TRI03: Rechtwinklige Dreiecke und Satz des Pythagoras

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 9. - 10. Klasse

Mathe-Videos

Als nächstes behandeln wir Rechtwinklige Dreiecke und schauen uns hierbei auch den Satz des Pythagoras an (kostenloses Video). Nach dieser Lektion können wir übrigens mit dem Sinus loslegen! Satz des Pythagoras einfach erklärt

Übrigens haben wir diesmal Video Teil 2 statt Teil 1 kostenfrei veröffentlicht, da wir denken, dass für viele von euch der Satz des Pythagoras wesentlich interessanter ist als die Dreiecksgrundlagen.

Mathe-Video TRI03-2 Rechtwinklige Dreiecke - Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras für jeden einfach erklärt, mithilfe von Flächen und der ersten Binomischen Formel. Wir zeigen verschiedene Beweismöglichkeiten. Inklusive geometrischer Herleitung.

Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

  • TRI03-1 Rechtwinklige Dreiecke - Grundlagen

    Grundwissen zu den Dreiecken: Entstehung von Dreiecken, Dreiecksbeschriftung, Aufbau des Dreiecks, Dreiecksarten, Nachweis für den Winkelsummensatz 180°

  • TRI03-3 Rechtwinklige Dreiecke - Geheimnis hinter Pythagoras

    Das Prinzip des Pythagoras funktioniert auch für Dreiecke, Rechtecke, Kreise u.a. In diesem Video zeigen wir, warum das so ist und welcher Mechanismus sich dahinter verbirgt.

  • TRI03-4 Rechtwinklige Dreiecke - Satz des Thales

    Nachweis für den Satz des Thales: Es ergibt sich stets ein rechtwinkliges Dreieck, wenn man den Durchmesser des Kreises als Grundseite betrachtet und einen weiteren Dreieckspunkt auf die Kreislinie setzt.

  • TRI03-5 Rechtwinklige Dreiecke - Höhensatz und Kathetensatz

    Wir zeigen, wie man die Höhe, und die Teilstrecken p und q berechnet. Dabei stoßen wir auf den Höhensatz und den Kathetensatz des Euklid.

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Testet nach den Videos euer Wissen auch mit den Matheprogrammen zu den Dreiecken und den Übungsaufgaben.

Wissen zur Lektion

Dreiecksbeschriftung

Die Eckpunkte des Dreiecks werden entgegen des Uhrzeigersinns mit A, B, C beschriftet. Der Winkel an einem Punkt erhält üblicherweise den Namen des Punktes mit kleinem griechischen Buchstaben (Punkt A → α, Punkt B → β, Punkt C → γ). Die einem Eckpunkt gegenüberliegende Seite erhält dessen Namen in Kleinbuchstaben (z. B. Punkt B liegt Seite b gegenüber).

Dreiecksbeschriftung zum Ausdrucken

Dreiecksarten

Jedes Dreieck ist ein "allgemeines Dreieck" (beliebiges Dreieck). Hat es jedoch besondere Eigenschaften, so erhält es eine andere Bezeichnung:

Dreiecksarten Allgemeine Dreiecke zum Drucken

Es gibt demnach sechs Dreiecksarten: Gleichseitiges Dreieck, gleichschenkliges Dreieck, unregelmäßiges Dreieck, spitzwinkliges Dreieck, rechtwinkliges Dreieck, stumpfwinkliges Dreieck.

Dreieckshöhen

Eine Höhe wird senkrecht auf eine Dreiecksseite eingezeichnet und geht durch den darüberliegenden Punkt. Zum Beispiel steht Höhe b senkrecht auf Seite b und geht durch den gegenüberliegenden Punkt B.

Die Höhe (sofern sie innerhalb des Dreiecks liegt) teilt jedes Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke (die zueinander ähnlich sind):

Dreieckshöhe

Winkelsummensatz

Der Winkelsummensatz (auch Innenwinkelsummensatz genannt) lautet: Alle drei Winkel des Dreiecks (Innenwinkel) ergeben zusammen 180 Grad. Kurz notiert: α + β + γ = 180°

Winkelsummensatz Dreieck 180 Grad

Der Nachweis des Winkelsummensatzes kann über Wechselwinkel erfolgen:

Nachweis Winkelsummensatz Dreieck 180 Grad

Kennt man zwei Winkel, so kann man den dritten berechnen. Fehlt zum Beispiel α, so kann man bestimmen: α = 180° - β - γ

Flächenberechnung

Die Fläche eines Rechtwinkligen Dreiecks lässt sich berechnen, indem man die Seiten a und b miteinander multipliziert (es ergibt sich eine Rechtecksfläche) und dann halbiert (wir erhalten die Dreiecksfläche), siehe folgende Grafik:

Flächenberechnung Rechtwinkliges Dreieck

Merkt euch also die Flächenformel: A = a·b : 2

Der Satz des Pythagoras

Dieser mathematische Satz wurde erstmals in Euklids Werk "Elemente" (Buch I, § 47) dokumentiert. Weshalb er nach Pythagoras benannt wurde, ist nicht vollständig geklärt. Diogenes Laertios (3. Jh. n. Chr.) zitierte Apollodoros (4. Jh. v. Chr.) mit:

Als Pythagoras einst das berühmte Verhältnis der Seiten entdeckte,
opferte er (Gott) prächtige Ochsen.

Quelle: A Manual of Greek Mathematics, 1931/2003, T. L. Heath

Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kann man bei einem rechtwinkligen Dreieck die unbekannte Dreiecksseite ausrechnen, wenn 2 Dreiecksseiten bekannt sind. Hierzu nutzt man Flächen (Quadrate), um einen Zusammenhang zwischen den Dreiecksseiten herzustellen.

