage bekommen, bekommen wir sie jedes Jahr, und die neuen Zinsen werden immer mitverzinst! Das heißt, hier brauchen wir den Zinseszins. Und die Zinseszins-Formel müsst ihr im Kopf haben, sie lautet:
Kn = K0 * (1 + p)n
Kn ist unser Endkapital
K0 ist das Startkapital
und p, das ist der Zinssatz,
und hoch n, das sind die Anzahl der Jahre.
Die Anzahl der Jahre ist mit 6 gegeben, die lassen sich schon mal eintragen. Dann kennen wir unser Startkapital mit 27000 Euro. Und, das können wir auch schon ausrechnen, ein Drittel von 120000, das sind 40000, also 120000:3.
An dieser Stelle gibt es zwei Möglichkeiten weiter zu machen.
Die eine ist, man setzt ganz einfach den höchsten Prozentsatz hier ein, das sind 5 Prozent, berechnet dann 0,05 + 1 = 1,05 und tippt das in den Taschenrechner ein mit 1,05 hoch 6 mal 27000. Damit erhalten wir 36182,58 und erkennen: Dieser Wert liegt unter der benötigten 40000, das heißt, die Erbschaft reicht nicht aus.
Der zweite Lösungsweg wäre, gehen wir hier nochmal zurück. An dieser Stelle könnten wir K6 einsetzen und p bestimmen, denn der Zinssatz müsste ja 4 bis 5 Prozent groß sein. Und K6, richtig, das ist das zu erzielende Kapital, unsere 40000. In dieser Gleichung müssen wir also den notwendigen Zinssatz bestimmen, damit wir auf 40000 Euro kommen. Und da können wir die einfach nach p umstellen. Also hier ist mal 27000 Euro, diesen Wert dividieren wir hier rüber. Jetzt haben wir (1 + p)6, und dann dürfen wir die 6. Wurzel auf beiden Seiten ziehen. Eigentlich müssten wir jetzt ± die 6. Wurzel hinschreiben, denn ein negativer Wert hoch 6 wäre ja auch positiv; da wir jedoch keinen negativen, sondern den positiven Zinssatz benötigen, ziehen wir hier die 6. Wurzel.
So erhalten wir also: 6. Wurzel aus diesem Term = 6. Wurzel aus diesem Term. Hier wissen wir, das hatten wir in den Wurzel- und Potenzlektionen gesehen, dass sich 6. Wurzel und hoch 6 aufheben, das heißt, hier bleibt 1 + p stehen. Und auf der linken Seite, das geben wir in den Taschenrechner ein. 40000:27000, also kann man gleich 40:27 rechnen, und daraus jetzt die 6. Wurzel!
Also 6, dann SHIFT, dieses Zeichen hier n√, dann haben wir nämlich n-te Wurzel aus x, und jetzt unseren Wert eingetragen aus dem Speicher, und wir erhalten rund 1,0677 für diesen Term. Und jetzt abschließend die 1 noch herüber subtrahieren, und wir erhalten rund 0,0677. Und wenn wir das in Prozent ausdrücken wollen, dann sind das 6,77:100, also 6,77 Prozent. Wir benötigen also diesen Prozentsatz, diesen Zinssatz, um von 27000 Euro innerhalb von 6 Jahren auf 40000 Euro zu kommen. Da der Zinssatz der Bank jedoch nur zwischen 4 und 5 Prozent beträgt, werden die Zinsen, die sich hieraus ergeben, niedriger sein; er wird also nicht die 40000 erreichen können.
Mit dieser Aussage haben wir die Aufgabe e) erledigt.

Wunderbar! Der Aufgabenblock 5 war etwas umfangreicher, wir haben ihn abgeschlossen. Falls Du alles richtig gehabt hast, Glückwunsch! Gucken wir, was im Aufgabenblock 6 auf uns wartet.

Video Teil 6: Aufgabenblock 6

Hallo liebe Zuschauer und willkommen zum Aufgabenblock 6! Wir wollen uns heute drei Übungsaufgaben anschauen, die mit Volumen zu tun haben.

Aufgabe 1 lautet: „Ein Stein wird in ein Gefäß mit Wasser vollständig eingetaucht. Dabei steigt der Wasserspiegel um 2 cm. Bestimme das Volumen des Steins.“
Hier in der Abbildung, das sieht aus wie ein Aquarium, hat die Form eines Quaders, also eine rechteckige Grundfläche, und alle Seitenflächen sind ebenfalls Rechtecke. Und gegenüberliegende Flächen sind deckungsgleich. Und wir sehen die Maße: Breite ist 8 cm, die Höhe ist 7 cm bis zum Wasser hier, und die Länge ist 12 cm. Jetzt wird der Stein also hier hereingetaucht, und der Wasserspiegel steigt um 2 cm.
Der erste Gedanke, wenn man diese Abbildung sieht, ist vielleicht: Ja, berechnen wir gleich mal das Wasservolumen. Aber das ist in diesem Fall gar nicht nötig, also jedenfalls nicht mit der Höhe von
7 cm, sondern wir wissen ja: Hier, ab 7 cm steigt, wenn der Stein im Wasser ist, das Wasser auf
9 cm. Das heißt, diese 2 cm interessieren uns nur, und nicht die 7 cm, also der Höhenunterschied. Und dann wissen wir: Der Stein verdrängt genau sein Volumen. Also wenn wir ihn ins Wasser hineintauchen, dann befindet sich sein Volumen im Wasser und verdrängt entsprechend viel Volumen an Wasser nach oben! Also das Volumen des verdrängten Wassers entspricht dem Volumen des Steines. Das heißt, wir müssen nichts weiter machen, als die 2 cm Höhe mal die 8 cm Breite mal die 12 cm Länge bestimmen, also dieses Differenzvolumen. Wir schreiben also auf:
Volumen = Höhe * Breite * Länge, V = h * b * l
Und dann setzen wir die Werte ein, die Höhe ist jetzt 2 cm, die Breite ist immer noch 8 cm, und die Länge ist immer noch 12 cm. Und das könnt ihr ganz einfach im Kopf rechnen: 2 * 8 = 16, und
16 * 12 = 192.
Und dann aufpassen hier bitte: Zentimeter hoch 3 (cm³) schreiben, denn wir hatten ja
cm * cm * cm, also cm3.
Und schon haben wir das Volumen dieser Differenz des verdrängten Wassers und damit das Volumen des Steins bestimmt: 192 Kubikzentimeter (cm³). Aufgabe 1 erledigt.

Aufgabe 2 lautet: „Eine Kerzenmanufaktur gießt Kerzen in kegelförmige Gefäße, die oben offen sind (also hier in der Abbildung). Aus 50 kg Wachs sollen Kerzen gegossen werden. Die Gefäße haben innen eine Seitenlinie s von 8 cm (also hier drin diese lange Linie sind 8 cm, man sagt übrigens auch „Mantellinie“ dazu) und einen inneren Durchmesser am oberen Rand von 6 cm.“ Hier ist der obere Rand, der Durchmesser ist 6 cm.
Klären wir zuerst: Was heißt denn „Manufaktur“? Das kennt ihr von „manufacture“, vom Englischen: Es ist ein Betrieb, in dem etwas hergestellt wird.
So, als Angaben haben wir: 50 kg Wachs, und wir haben die Seitenlinie s = 8 cm, beschriften wir die, und dann haben wir den Durchmesser von 6 cm, also hier oben.