Nachstehend sehen wir eine Grafik, die man heutzutage in dieser Form in den meisten Lehrbüchern wiederfindet. Mit bloßem Auge ist hier jedoch nicht zu erkennen, dass die Flächen a² und b² tatsächlich genauso groß sind wie die Fläche c². Beim Beweis weiter unten wird dies jedoch deutlich.

Satz des Pythagoras mit Quadratsflächen auf Dreiecksseiten

Beweis zum Satz des Pythagoras

Satz des Pythagoras Beweis

Den Satz des Pythagoras haben wir im Video (Teil 2) visuell und leicht verständlich dargestellt. Nachstehend die schriftlichen Ausführungen hierzu. Tipp: Schaut zum besseren Verständnis öfter auf die obige Grafik:

Zeichnet man ein großes Quadrat, bei dem jede der Seiten aus den Teilstrecken a und b besteht, erhält man für die Quadratsfläche die Formel (a+b)·(a+b). Diese Flächenformel lässt sich mittels der 1. Binomischen Formel ausmultiplizieren zu: (a+b)·(a+b) = a² + 2·a·b + b²

Gleichfalls ergibt sich die gesamte Quadratsfläche (a+b)·(a+b) aber auch, wenn wir die weiße Quadratsfläche c² und die 4 Dreiecksflächen addieren. Dies kann als Gleichung wie folgt festgehalten werden: c² + 4 · (a·b : 2). Daraus erhalten wir: c² + 2·a·b

Beide vorgenannten Flächen entstammen aus (a+b)·(a+b), sind also gleich groß. Wir dürfen sie demnach gleichsetzen:
(a+b)·(a+b) = (a+b)·(a+b) a² + 2·a·b + b² = c² + 2·a·b

Wenn wir nun auf beiden Seiten der Gleichung 2·a·b abziehen, erhalten wir:
a² + b² = c² → der Satz des Pythagoras.

Hier sei noch ein Zahlenbeispiel zum Beweis gegeben, so wie es auch im Video vorkommt:

Satz des Pythagoras - Zahlenbeispiel zum Beweis

Nachweis für Quadratsfläche c²

Wenn wir die 4 grünen rechtwinkligen Dreiecke in das große Quadrat (a+b)² legen, warum ergibt sich dann eigentlich ein Quadrat im Inneren (mit den Seiten c)?

Diese Frage können wir beantworten, indem wir den Winkelsummensatz nutzen. Der Winkelsummensatz besagt, alle Innenwinkel eines Dreiecks müssen zusammen 180 Grad ergeben. Ist ein Winkel rechtwinklig, müssen die beiden nicht-rechtwinkligen Winkel (Alpha und Beta) zusammen 90 Grad sein.

Bei der folgenden Grafik können wir erkennen, dass Alpha und Beta unten auf der Seite des großen Quadrats liegen und mit dem orangen Winkel einen gestreckten Winkel von 180 Grad bilden. Da α + β + oranger Winkel = 180° sein müssen, kann der orange Winkel als Teil des gestreckten Winkels nur eine Größe von 90° (also γ) haben:

Nachweis Quadratsfläche c²

Das Geheimnis hinter dem Satz des Pythagoras

In den Videos sprechen wir auch das "Geheimnis" an, das sich hinter dem Satz des Pythagoras verbirgt. Wir haben uns lange Zeit mit dem Thema beschäftigt und sind dabei zufällig auf das Skript von A. Givental (University of California, Berkeley) gestoßen, das den Pythagorasbeweis über ähnliche Flächen darstellt (hier wird als Quelle Euklid Buch VI genannt). Es ist einer der einleuchtesten Beweise vom Satz des Pythagoras. Und trotzdem findet ihr in den deutschen Mathematik-Lehrbüchern hierzu nichts. Nach einem Hinweis von Prof. Dr. Oldenburg (Goethe-Universität Frankfurt) konnten wir den Pythagoras-Beweis nach Einstein (Ähnlichkeitsbeweis) ausfindig machen, der ebenfalls auf die Ähnlichkeiten zurückgreift. Auch dieser Beweis ist relativ unbekannt. Er beschreibt das Ähnlichkeitsprinzip und stellt einen Zusammenhang zwischen den Dreiecksflächen und den Quadratsflächen her.

Formell wird er so ausgedrückt: Ea = m·a², Eb = m·b², Ec = m·c²,
wobei Ea + Eb = Ec und damit auch m·a² + m·b² = m·c² → a² + b² = c²

"E" meint dabei die jeweilige Dreiecksfläche und "m" den Vergrößerungs-/Verkleinerungsfaktor, der für alle Flächen gilt.

Die im Video gezeigte essentielle Animation stellt den Zusammenhang visuell dar, dabei wird das kleine Dreieck vergrößert und die Flächen werden zu Quadratsflächen gewandelt, der Flächeninhalt bleibt jedoch gleich (!) Aus diesem Grund können die ursprünglichen Dreiecksteilflächen A + B = C auch im Quadrat schließlich nur A² + B² = C² ergeben. Wichtig ist zu beachten, dass - auch wenn die Form der vergrößerten Dreiecksteilflächen verändert wird - der Flächeninhalt gleich bleibt.

Geheimnis hinter Pythagoras (Animation)

Fazit: Die Quadrate sind eigentlich nichts weiter als vergrößerte Dreiecksflächen (die aus dem ursprünglichen Dreieck entspringen), deren Form verändert wurde.

Zusätzlicher Hinweis: Warum hat man dann die Form/Formel für Quadrate gewählt? Antwort: Die Form entscheidet über die Flächenformel. Die Flächenformel für das Quadrat benötigt nur einer Seite und ist damit die einfachste, um den Zusammenhang zwischen Seite und Fläche herzustellen.

Geheimnis hinter Satz des Pythagoras (Prinzip)

Warum ist also a² + b² = c²?

Welches Geheimnis steckt nun wirklich dahinter? → Einfach gesagt: Die Quadratsflächen sind nichts weiter als die drei vergrößerten Dreiecksflächen in ihrer Form verändert. Die zwei Teildreiecke Ea + Eb ergeben das gesamte Dreieck Ec, daher müssen auch die um den gleichen Faktor vergrößerten Dreiecke (dann Quadrate a² + b²) das Gesamtdreieck (dann Quadrat c²) ergeben.

Flächenfaktor und Verhältnisse der Flächen zueinander
Aus dem Zusammenhang oben (Einstein) ergibt sich übrigens, dass der Verkleinerungs-/Vergrößerungsfaktor (um von den Dreiecksflächen auf die Flächeninhalte der Quadrate zu kommen - oder andersherum) für alle Flächen gleich ist. Dieser Flächenfaktor ergibt sich aus:

$$ \frac{a^2}{E_a} = \frac{b^2}{E_b} = \frac{c^2}{E_c} \text{ bzw. } \frac{E_a}{a^2} = \frac{E_b}{b^2} = \frac{E_c}{c^2} $$

Nehmen wir uns den ersten Teil der Gleichung \(\frac{a^2}{E_a} = \frac{b^2}{E_b}\) und stellen ihn um, so erkennen wir einen weiteren Zusammenhang:
Das Verhältnis der beiden Dreiecksflächen zueinander entspricht dem Verhältnis ihrer Quadratsflächen zueinander.

Allgemein:

$$ \frac{E_a}{E_b} = \frac{a^2}{b^2} $$

Als Beispiel:

$$ \frac{2,16 \ cm^2}{3,84 \ cm^2} = \frac{9 \ cm^2}{16 \ cm^2} = 0,5625 $$

Wer noch weiter einsteigen möchte, sieht sich das Video Teil 3 an, wo wir uns in diesem Zusammenhang auch mit dem Thema Ähnlichkeit befassen.

Satz des Pythagoras beim gleichschenkligen Dreieck

Wenn man ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck verwendet, kann man die gleichen Flächenteile aus a² und b² leicht erkennen, die zusammen c² ergeben. Hier die entsprechende Grafik:

Pythagoras gleichschenkliges Dreieck

Demnach:
a² + b² = c²
a² + a² = c²
(A+B) + (C+D) = (A+B+C+D)

Satz des Thales

Der Satz des Thales besagt: Es ergibt sich stets ein rechtwinkliges Dreieck, wenn man den Durchmesser des Kreises als Grundseite betrachtet und einen weiteren Dreieckspunkt auf die Kreislinie setzt. Eine alternative Formulierung lautet: Im Halbkreis ist jeder Peripheriewinkel ein rechter Winkel. Oder: Liegt der Punkt C eines Dreiecks ABC auf einem Halbkreis über der Strecke AB, dann hat das Dreieck bei C immer einen rechten Winkel.

Satz des Thales

Berechnung der Dreiecksfläche über die Höhe

Neben der oben gezeigten Flächenformel für Rechtwinklige Dreiecke (A = a·b:2) existiert eine weitere Formel, die im Video Teil 5 hergeleitet wird und nachfolgend illustriert ist:

Dreiecksflächen-Berechnung über Höhe

Höhensatz des Euklid (Höhenformeln fürs Rechtwinklige Dreieck)

Sofern wir die Höhe ermitteln sollen, stehen uns zwei Formeln zur Verfügung, die wir ebenfalls im Video Teil 5 herleiten. Wir können die Höhe bereits ermitteln, wenn uns die Dreiecksseiten a, b und c gegeben sind. Genauso können wir die Höhe berechnen, wenn wir die Teilstrecken p und q kennen:

Höhenformeln (Rechtwinkliges Dreieck)

Die Formel h² = q·p bezeichnet man auch als Höhensatz des Euklid. Die Herleitung sei im Folgenden aufgeführt, für die Bezeichnung der Unbekannten vergleiche obige Dreiecksgrafik:

p² = a² - h² → = p² + h²

q² = b² - h² → = q² + h²

Satz des Pythagoras:

+ = c²   | Einsetzen der Formeln für a² und b²

(p² + h²) + (q² + h²) = c²

p² + h² + q² + h² = c²

p² + q² + 2·h² = c²   | c ergibt sich aus (p+q)

p² + q² + 2·h² = (p+q)²

p² + q² + 2·h² = p² + 2·p·q + q²

p² + q² + 2·h² = p² + 2·p·q + q²   | -q² - p²

2·h² = 2·p·q   | :2

h² = p·q

Kathetensatz des Euklid

Erinnern wir uns, die Katheten sind die beiden kurzen Seiten des Dreiecks, also Seiten a und b. Wenn wir die Höhe auf c einzeichnen, erhalten wir die folgende bereits bekannte Grafik:

Rechtwinkliges Dreieck mit Strecken a,b,c,p,q

Es sind zwei kleine rechtwinklige Dreiecke entstanden, auf die wir nun den Satz des Pythagoras anwenden könnnen:

a² = p² + h²   | für h² setzen wir den Höhensatz von oben ein mit h²=p·q

a² = p² + (p·q)   | p ausklammern

a² = p · (p + q)   | (p+q) ist ja c, also ersetzen wir den Term mit c

a² = p · c   | das ist der 1. Teil des Kathetensatzes

Nun betrachten wir das zweite kleine Dreieck:

b² = q² + h²   | für h² setzen wir den Höhensatz von oben ein mit h²=p·q

b² = q² + (p·q)   | q ausklammern

b² = q · (q + p)   | (q+p) ist ja c, also ersetzen wir den Term mit c

b² = q · c   | das ist der 2. Teil des Kathetensatzes

Höhensatz und Kathetensatz des Euklid in einer Grafik:

Höhensatz und Kathetensatz des Euklid Grafik

Anwendungen vom Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras kann immer angewendet werden, wenn es sich um ein ebenes rechtwinkliges Dreieck handelt, 2 Seiten bekannt sind und 1 unbekannte Seite berechnet werden soll. Hierzu findet man vielfältige Aufgaben wie zum Beispiel: Eine Leiter steht an einer Wand, Bauhöhe eines Leuchtturms, Berechnungen an Körpern wie Pyramiden etc.