So, und die Aufgabe a) lautet:
„Berechne das Kegelvolumen.“ Und um das berechnen zu können, benötigen wir die Formel für das Kegelvolumen. Und die könnt ihr in einem Tafelwerk nachschauen oder in einer Formelsammlung, die lautet:
V = 1/3 * π * r2 * h
Und wie wir sehen, haben wir jetzt weder die Höhe noch den Radius gegeben, das heißt, wir müssen die beiden hieraus ermitteln. Den Radius erhalten wir, indem wir den Durchmesser halbieren, denn der Radius ist immer der halbe Durchmesser. Das heißt, schreiben wir das richtig hin: r = d:2, dann setzen wir d ein mit 6 cm, und 6 cm durch 2, richtig, das sind 3 cm. Das heißt, in unsere Formel können wir hier r mit 3 cm eintragen.
Jetzt gilt es noch, die Höhe zu bestimmen. Und die Höhe geht ja von hier bis hier, also vom Kreismittelpunkt zur Spitze des Kegels. Und jetzt erkennen wir, dass wir ja hier ein Dreieck haben, und zwar mit der blauen Seite, mit der grünen Seite, und hier oben mit dem Radius, also diese 3 cm hier. Und wir sehen, dass es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt! Hier ist der rechte Winkel, denn unsere Höhe steht ja senkrecht auf diesem Durchmesser. Und jetzt können wir den Satz des Pythagoras benutzen, um die Seite h zu bestimmen. Rechtwinkliges Dreieck, kurze Seite, kurze Seite, lange Seite, also a² + b² = c². Schreiben wir das grad mal allgemein hin:
a² + b² = c². Und jetzt heißen diese Variablen bei uns anders, beziehungsweise wir nehmen gleich die Werte. Fangen wir an: a ist bei uns das h, b ist bei uns die 3 cm, und c ist bei uns die längste Seite, also 8 cm. Und schon können wir das nach h umstellen; wir ziehen einfach diesen Term auf die rechte Seite rüber, dann fällt er auf der linken Seite weg und erscheint auf der rechten Seite; und dann können wir hier ausrechnen: 82 = 64, cm² sind Quadratzentimeter, und 32 = 9, also 9 cm2.
64 – 9, richtig, 55 cm2. Und abschließend müssen wir noch die Wurzel ziehen, um das Quadrat weg zu bekommen. Und hier gilt das, was wir auch schon in den anderen Teilen gesagt hatten: Wir müssten normalerweise ± die Wurzel ziehen; da eine Strecke jedoch nicht negativ sein darf, brauchen wir hier nur die positive Wurzel zu berücksichtigen! Damit erhalten wir h = Wurzel aus 55 cm²; das geben wir in den Taschenrechner ein, also Wurzel aus 55, und wir erhalten rund 7,416 cm für unsere Höhe. So, und jetzt können wir diesen Wert hier einsetzen, oder aber, um es wirklich konkret zu machen, nehmen wir jetzt mal die Wurzel aus 55 cm2, denn durch die Rundung kann es zu Abweichungen kommen. Das heißt, wir konzentrieren uns an der Stelle auf den nicht gerundeten Wert. Wir übernehmen diesen Wert also hier nach oben. Und dann berechnen wir diesen Term. Als erstes können wir im Kopf rechnen: 3 Zentimeter ins Quadrat sind 9 cm2, ich lass erst mal noch die Klammer stehen, und dann geben wir das komplett in den Taschenrechner ein. Fangen wir von hinten an mit der Wurzel, also Wurzel 55 * die 9 * π * 1/3, da können wir gleich durch 3 rechnen. Und wir erhalten rund (jetzt können wir runden) 69,896; also machen wir 69,9 da draus, und zwar Kubikzentimeter cm3. Das ist also das Volumen eines Kegels (V = 69,9 cm3)! Damit haben wir die Aufgabe a) erledigt.

Gehen wir über zu Aufgabe b). Aufgabe b) fragt: „Wie viele Kerzen können aus den 50 kg Wachs gegossen werden?“ Und uns ist gegeben die Dichte von Wachs mit 0,92g/cm3; also in einem Kubikzentimeter haben wir 0,92 Gramm; und uns ist die Volumenformel gegeben, wie man aus der Masse und der Dichte das Volumen bestimmt. Und hier unten haben wir festgehalten aus der vorigen Aufgabe, der Aufgabe a), unser Ergebnis mit 69,9 cm3. So, was wir also als erstes machen ist, das Volumen der 50kg Wachs zu bestimmen. Dazu setzen wir die 50kg, die sind ja unsere Masse, hier für das kleine „m“ ein, unsere Masse. Jetzt haben wir hier unten das ρ (rho) zu stehen, dieser griechische Buchstabe steht für die Dichte, und die Dichte steht ja hier. Tragen wir also diesen Wert ebenfalls hier ein. Schreiben wir das vorher doch als Division. 50kg:ρ und jetzt die Dichte hier eingesetzt. So, und jetzt können wir das verrechnen, wir müssen jedoch vorher noch Kilogramm in Gramm umwandeln, tun wir das. Und wir wissen, wenn wir durch einen Bruch dividieren, in dem Fall 0,92g/cm3, also wir dürfen die 0,92 hier oben hinschreiben zum Gramm g, dann ist es das Gleiche, als ob wir mit dem Kehrwert des Bruches multiplizieren. So, und jetzt können wir die 50000 Gramm auch hier oben auf den Zähler schreiben, und damit hier nicht * cm³ steht, tragen wir hier noch eine 1 hin. Und jetzt dürfen wir g und g miteinander kürzen und können das jetzt hier im Taschenrechner berechnen. Also 50000:0,92; und wir erhalten 54347,826 Kubikzentimeter.
So, und von diesem Volumen ausgehend, von unserem Wachs, können wir schauen, wie viele Kegel wir herstellen können, also Kegelkerzen. Und wir wissen, eine Kerze nimmt 69,9 cm³ in Anspruch, schreiben wir hier übrigens ein kleines K in den Index für „Kerze“, und damit wir das hier mit dem Volumen des Wachses nicht verwechseln, schreiben wir sicherheitshalber hier noch ein kleines W ran für „Wachs“, und jetzt fragt sich: Wie kommen wir auf die Anzahl der Kegel? Und da machen wir folgendes: Wir schauen einfach, wie oft die 69,9 cm³ in diese 54347,826 cm³ hereinpassen. Und das macht man mit der Division. Das heißt, Volumen des Wachses dividiert durch das Volumen der Kerze. Wir schreiben hin: n (für Anzahl) = VW:VK, und dann setzen wir die Werte ein, hier dieser Wert und hier dieser Wert. Jetzt wieder den Taschenrechner herausgenommen, und wir berechen
54347,826 durch die 69,9. Und heraus kommt rund 777,5. Da wir jedoch keine halbe Kerze haben wollen, sondern immer nur vollständige Kerzen, müssen wir hier auf 777 sinnvoll abrunden und können also als Antwortsatz hinschreiben: „Es können 777 Kerzen gegossen werden aus 50 kg Wachs.“ Und damit sind wir mit dieser Aufgabe ebenfalls fertig. Wunderbar!