Interessant ist auch der Zusammenhang, dass man jedes Quadrat "auseinanderbrechen" kann in zwei kleine Quadrate, und zwar entsprechend dem Satz des Pythagoras. Dabei muss es sich nicht immer um Längen handeln, das Prinzip funktioniert ebenfalls für Energie, Zeit, etc. Überall dort, wo wir Formeln mit einem Quadrat finden. Zum Beispiel: Eine Kreisfläche π·r² mit dem Radius 5 m kann aufgeteilt werden in zwei Kreisflächen mit dem Radius 4 m und 3 m. Zur Kontrolle:

A = π·r1² = π·r2² + π·r3²
A = π·5² = π·4² + π·3²
A = π·25 = π·16 + π·9
A = π·25 = π·25

Im Alltag könnt ihr diese Kreisfläche bei einer Pizza ausmachen. Mit obigen Überlegungen: Die Fläche einer Pizza mit 5 cm Radius ist genauso groß wie die Fläche von zwei kleineren Pizzas mit Radius 4 cm und Radius 3 cm zusammen. Sinnvoller wären natürlich die Wahl von realistischen Pizzaradien wie: (50 cm)² = (40 cm)² + (30 cm)²

In der Physik habt ihr die Bewegungsenergie kennengelernt mit F = 1/2·m·v². Diese Gleichung enthält wieder ein Quadrat. Wir können sagen: (Energie bei 50 km/h) = (Energie bei 40 km/h) + (Energie bei 30 km/h). Es wirkt also bei 50 km/h die Kraft, die bei 30 km/h und 40 km/h zusammen entsteht. Oder anders ausgedrückt: Die Bewegungsenergie, die bei 50 km/h vorliegt, kann genutzt werden, um zwei gleiche Objekt mit den Geschwindigkeiten 40 km/h und 30 km/h zu bewegen.

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Mathe-Programme

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    Mit diesem Programm könnt ihr ein allgemeines Dreieck festlegen und erhaltet die Höhe, die Winkel, die Fläche und den Umkreis mit Umkreisradius berechnet.
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    Ein weiterer geometrischer Nachweis für den Satz des Pythagoras, bei dem zwei Dreiecksflächen aus a² und b² heraus verschoben werden, die dann c² ergeben.
  • Satz des Pythagoras: Nachweis
    Satz des Pythagoras: Nachweis
    Nachweis vom Satz des Pythagoras über das große Quadrat (a+b)², von dem 4 Dreiecksflächen abgezogen werden. Eigene Werte können eingegeben werden!
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    Satz des Pythagoras: Flächendarstellung
    Der Satz des Pythagoras in der am Häufigsten anzutreffenden Form dargestellt, bei der die Quadrate auf den Dreiecksseiten liegen.
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    Satz des Pythagoras: Prinzip verallgemeinert
    Dieses Programm veranschaulicht das Prinzip hinter dem Satz des Pythagoras. Die Flächen über den Dreiecken sind hier als Dreiecke gezeichnet, könnten aber auch andere Formen einnehmen.
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    Rechtwinklige Dreiecke: Winkel max. 90 Grad
    Dieses Programm veranschaulicht, dass die Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck nie größer als 90 Grad sein können.
  • Seite, Quadrat und Wurzel Seite, Quadrat und Wurzel
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Übungsaufgaben

A. Allgemeine Fragen zu Dreiecken:

1. Mit welchen Zeichen werden Dreieckspunkte beschriftet (Buchstaben, Zahlen oder griechische Buchstaben)?

2. Welche Zeichen benutzt man, um Dreiecksseiten zu benennen?

3. Wie werden Winkel verallgemeinert, also welche Zeichen werden zur Bezeichnung verwendet?

4. Zähle alle Dreiecksarten auf, die du kennst! Nach welchen beiden Kategorien werden Sie unterteilt?

5. Was ist eine Dreieckshöhe?


B. Sätze und Formeln bei Dreiecken

1. Wie lautet der Winkelsummensatz bei Dreiecken?

2. Mit welchem 'Hilfsmittel' wird der Winkelsummensatz bewiesen?

3. Wie berechnet sich die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks?

4. Was besagt der Satz des Thales?


C. Benutze den Satz von Pythagoras, um die fehlende Seite zu berechnen. Hinweis: Seite c ist stets die längste Dreiecksseite!
1. Dreieck A: a = 3 cm, b = 4 cm, c = ... cm
2. Dreieck B: a = 7 cm, b = 9 cm, c = ... cm
3. Dreieck C: a = ... cm, b = 12 cm, c = 15 cm
4. Dreieck D: a = 4 cm, b = ... cm, c = 18 cm
5. Dreieck E: a = 33,5 m, b = 15 m, c = ... m
6. Dreieck F: a = 3,5 km, b = ... km, c = 4500 m


D. Überprüfe mit Hilfe vom Satz des Pythagoras, ob es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt:
1. Dreieck A: a = 9 cm, b = 4 cm, c = 1 cm
2. Dreieck B: a = 8 cm, b = 10 cm, c = 6 cm
3. Dreieck C: a = 13 cm, b = 4,5 cm, c = 5,5 cm
4. Dreieck D: a = 15 m, b = 5,513 m, c = 13,95 m
5. Dreieck E: a = 30 cm, b = 0,04 m, c = 5 dm


E. Aufgaben aus dem Alltag (Satz des Pythagoras):
1a. Ein Fußballfeld ist 90 m lang und 45 m breit. Ein Spieler rennt diagonal über das Spielfeld, von einer Eckfahne zur anderen. Wie viele Meter muss er rennen?
1b. Wenn der Fußballspieler 20 km/h läuft, wie lange dauert sein Sprint?

2. Ein Baum ist 4,50 m hoch und steht von uns 10 m entfernt. Wie lang müsste das Seil sein, das eine Verbindung herstellt zwischen uns (Bodenhöhe) und dem obersten Ende des Baumes?

3. Eine Leiter lehnt gegen eine Wand. Die Leiter ist 5,50 m lang, die Leiter steht unten 2,80 m von der Wand entfernt. Wie hoch ist die Wand?

4. Die Höhe eines Zirkuszeltes wird halbiert. Vorher war das Zelt 20 m hoch und wurde von 30 m langen Seilen gehalten. Wie lang müssen die neuen Seile sein?

5. Wenn die beiden kurzen Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks die gleiche Länge "a" haben, wie lang ist dann die lange Seite?

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Video Teil 1: Grundlagen Rechtwinklige Dreiecke

Gut, nachdem wir uns jetzt die Kreise und die Winkel angeschaut haben, kommen wir jetzt zu den Dreiecken. Trigonometrie heißt „Dreiecksvermessung“, das heißt: Dreiecke spielen hier die wesentliche Rolle. Schauen wir uns die Dreiecke an. Wenn wir drei Punkte auf eine Fläche setzen, beziehungsweise wir sagen auch „Ebene“, die im übrigen zweidimensional ist, also nur eine Breite und eine Länge hat, wenn wir also auf dieser Ebene drei Punkte setzen und diese drei Punkte miteinander verbinden, entsteht ein Dreieck. Diese Linien, diese Strecken, die sich hier ergeben, nennt man auch „Seiten“ des Dreiecks. Und die Punkte nennt man auch „Eckpunkte“. Wenn wir dieses Dreieck beschriften sollen, benutzen wir die Großbuchstaben für die Punkte, meistens A, B und C, und um die Seiten zu beschriften, da müssen wir aufpassen, denn immer die einem Punkt gegenüberliegende Seite hat auch den Namen des Punktes als Kleinbuchstabe, also Punkt C liegt dieser Strecke AB gegenüber, das heißt, die Strecke beschriften wir mit klein c. Dieser Strecke liegt Punkt A gegenüber, das heißt, sie heißt klein a. Und die letzte, da liegt Punkt B gegenüber, wir beschriften sie also mit klein b. Und jetzt fehlen noch die Winkel: Groß C kriegt das γ, Groß B kriegt das β und Groß A bekommt das α. Und, ganz klar, je nachdem, wo wir die drei Punkte setzen, erhalten wir ganz unterschiedliche Dreiecke. Schauen wir uns das ein bisschen genauer an: Vorab gesagt, jedes Dreieck ist ein „allgemeines“ Dreieck, also „allgemeines Dreieck“ ist der Oberbegriff, manchmal sagt man auch „beliebiges“ Dreieck dazu. Hat dieses Dreieck jedoch besondere Eigenschaften, benutzt man spezielle Bezeichnungen dafür. Hat das Dreieck drei gleich große Seiten, wie zum Beispiel in diesem Fall, alle drei haben 5,02 Zentimeter, das heißt: Wir haben ein „gleichseitiges“ Dreieck – alle Seiten sind gleich lang. Haben wir jedoch nur zwei gleiche Seiten, wie zum Beispiel hier, 6,45 und hier 6,45, und die unten hat eine andere Länge, dann sprechen wir von einem „gleichschenkligen“ Dreieck. Also die beiden Schenkel von C ausgehend sind gleich, und hier drüben die dritte Strecke nicht, das heißt „gleichschenkliges Dreieck“. Sofern wir ein Dreieck haben, bei dem alle Seiten unterschiedlich lang sind, sprechen wir von einem „unregelmäßigen“ Dreieck. Jetzt haben wir uns die Dreiecksarten nach den Seiten angeschaut, wir können Dreiecke aber auch nach Winkeln selbst einteilen. Das berühmteste: Wenn ein Winkel 90 Grad groß ist, sprechen wir von einem „rechtwinkligen“ Dreieck. Wenn der größte Winkel im Dreieck unter 90 Grad groß ist, also hier ist 41, 61, 78, das ist der größte Winkel, der ist unter 90 Grad, dann haben wir einen spitzen Winkel, dann sagen wir auch zu dem gesamten Dreieck „spitzwinkliges“ Dreieck. Und ist der größte Winkel im Dreieck über 90 Grad groß, β ist jetzt 110 Grad, dann haben wir ein „stumpfwinkliges“ Dreieck. Winkel können nicht 180 Grad oder größer sein, bei 180 Grad hätten wir kein Dreieck, und wie ihr seht, wenn wir über 180 Grad kommen, dann spannen wir sozusagen das Dreieck auf die andere Seite auf, und wir haben 123 Grad für diesen Innenwinkel, in diesem Beispiel. Also wieder einen Winkel unter 180 Grad. Gut, fassen wir nochmal zusammen: Wir können Dreiecke nach ihren Seiten einteilen, da haben wir das gleichseitige, das gleichschenklige und das unregelmäßige Dreieck, und wir können Dreiecke nach ihren Winkeln einteilen, da haben wir das spitzwinklige, das rechtwinklige und das stumpfwinklige Dreieck. Über allgemeine Dreiecke lässt sich viel sagen und