So, dritte und letzte Aufgabe des Aufgabenblocks 6: „Die Cheops-Pyramide in Ägypten ist 139 Meter hoch und hat eine quadratische Grundfläche. Die Grundkante misst 230 Meter.“ Wie sieht nochmal die Pyramide aus? In etwa so. Das ist also die Skizze der Cheops-Pyramide. Jetzt wissen wir, sie ist 139 Meter hoch, das heißt, von der Spitze direkt nach unten. Zeichnen wir hier die Höhe ein. Und jetzt wissen wir noch: Die Grundkante ist 230 Meter. Und die Grundkante ist eine dieser Seiten. Also nehmen wir die hier vorne mit klein „g“. Und die Frage lautet: „Bestimme das Volumen der Pyramide.“
Und da schauen wir ganz einfach in unsere Formelsammlung und finden dort folgende Formel:
Das Volumen der Pyramide ist V = 1/3 * G * h, wobei groß G die Grundfläche meint, also diesen grauen Bereich! Und h, das haben wir schon gegeben. Das heißt, wir müssen groß G berechnen, und dann können wir auf das Volumen kommen. Groß G, unsere Grundfläche erhalten wir recht einfach, denn die graue Fläche ist ja eine quadratische Fläche, das heißt, alle vier Seiten sind gleich lang. Und wenn wir ein Quadrat haben, dann wissen wir, brauchen wir nur die beiden Seiten multiplizieren, und wir erhalten die Fläche, also g * g. Grundfläche ist also g2 beziehungsweise
g * g, und die Grundkante ist 230 Meter lang. Tragen wir die hier ein. 230m * 230m, und
230 * 230, das sind 232 * 100, also 52900 m². Und diese können wir jetzt hier oben in die Formel einsetzen.
Jetzt schauen wir noch, welchen Wert unsere Höhe hat, und der ist 139 Meter. Und das lässt sich jetzt berechnen, wir tippen das einfach in den Taschenrechner ein. Fangen wir wieder hinten an:
139 * 52900 * 1/3, und das ist wieder das gleiche wie durch 3. Und wir erhalten rund
2.451.033 Meter, Meter hoch 2, wir multiplizieren beide, also Meter hoch 3, Kubikmeter m3. Die Lösung unserer Aufgabe! Die Cheops-Pyramide hat also ein Volumen von rund 2,5 Millionen Kubikmetern.

Hast Du Dir jetzt alle 6 Aufgabenblöcke angeschaut und immer noch alles richtig? Falls dem so ist: Herzlichen Glückwunsch, das ist eine Top-Leistung! Falls Du ein paar Fehler hattest, kein Problem; jetzt weißt Du, wie es richtig geht.

Schauen wir, was im nächsten Aufgabenblock auf uns wartet.

Video Teil 7: Aufgabenblock 7

Hallo und willkommen zum nächsten Teil der Prüfungsvorbereitung! In diesem Aufgabenblock schauen wir uns einige Aufgaben zu Funktionen an.

Die Aufgabe lautet: „Eine Parabel p mit der Gleichung y = x2 + 4x + q geht durch den Punkt A mit (-3|-4). Der Punkt B mit (1|yB) liegt ebenfalls auf dieser Parabel. Berechnen Sie die y-Koordinate des Punktes B (also diese hier).“

Gut, wie gehen wir hier am besten vor? Als erstes schauen wir uns nochmal die Funktionsgleichung an: x2 + 4x + q.
q, das ist keine Zahl. Hier fehlt also was; hier ist eine Variable eingesetzt, ein sogenannter „Parameter“, und kein konkreter Wert. Die erste Frage, die sich uns stellt, ist: Können wir q bestimmen? Schreiben wir diese Gleichung nochmal hier hin und schreiben wir statt „y“ das berühmte f(x), da sich damit nachher besser arbeiten lässt. So, und was haben wir gegeben? Wir haben ja den Punkt A mit (-3|-4) gegeben. Wir wissen, dass die -3 unser x-Wert ist und die -4 unser y-Wert. Also wenn wir hier für x -3 einsetzen, dann wird das -3 und das -3, berechnet sich hier was, und wir erhalten hinten = -4, unseren y-Wert. So, und jetzt setzen wir mal die -3 hier ein und hier ein, aber hier mit Klammern bitte, und hier: 4x = 4 * und dann die -3. So, und das können wir jetzt ausrechnen. (-3)2, (-3) * (-3) = 9; 4 * (-3) = -12; und dann lasst uns die 9 und die -12 verrechnen
zu -3. Und an der Stelle können wir auch den vorderen Teil wegnehmen. So, das ist unsere Gleichung. Jetzt die -3 auf die rechte Seite mit, richtig, +3, und es bleibt stehen: q = -4 + 3, also
q = -1. Und schon haben wir unser q bestimmt, das wir in unsere allgemeine Gleichung einsetzen können, also q wird zu -1. Und hier plus minus, dann können wir auch hier das minus draus machen.
So, und jetzt ist es ein leichtes, die y-Koordinate von B zu bestimmen: Wir brauchen einfach nur
x = 1 einsetzen, hier, und erhalten dann unseren y-Wert. Tun wir das. x wird hier 1, x wird hier 1 und hier 1. Und was kommt da raus? 12 = 1, + 4 = 5, -1 = 4. Das heißt: Unsere Koordinaten von B lauten: x = 1 und y = 4.
Fertig! Diese Aufgabe ist damit erledigt.

Und schauen wir uns das Ganze mal graphisch an, also den Graphen dieser Funktion. Dann haben wir hier unsere Parabel, unser Punkt A ist bei (-3|-4), und unser Punkt B ist bei (1|4), wie gerade berechnet. Sehr schön! Beide Punkte liegen auf diesem Graphen, wir haben richtig gerechnet.