auch viel berechnen, wir schauen uns als nächstes jedoch die rechtwinkligen Dreiecke an, weil sich jedes nichtrechtwinklige Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegen lässt, und zwar, indem wir eine Höhe einzeichnen. Die Höhe steht immer senkrecht auf einer Seite des Dreiecks und kann für jede Dreieckseite eingezeichnet werden. Dass die Höhe senkrecht ist, haben wir mit einem rechten Winkel angedeutet. Das ist Seite b, auf der Seite b steht die Höhe, die dann auch durch den Punkt B gehen muss. Also merkt euch: Die Höhe ist eine Strecke, die senkrecht auf einer Seite steht und durch den gegenüberliegenden Punkt geht. Und wie erwähnt, wir können sie bei A, bei B und bei C einzeichnen. Und wenn wir diese Höhe einzeichnen, entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke, hier gelb und hier grün dargestellt; beide haben einen rechten Winkel, und sobald ein Dreieck einen rechten Winkel hat, ist es immer ein rechtwinkliges Dreieck. Und hier können wir auch egal welche Form nehmen, wir haben immer ein rechtwinkliges Dreieck. Wenn wir den Punkt B jetzt einmal nach rechts verschieben, so würde die Höhe von B außerhalb des Dreiecks liegen, was zwar erlaubt ist, uns jedoch nicht zwei rechtwinklige Dreiecke bringt, das heißt, wir müssen uns hier helfen, indem wir die Höhe zum Beispiel bei C einzeichnen und dann hier die zwei rechtwinkligen Dreiecke benutzen. Wenn wir Punkt C hinten über A zeichnen, können wir auch hier auf die Seite A die Höhe A einzeichnen und haben wieder zwei rechtwinklige Dreiecke, und, ganz klar, zum Beispiel das rechtwinklige Dreieck berechnen können und das rechtwinklige Dreieck berechnen können, können wir ganz einfach daraus auf das große Dreieck schließen. Also zum Beispiel diese Fläche und diese Fläche ist die Gesamtfläche unseres allgemeinen Dreiecks. Bevor wir uns gleich auf die rechtwinkligen Dreiecke konzentrieren, noch ein wichtiger Satz, der für jedes Dreieck gilt: Er heißt „Winkelsummensatz“ und sagt, dass alle drei Winkel des Dreiecks immer 180 Grad groß sein müssen. Also wenn ihr α, β und γ addiert, sind die bei jedem Dreieck unabhängig von der Position von A, B und C immer 180 Grad. „Warum ist das so?“ fragt ihr euch vielleicht, und das zeigen wir als nächstes. Um den Winkelsummensatz beziehungsweise „Innenwinkelsummensatz“ nachzuweisen, müssten wir uns folgendes denken: Wenn diese Strecke c nach rechts und links verlängert wird, also wir eine Gerade einzeichnen und diese Gerade parallel hier oben durch C einzeichnen, haben wir also zwei Parallelen. Und wie wir bei den Stufen- und Wechselwinkeln gesehen hatten, können wir, wenn eine Gerade die beiden Parallelen schneidet, also a verlängert oder durch Seite b verlängert, diese Winkel hier übertragen. Für diesen Winkel hier β, den können wir uns hier hoch projiziert denken, und auf die andere Seite rübergewechselt, also hier hoch projiziert ist der Stufenwinkel, auf die andere Seite, dann haben wir den Wechselwinkel. Das heißt, dieser Winkel hier muss genauso groß sein wie β. Das ist die erste Überlegung. Die zweite Überlegung, das gleiche können wir mit α machen, α können wir hier hoch projizieren, und dann auf der anderen Seite rüberwechseln. Also der rote Winkel hier hoch, und dann hinüberprojiziert, als sein Gegenwinkel, das heißt, wir haben hier auch einen Wechselwinkel. Und bei der dritten Überlegung, fassen wir es ein bisschen zusammen, den Winkel β können wir hierhin setzen, den Winkel α können wir hierhin setzen, und dann sehen wir, β plus γ plus α sind auf einer Linie, ergeben einen Halbkreis und sind folglich 180 Grad groß. Und natürlich, diesen Winkel α brauchen wir nicht als Wechselwinkel nehmen, den können wir auch direkt hier als Stufenwinkel schreiben, dann sehen wir, dass auf dieser verlängerten Seite von b, also auf der Gerade b, haben wir ebenfalls 180 Grad. Und das egal, wo wir den Punkt C setzen. Das als Nachweis, dass alle Winkel in einem Dreieck immer 180 Grad ergeben. Hier oben habt ihr nochmal den Zusammenhang, und mit diesem Programm, das ihr auf unserer Webseite findet, könnt ihr euch auch selbst ausprobieren und verschiedene Positionen einstellen. Also merkt euch bitte: Die Summe der Innenwinkel im Dreieck ist stets 180 Grad. Sehr gut, als nächstes geht es zu den rechtwinkligen Dreiecken.