Der zweite Teil dieser Aufgabe lautet: „Die Gerade g geht durch den Scheitelpunkt S von p und durch den Punkt B. Bestimmen Sie die Gleichung der Gerade g.“ Und jetzt schauen wir mal, „Scheitelpunkt“ von p, p ist unsere Parabel. Und der Scheitelpunkt ist der Punkt, der sich hier unten befindet, sozusagen der Ausgangspunkt unserer beiden Schenkel der Parabel. Und wie können wir jetzt diesen bestimmen? Natürlich, wenn wir das graphisch hätten, können wir es ablesen, aber um das genau zu bestimmen, sollten wir es schon berechnen. Und das machen wir mit Hilfe dieser Formel und, es gibt verschiedene Wege, wir wählen den der Scheitelpunktform. Also Scheitelpunktform, erinnern wir uns: Wenn das unser Scheitelpunkt ist, dann lautet die Scheitelpunktform so: Also wir haben unser x hier, wir haben hier die Verschiebung entlang der x-Achse und hier die Verschiebung entlang der y-Achse. Und das ist die Stauchung oder Streckung.
Und um von dieser Form, von dieser allgemeinen Form, auf die Scheitelpunktform zu kommen, brauchen wir die sogenannte „quadratische Ergänzung“. Das heißt, wir formen diesen Term hier um, so dass er mit einer Klammer im Quadrat da steht. Und das machen wir wie folgt:
Wir denken zuerst an die binomische Formel, und zwar an die erste. Die war ja a² + 2ab + b².
Das hat ja die Form x2, also a², und das ist die Form 2 * a * b, schon verrechnet. Und die -1 hinten ignorieren wir. Und unsere Aufgabe ist, das jetzt hier auseinander zu nehmen. Also wir haben ein
(a + b)2. Unser a², also ist hier unser x2, wir dürfen also a mit x ersetzen. Und unser 2*a*b sind 4x. Schreiben wir das mal kurz als Nebenrechnung: 2*a*b = 4x. Unser a, das war ja grad unser x, das heißt, dieses a können wir mit x ersetzen. In der 4x steckt also zweimal der Wert b * x. Und jetzt auch * x, das heißt, wir dürfen das und das hier wegnehmen. Und was ist denn jetzt b, damit da 4 rauskommt? Richtig, das muss 2 sein. Und nur dann erhalten wir 4x. Also wenn wir jetzt hier eine 2 einsetzen und jetzt mal die Klammer einfach so ausrechnen, dann erhalten wir ja x2 + 2*a*b, also
2*x*2 aus der Klammer, + b², also das ist die 22. Und wenn wir jetzt hier dieses 2*x*2 zusammenrechnen, erhalten wir, richtig 4x. Und dieser Teil stimmt jetzt mit diesem Teil überein, einziges Problem ist, dass diese +22 zuviel ist. Und um also auf diesen Teil hier zu kommen, müssen wir diese hier einfach wieder abziehen, also -22. Also hier müssen wir jetzt noch ergänzen -22, und richtig, die -1 nicht vergessen, die kommt noch hinten ran. Das hier, x2 + 4x, ist das gleiche wie das hier; und das erkennt Ihr, indem ihr die Klammer ausrechnet, dann erhaltet ihr diesen Teil, und dann zieht ihr noch die -22 ab, und dann bleibt x2 + 4x stehen. Als nächstes rechnen wir weiter. Wir wollen ja jetzt noch zusammenfassen. Und achtet bitte darauf: Dieses 22, das Quadrat wird als erstes gerechnet und dann das minus. Viele machen den Fehler und rechnen hier, was falsch ist, (-2)2, das wäre ein positiver Wert, -22 ist ein negativer Wert! Also das sieht dann so aus: Wir berechnen hier als erstes den inneren Teil, 22 = 4, dann können wir die Klammer auflösen. Und richtig, -4 – 1 = -5.
Und das ist schon die Scheitelpunktform, an der wir jetzt die Koordinaten des Scheitelpunkts ablesen können! Allgemein lautet die Form ja so: Das a ist offensichtlich bei uns eine 1, eine 1 *, das heißt, wir können es hier mal rausnehmen; x, x stimmt, -xS; jetzt haben wir eine +2, dass heißt, unser xS ist eine -2, denn nur wenn wir hier eine -2 hinsetzen, haben wir minus minus, also +2. Und dann hier hinten, unser yS ist die -5. Sieht jetzt etwas kompliziert vielleicht aus, aber das ist relativ einfach. Ihr könnt auch genauso gut ablesen: Hier ist eine 2, also muss hier eine -2 eingesetzt werden, und hier ist die -5, also setzen wir die -5 ein. Und schon haben wir unseren Scheitelpunkt bestimmt mit (-2|-5). Schauen wir nochmal auf die Graphik: Hier ist unser Scheitelpunkt mit -2 und -5. Super!
So, jetzt haben wir also den Scheitelpunkt und unseren Punkt B hier. Und wir sollen jetzt durch diese beiden Punkte eine Gerade zeichnen beziehungsweise deren Funktionsgleichung bestimmen. Tun wir das. Unsere Berechnung können wir jetzt schon mal wegnehmen, lassen jedoch unseren Scheitelpunkt stehen und ergänzen unseren Punkt B mit den bekannten Koordinaten 1 und 4. Und jetzt erinnern wir uns an die Videos, in denen wir lineare Funktionsgleichungen bestimmt haben. Da hatten wir nämlich die Differenz aus x- und y-Werten gebildet und damit die Funktionsgleichung ermitteln können. Also schreiben wir nochmal auf allgemein: Die Normalform einer linearen Funktion heißt f(x) = mx + n; m ist die Steigung, n ist der y-Achsenabschnitt. Und um jetzt unser m zu bestimmen, haben wir die Differenzen gebildet; also wir schreiben m = Δy/Δx, Δ meint die Differenz, und die ergibt sich aus der Differenz der Koordinaten (yS – yB) / (xS – xB). Und jetzt setzen wir einfach diese Koordinaten hier ein und berechnen das. yS = -5, xS = -2. Und für Punkt B ist das 4 und 1, 4 und 1. An der Stelle jetzt der Hinweis: Ihr könntet auch (yB – yS) / (xB – xS) rechnen, also umgekehrt die Werte; dann kommt das gleiche Ergebnis heraus. So, und das ist jetzt:
-5 – 4 = -9; und für den Nenner -2 – 1 = -3. Und das ergibt 3, unser Wert für die Steigung m. Und den setzen wir jetzt hier ein. Sehr schön!
Jetzt fehlt noch unser n. Und das können wir relativ leicht bestimmen. Wir wissen ja, wenn wir hier eine x-Koordinate einsetzen, berechnen wir hier etwas, und y kommt heraus. Jetzt kennen wir ja zwei mit ihren Koordinaten; das heißt, wir können jetzt dieses x oder dieses x hier einsetzen und kennen ja schon das y, das heraus kommt. Und dann können wir das n bestimmen. Nehmen wir jetzt mal den Punkt B mit 1 und 4 (1|4), x wird 1 und y wird 4. Jetzt nehmen wir diesen Teil hier als Gleichung, wissen, dass 3 * 1 = 3 ist, ziehen die 3 auf die rechte Seite rüber mit -3 und erhalten n = 1. Und dieses n = 1 dürfen wir hier einsetzen. Und schon haben wir unsere Geradengleichung, also unsere Funktionsgleichung! Und zeichnen wir diese noch ins Koordinatensystem ein, und wir erkennen: Sie geht durch Punkt S und durch Punkt B. Wunderbar, damit haben wir sie richtig bestimmt!

Wir hoffen, ihr hattet keine großen Probleme mit dieser Aufgabe. Falls ja, schaut euch bitte nochmal die Videos zu den Funktionen an; da erklären wir dies alles im Detail. Wieder ein Aufgabenblock erledigt – weiter geht’s zu den nächsten Übungsaufgaben!

Video Teil 8: Aufgabenblock 8

Hallo liebe Zuschauer und willkommen zum Aufgabenblock 8! Diesmal schauen wir uns Aufgaben aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung an.

Die erste Aufgabe lautet: „Die beiden Netze zeigen die Augenzahlen zweier besonderer Spielwürfel. Beide Würfel werden gleichzeitig geworfen.“ Wie wir sehen, haben wir nicht einen Würfel mit 1, 2, 3, 4, 5, 6, sondern wir haben unterschiedliche Werte.

Die erste Aufgabe lautet: „Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine 'Sechs' zu werfen?“
Und wie geschrieben war, beide werden zur gleichen Zeit geworfen. Das heißt, wir stellen folgende Gleichung auf: Groß P für „Probability“, also Wahrscheinlichkeit, dass wir mindestens eine „Sechs“ haben, ist gleich die Anzahl günstiger Ausfälle zur Anzahl möglicher Ausfälle:
P(mind. 6) = (Anzahl günstiger Ausfälle)/(Anzahl möglicher Ausfälle)
Statt Ausfälle könnten wir hier auch Ereignisse sagen, Elementarereignisse. Wichtig ist, dass wir an dieser Stelle festhalten, dass es sich hier um gleichwahrscheinliche Elementarereignisse handelt! Das heißt, bei einem Würfelwurf ist die Chance, eins dieser Felder zu erhalten, gleich wahrscheinlich. Und wenn wir beide Würfel werfen, ist die Wahrscheinlichkeit für jedes Paar von Augenzahlen gleichwahrscheinlich mit 1/36, wie wir gleich in einer Tabelle sehen werden.
Damit wir etwas mehr Platz haben, schreiben wir das hier ausnahmsweise etwas verkürzt, und zwar schreiben wir P(6), denken aber daran, dass es mindestens eine „Sechs“ meint, und hier kürzen wir ab die günstigen Ausfälle mit klein a, und mögliche Ausfälle mit klein d:
P(6) = a/d
Man könnte genauso gut auch g und m nehmen, günstig und möglich, aber wir nehmen jetzt diese Notation, das ist uns freigestellt.
Und jetzt müssen wir ermitteln, wieviele Ereignisse es insgesamt gibt und wieviele davon mindestens eine „Sechs“ haben. Um das klar und deutlich zu machen, welche Ereignisse es überhaupt gibt, ist es hilfreich, sich eine Tabelle anzulegen, wo wir all diese Zahlen oben in die Tabellenzeile eintragen, also das wären dann 1, 1, 1, 1; das sind diese vier „Einsen“, dann noch die 5 und die 6.
Und wir nehmen uns diese Augenzahlen: Wir haben eine „Drei“, noch eine „Drei“, noch eine „Drei“, dann eine „Fünf“, dann eine „Sechs“ und dann noch eine „Sechs“: 3, 3, 3, 5, 6, 6.
Und die schreiben wir jetzt hier untereinander.
Hier ist nun unsere Tabelle, und jetzt können wir hier die jeweiligen Paare eintragen. 3|1, 3|1, 3|1,
5|1, 6|1, 6|1 und so weiter.
Und es sei nochmal erwähnt: Jeder dieser Ausfälle hat die gleiche Wahrscheinlichkeit, 1/36.
Als nächstes gilt es herauszufinden, wo jeweils eine „Sechs“, also mindestens eine „Sechs“ vorhanden ist. Das heißt, wir blicken hier einmal drüber: Hier ist eine „Sechs“, das heißt, diese Ereignisse sind alle mit einer „Sechs“ behaftet; und schauen wir hier: Hier ist eine „Sechs“ und hier ist eine „Sechs“, das heißt, diese Ereignisse sind mit einer „Sechs“ behaftet. Und jetzt müssen wir nichts weiter machen als abzuzählen. Wir haben also für a wie viele günstige Ausfälle? 1, 2, 3, 4, und dann hier zweimal 6, also 12 + 4 = 16. 16 günstige Ausfälle. Und insgesamt haben wir
6 * 6, also 36 mögliche Ausfälle. 16 von 36 Würfen enthalten also eine „Sechs“. Und dann müssten natürlich 20 keine „Sechs“ enthalten, also Differenz daraus, und dann schauen wir: 4 * 5, richtig, das sind 20, die keine „Sechs“ enthalten. Ja, und 16/36, das kann man mit 4 kürzen und kommt dann auf 4/9, und erhält dann eine Wahrscheinlichkeit von 0,4 Periode 4 (0,44) beziehungsweise
44,4 Periode 4 Prozent (44,44 %). Also 4 von 9 Würfen werden wahrscheinlich eine „Sechs“ enthalten.

Aufgabe 1b: Hier wird nicht mehr nach mindestens einer „Sechs“ gefragt, sondern es wird nach der Wahrscheinlichkeit gefragt, die Summe „Sechs“ zu werfen! Das heißt, hier schreiben wir P von Ereignis Summe „Sechs“ P(Summe 6), und hier müssen wir auch sehen, wie viele günstige Ausfälle wir haben.
Und jetzt gilt es, nicht die beiden Paare hinzuschreiben, sondern tatsächlich die Summe aus ihnen zu bilden. Also 3 + 1 wäre 4, hier ebenfalls und so weiter. Machen wir das. Und jetzt können wir schauen, wo überall die Summe „Sechs“ entsteht. Und das ist hier für diese 4 Fälle der Fall, also 5 und 1, 5 und 1, 5 und 1, 5 und 1, diese vier „Sechsen“. Und jetzt wisst ihr ja schon, wie man das macht, jetzt wird’s einfach: 4 tragen wir für a ein, und für d haben wir 36 mögliche Ausfälle. Und 4/36 kann man kürzen auf 1/9, und das sind rund 11,1 Periode 1 Prozent (11,11 %). Also wenn wir neunmal würfeln, haben wir wahrscheinlich eine Summe aus „Sechs“ dabei.

So, weiter zur Aufgabe 2: „Die beiden Würfel werden für ein Glücksspiel eingesetzt. Dazu wird ein Gewinnplan geprüft.“ Und der Gewinnplan sieht wie folgt aus: Der Einsatz pro Spiel beträgt 1 €. Wenn wir einen Pasch werfen, also zwei gleiche Augenzahlen, erhalten wir 9 € Gewinn; und wenn wir verschiedene Augenzahlen werfen, keinen Gewinn.
Aufgabe lautet:
„Berechnen Sie den Erwartungswert für den Gewinn (Verlust) pro Spiel.“
Und „Erwartungswert“ meint den Wert, der im Mittel, im Durchschnitt angenommen wird. Also wenn wir dieses Glücksspiel unendlich lange spielen würden, welcher durchschnittliche Wert würde sich ergeben pro Spiel? Man sagt übrigens auch: Der Erwartungswert ist das Ergebnis pro Spiel auf lange Sicht. Und das lässt sich ausrechnen, und zwar wie folgt:
Schreiben wir also: Der Erwartungswert, einen Gewinn per Pasch zu erzielen, ergibt sich aus der Wahrscheinlichkeit je Gewinn * dem jeweiligen Wert des Gewinns, wobei der Gewinn auch negativ sein kann: E(Gewinn) = Wahrscheinlichkeit je Ereignis * Gewinn; man sagt dann „Verlust“. Die Formel hierfür sieht etwas komplizierter aus, und zwar so, aber das ist das, was diese Formel ausdrückt.
Dann stellen wir diese Ereignisse mit den Gewinnen auf. Wir gehen wie folgt vor:
Wir brauchen erstmal die Wahrscheinlichkeit, dass wir einen Pasch haben. Und hierzu schauen wir uns nochmal unsere Tabelle an. Und jetzt können wir erkennen, wo sich jeweils ein Pasch befindet. Da schauen wir hier 5|5 ist ein Pasch, 6|6 ist ein Pasch, 6|6 ist ein Pasch. Alle anderen haben jeweils verschiedene Augenzahlen. Gut, wir haben also 3 günstige Ereignisse und 36 Ereignisse insgesamt, beziehungsweise 36 – 3, wir haben 33 Ereignisse, die nicht zum Gewinn führen. Halten wir das gerade fest. 3/36 sind ein Gewinn, und 33/36 sind ein Verlust.
Und jetzt ist es noch wichtig für den Erwartungswert zu sagen: Was ist denn der Gewinn oder der Verlust? Und an der Stelle schauen wir hier: Wir haben als Gewinn 9 €, müssen jedoch, und das ist ganz wichtig, den 1 € Einsatz vom Gewinn abziehen! Denn die setzen wir ein, gewinnen 9 €, und dann sind es ja 8 €, die wir ausgeschüttet bekommen, die wir tatsächlich Gewinn gemacht haben. Also tragen wir hier ein:
9 € - 1 €, und das sind dann 8 €. In 3 von 36 Fällen machen wir also 8 € gut.
Und schauen wir auf den Verlust: Kein Gewinn heißt 0 €, und hier haben wir auch 1 € eingesetzt, also 0 - 1 €, wir haben einen Verlust von 1 €, also wir schreiben hier hin: -1 €.
Und das können wir jetzt ausrechnen. 3 * 8 = 24, also haben wir 24/36 hier; und hier drüben der Bruch * (-1), da können wir hier aus dem plus ein minus machen. Das können wir jetzt verrechnen:
24 – 33 ergibt -9/36, und das lässt sich durch 9 kürzen zu ¼, und dann können wir ¼ gleich schreiben als 0,25. Mit dem Vorzeichen natürlich -0,25. Fertig! Wir sehen also, der Erwartungswert beträgt -0,25 €, das Spiel ist nicht gut für uns als Spieler, denn auf lange Sicht verlieren wir pro Spiel 25 Eurocent. Man sagt dann übrigens auch „unfaires Spiel“ dazu. „Unfaires Spiel“ meint, der Erwartungswert ist ungleich 0.