Video Teil 2: Satz des Pythagoras

Hallo und herzlich Willkommen zur nächsten Lektion. In dieser Lektion schauen wir uns den Satz des Pythagoras an. Wir betrachten wofür man ihn benutzen kann und wie er hergeleitet wird. Überlegen wir als erstes: Wir haben ein rechtwinkliges Dreieck und wollen die Seiten a, b und c bestimmen. Lasst uns vereinbaren, dass wir jetzt ein Gitter über dieses Dreieck legen und dann die Seite a und b ablesen dürfen. Also hier Seite a ist 3 Kästchen lang, also 3 cm und Seite b ist 4 Kästchen lang, also 4 cm. Wollen wir jetzt die Seite c ablesen, geht das nicht so einfach, weil sie schräg liegt und hier nicht die Kästchen schön anliegen wie bei der Seite. Das heißt, hier müssen wir uns was einfallen lassen, um Seite c bestimmen zu können. Wir können jetzt versuchen die 3 und 4 cm miteinander zu verrechnen, zum Beispiel zu addieren. Dann hättet ihr hier diese lange Strecke 7 cm, doch die ist viel zu lang im Vergleich zu Seite c. Ihr könntet die jetzt halbieren und seht dann zum Beispiel: sie ist viel kürzer als Seite c. Und schnell werdet ihr feststellen, ihr könnt indem ihr die beiden Seiten addiert oder miteinander multipliziert oder subtrahiert, nicht auf Seite c kommen. Das heißt wir müssten versuchen, einen anderen Zusammenhang zu finden. Und die Idee, die uns hier kommen könnte, wäre, wir gehen über die Flächen. Und bei den Flächen schauen wir noch mal, wie der Zusammenhang zwischen Seite und Fläche war. Wenn wir eine Seite haben, hier im Beispiel 1 cm, beziehungsweise, können auch Strecke sagen, und diese Seite mit sich selbst multiplizieren, also 1 × 1, erhalten wir ein Kästchen. Wir quadrieren also die Seite a. Wenn wir jetzt 2 Kästchen nehmen, diese quadrieren 2 × 2, erhalten wir 4 cm², also hier dargestellt als 4 Kästchen. Bei 3 Zentimeter erhalten wir 3 x 3, also 9 Kästchen. Gut, das geht immer so weiter. Wenn wir jetzt jedoch die Seite a nicht kennen würden und es gibt uns jemand diese 25 cm² als Fläche und wir wollen hier die Seitenlänge rausbekommen, dann würden wir die Wurzel ziehen. 5=Wurzel(25), also diese Seitenlänge. 6=Wurzel(36), also diese Seitenlänge hier von diesem Quadrat. Die Wurzel gibt uns also immer die Seite eines Quadrats wieder, die mit sich selbst multipliziert, die Fläche ergibt. Also 6=Wurzel(36), weil 6 × 6 die 36 cm² sind. Wenn wir also nur die Fläche haben, können wir jederzeit zurückschließen auf die Seitenlänge dieses Quadrates. Gut - als nächstes müssen wir noch überlegen wie wir die Fläche eines rechtwinkligen Dreieckes bestimmen können. Und das geht relativ schnell. Wir nehmen einfach unser Dreieck hier, duplizieren es und legen es an dieses Dreieck hier ran. Wie ihr seht haben wir jetzt eine Rechtecksfläche geschaffen. Und die Fläche eines Rechteckes ergibt sich aus Seite a × Seite b. Doch wir wollen jetzt nicht die gesamte Fläche hier haben, sondern wir wollen nur die Hälfte haben. Und Hälfte heißt, wir halbieren es, wir schneiden es einmal durch, beziehungsweise rechnerisch wir /2. Also die Dreiecksfläche ergibt sich aus a×b/2. Das ist unser Dreieck. Und für unser Beispiel mit 3 cm und 4 cm können wir jetzt mal einsetzen hier: a ist 3cm, b ist 4cm, dann erhalten wir 3×4=12. Dann die cm² und dann noch die /2. Also unser Rechteck ist 12 cm², danach ist unser Dreieck die Hälfte davon 12/2=6cm². Soweit dazu. Merkt euch bitte auch, wenn wir dieses Dreieck zweimal haben, dann haben wir immer ein Rechteck. So und was wir noch brauchen, ist die 1. Binomische Formel. Die 1. Binomische Formel hatten wir uns bereits in den Grundlagen angeschaut und hatten dort festgestellt, dass wenn wir eine (a+b)×(a+b), dort heraus daraus kommt a²+2×a×b+b². Und geometrisch hieße das nichts weiter als folgende Fläche: Wir haben hier das a², dann haben wir hier das Rechteck a×b und haben hier das Rechteck a×b, also haben wir es zweimal und dann haben wir noch das b², also a²+2×a×b+b². Und an dieser Stelle seht ihr, wir haben hier die Seite a und hier die Seite b. Das ist eine Seite dieser Fläche und hier haben wir auch Seite a und Seite b, das ist die andere Seite dieser Fläche. Das heißt, wir haben hier ein Quadrat. Die eine Seite a+b, die andere Seite a+b, alle Seiten sind gleich lang, also handelt es sich um ein Quadrat. Und wie hilft uns das jetzt mit unserem Dreieck? Nehmen wir diese Dreiecke nochmal zurück. Diese Dreiecke sind ja a, b und c. Und wir haben gerade gesehen, hier die Seiten sind a+b und a+b, das heißt, wir setzen diese Dreiecke jetzt mal an die Außenseiten, so dass hier a ist und hier b, hier b und a, also jetzt haben wir a+b. Jetzt brauchen wir hier auch noch ein b, damit hier auch noch a+b entsteht, hier brauchen wir jetzt auch noch ein b, damit hier a+b entsteht und hier haben wir auch a+b. Das heißt, wir haben jetzt das gleiche Quadrat erschaffen, nur die Dreiecke anders angeordnet. Und wie es hier schon zu sehen ist, haben wir durch diese Anordnung ein c² erschaffen. Also in der Mitte haben wir c×c erschaffen. Und außen immer noch a+b × a+b. Und hier sehen wir einen