Und die dritte Aufgabe lautet: „Der Veranstalter des Glücksspiels möchte beim ersten Würfelnetz die 'Fünf' durch eine 'Sechs' ersetzen. Der Gewinnplan bleibt gleich. Wäre dies vorteilhaft für ihn?“
Das heißt: Hier ist das erste Würfelnetz, diese „Fünf“ soll jetzt eine „Sechs“ werden. Was ändert sich dann in unserer Tabelle? Hier ist unser erster Würfel, und diese „Fünf“ wird jetzt zu einer „Sechs“. Dadurch ändern sich hier die ganzen Werte, und wir sehen, dieses Pasch gibt’s jetzt nicht mehr, es kommen jedoch zwei neue Pasche hinzu. Wir haben jetzt also 1, 2, 3, 4 Pasche, das heißt, nicht mehr 3, sondern 4 günstige Ausfälle. Schauen wir uns nochmal den Erwartungswert an, den wir gerade berechnet hatten, und hier hatten wir 3 günstige Ereignisse. Das heißt, die 3 wird jetzt zur 4, und damit gibt es hier ein Ereignis weniger, das einen Verlust verursacht. Also hier kommt 4 hin, und hier kommt 32 hin. Wir haben jetzt also einen Gewinn mehr. Und das rechnen wir aus:
4 * 8 = 32, das sind 32/36; und dann müssen wir hier noch -1 * 32/36, das ergibt -32/36; und damit ergibt sich hier ein Erwartungswert von, richtig, 0 €! Was bedeutet das jetzt für unseren Veranstalter? Vorher hatte er -0,25 als Erwartungswert für den Spieler, das heißt, vorher hat der Spieler 25 Cent je Spiel verloren beziehungsweise anders ausgedrückt: Der Veranstalter hat vorher mit der alten Variante 25 Cent je Spiel Gewinn gemacht, also Einnahmen erzielt. Jetzt hingegen erzielt der Veranstalter hier keine Einnahmen mehr auf lange Sicht. Diese Änderung des Würfels ist also nachteilig! Und schon haben wir Aufgabenblock 8 gelöst.

Herzlichen Glückwunsch, falls Du alles richtig hattest! Weiter geht’s mit Aufgabenblock 9.

Video Teil 9: Aufgabenblock 9

Hallo und willkommen zum Aufgabenblock 9! In diesem Block sollen wir Maße und Volumen berechnen und eine Funktion anwenden.

Schauen wir, was uns gegeben ist: „Ein Golfball muss einen Durchmesser von mindestens 42,67 mm haben. Sein Gewicht darf höchstens 45,93 g betragen.“

1. Aufgabe: „Bestätige durch Rechnung, dass eine Schachtel mit 6 Golfbällen ungefähr 13 cm lang, 9cm breit und 5 cm hoch ist und ein Gewicht von ca. 300 g hat.“
Das heißt, wir filtern nochmal unseren Text. Wir hatten das gegeben: Durchmesser 42,67 mm, schreiben wir das hier hin. Und dann haben wir hier das Gewicht. Und jetzt müssen wir also sehen, ob 6 Golfbälle mit diesen Maßen diese Gesamtmaße hier ergeben. Also 13 cm Länge, dann Breite
9 cm und Höhe 5 cm. Und natürlich Gewicht, nennen wir das klein m für Masse, ist 300 g.
Und außerdem ist uns für die Aufgabe folgende Skizze gegeben. Und jetzt haben wir noch Durchmesser, Gewicht. Lasst uns das auch abkürzen: Gewicht hier ist auch m wie hier, also Masse, und Durchmesser klein d. Jetzt zeichnen wir mal den Durchmesser hier ein, und sehen wir ja, dass dieser Durchmesser hier überall vorhanden ist. Das heißt, um die Breite zu bestimmen, also die Mindestbreite, brauchen wir mindestens eins, zweimal den Durchmesser. Hier sind die Maße der Schachtel, und daneben schreiben wir die Mindestmaße. So, und die wären dann also für die Breite wie gesagt, zweimal den Durchmesser, also zweimal diesen Wert. Jetzt sehen wir jedoch, hier sind Zentimeter gegeben, und hier sind Millimeter gegeben, das heißt wir wandeln die 42,67 mm um in Zentimeter, indem wir durch 10 dividieren, und erhalten 4,267 cm. So, jetzt zweimal diesen Wert, und wir erhalten 8,534 cm. Jetzt die Länge, das ist eins, zwei, dreimal der Durchmesser, dreimal diesen Wert, und das ergibt 12,801 cm. Und die Höhe, der Ball, also die Höhe des Balls entspricht genau dem Durchmesser, denn wir könnten jetzt diese Linie nach oben drehen und hätten unsere Höhe. Und die Höhe brauchen wir nur einmal berücksichtigen, denn alle Bälle liegen ja nebeneinander und nicht übereinander. Das heißt, wir haben eine Höhe von 4,267 cm.
So, was fehlt noch? Das ist die Masse, 300 g. Und hier haben wir die Masse 45,93 g für einen Ball; jetzt haben wir 6 Bälle, also 6 mal diesen Wert, und wir erhalten 275,58 g.
Und jetzt müssen wir schauen, ob unsere Schachtel die Mindestmaße einhält. Diese Werte müssen also jeweils größer sein als diese Werte. 13 ist größer als 12,801, richtig; 9 ist größer als 8,534, richtig; 5 ist größer als 4,267, richtig; und 300 g ist größer als 275,58 g, richtig! Also die Schachtel erfüllt alle Mindestmaße. Damit passen also alle 6 Bälle in sie hinein.

Aufgabe 2: „Es wird eine Verpackung mit 2 x 2 Golfbällen angeboten. Wie sind deren Mindestmaße?“ Und jetzt können wir genau das Gleiche machen, was wir grad gemacht haben. Wir wissen, eins, zwei Bälle liegen nebeneinander, und für die Länge ebenfalls zwei Bälle; das heißt, Länge und Breite sind beide zweimal 4,267 cm lang, also 8,534 cm.
Und für die Höhe, die ist genau einmal der Durchmesser, also 4,267 cm. Fertig.

Jetzt gibt es noch eine Aufgabe 2b) hierzu, die lautet:
„Paul meint: 'Die Bälle füllen mindestens 90 % der Schachtel aus.' Leo widerspricht: '90 % ist viel zu viel, die Bälle füllen nur etwas mehr als die Hälfte der Schachtel.' “
Und das gilt es jetzt zu prüfen.
Wir müssen also das Verhältnis von dem Volumen der gesamten Schachtel zu dem Volumen der 4 Golfbälle bilden. Also stellen wir auf: Prozentuales Verhältnis, in unserem Fall nennen wir das klein p ist das Volumen der Bälle zum Volumen der Schachtel. Erinnert euch daran: Das Volumen der Bälle wird oben in den Zähler geschrieben, weil wir dessen Anteil am Gesamtvolumen der Schachtel ermitteln wollen! Nehmen wir das hier oben weg, weil wir jetzt Platz zum Berechnen brauchen, und überlegen uns als erstes: Wie ist das Volumen der Bälle? Ein Ball ist ja eine Kugel! Fragt sich also: Wie ist das Kugelvolumen? Und dessen Formel lautet:
V = 4/3 * π * r3
Diese Buchstabe hier, π, ist unser Pi.
Und jetzt haben wir nicht die Kugel, sondern einen Ball, schreiben wir hier Ball hin; und wenn wir jetzt das Volumen aller vier Bälle haben möchten, müssen wir hier also eine 4 * diesen Term hinzuschreiben. So, und das ist unser Formel:
V = 4 * (4/3 * π * r3)
Die können wir hier oben bei den Bällen festhalten.
So, und wie rechnen wir das Volumen der Schachtel aus? Das können wir allgemein machen über den Durchmesser, und zwar wissen wir: Das Volumen der Schachtel ergibt sich aus Länge * Breite * Höhe. Die Länge ist bei uns eins, zweimal der Durchmesser. Also wir reden hier immer noch von den Mindestmaßen. Setzen wir also für l = 2 * d ein. Die Breite ist eins, zweimal der Durchmesser, also tragen wir für b ebenfalls 2 * d ein. Und wie groß ist die Höhe? Richtig, einmal der Durchmesser, die Schachtel ist mindestens einen Ball hoch. So, und das können wir jetzt ausmultiplizieren: 2 * 2 = 4, und d * d * d = d3. Und jetzt könnten wir diesen Term hier für
VolumenSchachtel eintragen, jedoch sehen wir, dass hier ein r ist, das heißt, besser ist es, wir rechnen d nach r um, und d ist ja der doppelte Radius, beziehungsweise: Der Durchmesser ergibt sich aus zweimal dem Radius, also 2 * r. Und jetzt können wir noch die beiden Zahlen zusammenfassen. Müssen wir aber aufpassen, dass wir vorher die Potenz anwenden; also die Potenz ist vor der Multiplikation zu rechnen, das heißt, wenn wir das hier auflösen, kommt 23 * r3 raus. Und erst jetzt dürfen wir die 4 mit der 23 verrechnen. Und das machen wir einfach: 4 ist ja 22, und 22 * 23, wir addieren die Exponenten, das ist 25. So, und jetzt endlich können wir diese Formel hier für die Schachtel einsetzen. Und im nächsten Schritt vereinfachen wir diesen Term. Und das geht relativ zackig: Erstmal können wir die Klammern wegnehmen, weil das sind alles Multiplikationen, dann dürfen wir r3 hier und r3 hier wegkürzen, und jetzt können wir das π hier rausziehen als * π/1 und damit einfach als * π hinschreiben. So, und jetzt gilt es noch, diesen Bruch aufzulösen: Die 4 hier springt hoch in den Zähler, also 4 * 4, wir haben 16/3, und jetzt können wir das hier mal als Division ausschreiben: Das sind dann 16/3 : 25, und durch 25 ist das Gleiche wie mal 1/25. Und dann haben wir es gleich geschafft. 16 kann als Zweierpotenz geschrieben werden, und zwar ist das eine 24. Jetzt dürfen wir kürzen, 24 mit der 25, also die können wir jetzt, damit man es besser sieht, auch schreiben als 24 * 21, und da ja hier ein * ist, dürfen wir Zähler und Zähler und Nenner und Nenner alle miteinander verbinden; und jetzt kürzen wir die beiden 24, und es bleibt übrig 1/(3 * 2), und
3 * 2 = 6. Und geben wir das nochmal in den Taschenrechner ein, damit wir einen Prozentwert erkennen können, 1/6 * π, also können wir gleich eintippen π : 6, und das rund 0,5236; und das wiederum in Prozent umgewandelt ergibt rund 52 %.
So, kurz noch der Hinweis: Eine andere Möglichkeit der Berechnung wäre gewesen, indem wir einfach den Radius mit dem tatsächlichen Wert eingesetzt hätten und das dann ausgerechnet hätten; dann wären wir ebenfalls auf diesen Wert gekommen.
Und jetzt vergleichen wir die beiden Aussagen der beiden Jungs. Paul hatte gesagt, die Bälle füllen mindestens 90 % der Schachtel aus. Wie wir sehen, sind es jedoch nur 52 %, das heißt, Pauls Aussage ist auf jeden Fall falsch. Leo sagte, 90 % ist viel zu viel, die Bälle füllen nur etwas mehr als die Hälfte der Schachtel aus, und das stimmt! Leos Aussage ist richtig.
Wunderbar! Schauen wir uns die nächste Aufgabe an.

Aufgabe Nr. 3: „Das nachfolgende Schaubild zeigt die parabelförmige Flugbahn eines Balles nach dem Abschlag.“ Also hier ist der Abschlagspunkt, x-Achse sind die zurückgelegten Meter, und die y-Achse, das ist die Höhe des Balls, ebenfalls in Metern. Das heißt, nach 10 Metern hat er etwa 4 Meter Höhe, nach 40 Metern hat er 12 Meter Höhe, und dann bei 50 Metern etwa seinen höchsten Punkt, und danach geht es wieder abwärts; und er trifft auf den Boden bei 100 Metern.
Was ist die Aufgabe?
„Bestimme und begründe, welche der Funktionsgleichungen die Flugbahn beschreiben könnte.“ Und es sind uns drei gegeben. Sie lauten so. Und jetzt ist zu prüfen: Welche der drei beschreibt denn diesen Graphen?

Schauen wir uns die I. Gleichung an. Sie hat hinten ein absolutes Glied mit -0,5, das heißt, hier bei -0,5 auf der y-Achse geht sie durch; das ist hier nicht so gut zu erkennen. Und was wir noch erkennen: Es ist eine Normalparabel, die gestaucht und nach unten geöffnet ist, da hier ein negativer Wert ist. Das heißt, bei -0,5 hat sie ihren Scheitelpunkt, und sie ist nach unten geöffnet, das heißt, sie geht von hier los und geht dann so weg. Wir sehen also, sie wird nie hier nach oben gehen können, da ihr höchster Punkt die -0,5 ist. Die I. Gleichung beschreibt unseren Graphen nicht.

Die II. Funktionsgleichung sagt: Der Streckungs-/Stauchungsfaktor, also was vor dem x2 steht, ist positiv. Positiv heißt, die Parabel ist nach oben geöffnet. Bei uns ist sie jedoch nach unten geöffnet, das heißt, wir brauchen ein negatives Vorzeichen hier wie bei I und III.

Das heißt, die III. Gleichung kann nur die richtige sein. Einmal ist sie nach unten geöffnet durch diesen Koeffizienten hier -0,005; und dann haben wir ein +0,5x, und dieses lineare Glied verschiebt den Graphen nicht entlang der y-Achse. Auch haben wir hinten die +0, das absolute Glied, das nicht mitgeschrieben wurde, das heißt, dieser Graph geht durch den Koordinatenursprung. Funktionsgleichung III beschreibt also unseren Graphen!

Weiter geht’s mit Aufgabe 4. Sie lautet:
„Die Weite und Höhe der Flugbahn eines Golfballs hängt auch von der Bauweise des Schlägers ab. Ein anderer Schläger führt zur Flugbahn mit folgender Gleichung: y = -0,0025 * x2 + 0,5 * x.“
Und jetzt gibt es hier wieder zwei Aufgaben dazu.
4a) „Bestimme, in welcher Entfernung vom Abschlag der Golfball zu Boden geht.“ Und
4b) „Bestimme die maximale Höhe, die der Golfball auf seinem Flug erreicht.“
So, und das können wir jetzt als letztes lösen.
„Bestimme, in welcher Entfernung vom Abschlag der Golfball zu Boden geht.“ Nehmen wir uns ausnahmsweise mal die Graphik dieser Funktionsgleichung. Das ist der Funktionsgraph, und wir sehen: Hier ist der Abschlag, der Ball fliegt und fliegt und fliegt und geht zu Boden. Das heißt, wo er zu Boden geht, haben wir eine Nullstelle unserer Funktion, und die gilt es jetzt zu berechnen.
Wir nehmen mal den Text hier weg und lassen die Funktionsgleichung stehen und wissen, wir suchen hier die Nullstelle. Und was ich eigentlich immer mache: Ich ersetze immer y mit f(x). Und jetzt soll das hier alles 0 werden, also schreiben wir = 0. Und wir nehmen uns diesen Teil hier runter, und bestimmen jetzt die Lösung für x. Das erste, was wir sehen ist: x kommt hier vor und hier vor in dieser Summe, das heißt, wir können es ausklammern. Und das geht wie folgt: Wir schreiben x2 als x * x, sehen jetzt hier einmal das x und hier einmal das x, in der Multiplikation, nehmen es hier weg, nehmen es hier weg und schreiben es davor. Und jetzt wissen wir: Das hier soll 0 werden, = 0, dann haben wir die Lösung. Und das wird 0, wenn entweder dieser Faktor 0 ist oder dieser Faktor, also die gesamte Klammer 0 ist. Erinnert euch an den Satz des Nullprodukts. Offensichtlich, wenn x = 0 ist, dann wird das hier alles 0. Also x1 ist schon mal 0.
Und wann wird dieser Term hier 0? Das müssen wir ausrechnen. Hier also die separate Rechnung: Wir ziehen 0,5 herüber mit -0,5; und wir dividieren durch diese Zahl. Diese Zahl durch diese Zahl, das ergibt 1, also hier bleibt x stehen. Und das hier können wir in den Taschenrechner eingeben:
0,5 : 0,0025, und wir erhalten 200. Ich hatte jetzt übrigens die Minuszeichen nicht eingegeben, weil minus : minus ja plus ist. Dieser Wert ist also unser x2. Wir haben also zwei Lösungen, einmal bei 0 und einmal bei 200. Und richtig, bei 0 ist der Abschlag, das heißt der Ball trifft dann bei 200 auf. Und schauen wir nochmal auf die Graphik. Bei 0 ist die eine Nullstelle, und hier, richtig bei 200 die andere. „In 200 Metern Entfernung vom Abschlag geht der Golfball zu Boden.“

So, und jetzt noch die Aufgabe b). Sie lautet: „Bestimme die maximale Höhe, die der Golfball auf seinem Flug erreicht.“ Blicken wir nochmal auf die Graphik: Der Ball fliegt los, erreicht hier seinen höchsten Punkt und geht dann wieder runter. Und wenn wir uns das genau anschauen, sehen wir, dass der höchste Punkt genau dem Scheitelpunkt unserer Parabel entspricht. Übrigens noch kurz als Nebenhinweis: Der Ball hört hier natürlich auf zu fliegen und hier auch; also eigentlich diese beiden blauen Striche hier müssten wir eigentlich rausnehmen, denn er kann ja nicht unter die Erde fliegen.
Also hier: Es gilt den Scheitelpunkt zu ermitteln. Wir brauchen den Scheitelpunkt, und den berechnen wir. Nehmen wir uns die Funktionsgleichung. Und wie kriegen wir jetzt hier den Scheitelpunkt raus? Hier gibt es wieder mehrere Varianten. Eine wäre natürlich, hier die Scheitelpunktform daraus zu bilden und dann den Scheitelpunkt abzulesen. Wir können es aber diesmal viel einfacher machen. Wir wissen ja, dass der Scheitelpunkt nach links und nach rechts den gleichen Abstand hat, also bei 100 Metern liegt. Wie hilft uns das jetzt? Richtig, wir können bei unser Funktionsgleichung einfach die 100 einsetzen und erhalten dann unsere Höhe. Also x wird 100, und wir erhalten diese Gleichung, und die rechnen wir jetzt aus. 0,5 * 100 = 50, 1002 = 10000, * diesen Wert, und wir erhalten hier -25; -25 + 50 = 25. Bei 100 Metern haben wir also eine Höhe von 25 Metern. Und schauen wir nochmal auf die Graphik. Haben wir hier 25 Meter? Gucken wir nach links und ja: Der Wert entspricht 25 Metern. Also Antwortsatz hinzugefügt: „Die maximale Höhe des Golfballs beträgt bei seinem Flug 25 Meter.“

Super, fertig, ihr habt es geschafft! Wir haben es geschafft. Wir haben jetzt alle Aufgabenblöcke durchgearbeitet, besser geht’s nicht! Wenn ihr ca. 80 % richtig hattet, ist das schon exzellent, wenn ihr die Hälfte richtig hattet, ist das auch ziemlich gut; mindestens wisst ihr jetzt, wie ihr es beim Ernstfall in der Prüfung richtig machen könnt.

Denkt noch daran: Wenn es schwierige Aufgaben in der Prüfung gibt, macht erstmal die einfachen Aufgaben. Achtet immer darauf, dass es auf der Rückseite des Aufgabenblattes nicht auch noch Aufgaben gibt. Wenn ihr noch Zeit am Ende der Prüfung habt, kontrolliert unbedingt alle Eure Aufgaben nochmal! Prüft auch, ob ihr Eure Aufgaben richtig nummeriert habt. Habt ihr auch keine Flüchtigkeitsfehler gemacht, Einheiten irgendwo vergessen, oder der Antwortsatz fehlt vielleicht? Und kontrolliert unbedingt, dass die Lösungen auch sinnvoll sind! 10 Äpfel wiegen keine 20000 kg.

Die Prüfungsvorbereitung hat uns Spaß gemacht mit euch. Wir drücken euch die Daumen. Bekommt gute Noten und sagt euch: Ihr seid die Besten, ihr schafft das! Und dann schafft ihr das auch. Also alles Gute, viel Erfolg und bis demnächst!
Vorbereitung auf den Mathematik-Realschulabschluss (Mittlere Reife). Mittlerer Schulabschluss in Mathematik für Berlin.

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