sehr wichtigen Zusammenhang. Wir haben viermal das Dreieck aus der gesamten weißen Fläche ausgeschnitten und haben c² erhalten. Bei der 1. Binomischen Formel haben wir ebenfalls viermal das grüne Dreieck aus der gesamten weißen Fläche herausgeschnitten und hier a²+b² erhalten. Das heißt, wir wissen, wenn wir viermal das Dreieck aus dieser weißen Fläche herausschneiden, ist der weiße Rest immer der Gleiche. Also wenn wir hier einmal die Dreiecke so anordnen, haben wir als Rest a²+b², und wenn wir die Dreiecke so anordnen, haben wir den Rest c². Mit diesem Wissen können wir auf den Satz des Pythagoras kommen. Wir schreiben also jetzt die Formel hier hin für diese Fläche: (a+b)×(a+b) und wenn wir das jetzt auflösen, könnten wir folgendes sagen: das ist ja das gleiche wie das c² + und jetzt ein-, zwei-, drei-, viermal die Dreiecksfläche. Und eine Dreiecksfläche ist a×b/2 und wie wir sehen, haben wir es viermal. Also wir schreiben hier =c²+4×(a×b/2), einmal b/2. Und 4×a×b/2 ist 2×a×b, also zweimal die Rechtecksfläche. Dieses Rechteck hier und dieses Rechteck hier. Für den ersten Fall die 1. Binomische Formel, da ergibt sich auch von den Außenseiten (a+b)x(a+b) und die Fläche ergibt sich, wie wir hier gut sehen können, aus a²+2×a×b+b². Und jetzt können wir unsere beiden Formeln, die sich aus (a+b)×(a+b) ergeben haben, miteinander vergleichen. Das heißt, wir sehen jetzt, die Flächen sind gleich (a+b)×(a+b) = (a+b)×(a+b) und die =a²+2×a×b+b² = =c²+2×a×b. Und wenn wir jetzt bei beiden das 2x a x b, die beiden Rechtecke, bzw. die vier Dreiecke abziehen, bleibt da übrig a²+b²=c². Also einmal haben wir als Rest die weiße Fläche a²+b² und einmal haben wir als Rest die weiße Fläche c². Die Flächen sind also gleich groß. Sie haben zwar eine andere Form, aber den gleichen Flächeninhalt. Deshalb ergeben die Flächen a²+b²=c². Und genau das ist der berühmte Satz von Pythagoras. Lasst uns als nächstes die neuen Kenntnisse benutzen. Wenn die Fläche aus a, also a² und die Fläche aus b, also b², zusammen addiert werden, muss die Fläche c² herauskommen, wie wir soeben gesehen hatten. Seite a war im Beispiel 3 cm, Seite b im Beispiel 4 cm, und genau die Werte setzen wir jetzt ein, a wird zu 3 cm und b zu 4 cm, dann können wir ausrechnen: (3 cm)²+(4 cm)² = c², 9 cm² + 16 cm² = c², 25 cm² = c², das heißt, die c² = 25 cm² groß. Jetzt, wie wir gesehen hatten, können wir die Wurzel ziehen und erhalten die Seite des Quadrats, also Wurzel(25c) = c, 5 cm = c. Wir erhalten 5 cm. Die Seitenlänge für c, unsere Lösung. Natürlich hätten wir hier auch den längeren Weg der Berechnung wählen können, wir hätten unsere beiden Quadrate aufgestellt, mit der Seitenlänge a+b, also 4+3, dann hätten wir 7×7, also 49 cm² erhalten, links hätten wir die beiden Rechtecke mit jeweils 4×3 abgezogen, also 24 cm², 49 cm²-24 cm²=25cm², für a² und b². Und auf der rechten Seite hätten wir von 49cm² die vier Dreiecke abgezogen, das wären ebenfalls -24cm² gewesen und wir hätten 25 cm² für c² herausbekommen, dann die Wurzel(25 cm²)=5 cm = c. Zusammengefasst heißt es also, wir können die Seiten jedes beliebigen rechtwinkligen Dreieckes bestimmen. Rechnen wir abschließend noch zwei Aufgaben hierzu. Es sei uns ein rechtwinkliges Dreieck gegeben und wir wissen, dass a= 4,5 cm und die Seite b=8,5 cm lang ist. Gesucht ist die Seite c. Da können wir zur Lösung den Satz des Pythagoras aufstellen, der lautet: a²+b²=c², tauschen zur Übersichtlichkeit die Seiten: c²=a²+b² und können jetzt den Wert für a und für b eintragen: c²=(4,5 cm)²+(8,5 cm)². Dann rechnen wir als erstes die Quadrate aus, in dem Fall mit dem Taschenrechner: (4,5)² = 20,25 cm² und dann noch die (8,5)² = 72,25 cm². Jetzt addieren wir die beiden c²=20,25 cm²+ 72,25 cm² = c² = 92,5 cm², was auch der Fläche c² entspricht. Und jetzt um auf Seite c zu kommen, dürfen wir die Wurzel ziehen und das ergibt c= Wurzel(92,5cm²} = c=9,618 cm für unsere Seite c. Gut, das sei die erste Aufgabe. Für die zweite Aufgabe nehmen wir einen anderen Fall. Sagen wir für die zweite Aufgabe ist die Seite a und die Seite c gegeben und wir wollen b ermitteln. a = 2,7 cm, b ist gesucht, c = 7 cm. Wie berechnen wir das? Wir erstellen auch wieder den Satz des Pythagoras auf und müssen jetzt die Gleichung so umstellen, dass b² alleine auf der linken Seite steht. Dazu, wie wir es beim Umstellen der Gleichung bei den Grundlagen gelernt hatten, subtrahieren wir a² auf beiden Seiten. Dann fällt es hier links weg, dann bleibt b² stehen und rechts erhalten wir c²-a². Und bei dieser Formel können wir jetzt unsere Werte einsetzen, c= 7 cm und a = 2,7 cm. Genau das geben wir wieder in den Taschenrechner ein, b² = 49 cm²-7,29 cm², b² = 41,71 cm². Hier draus ziehen wir die Wurzel und erhalten unser b. Also Wurzel auf beiden Seiten. Links steht dann b und rechts Wurzel (41,71 cm²) = 6,458 cm also b= 6,458 cm. Unsere Lösung für Seite b. Wenn also a=2,7cm, Seite c=7cm ist, dann ist Seite b=6,458 cm lang. Gut, soviel dazu. Wir hoffen, ihr habt den Satz des Pythagoras besser verstanden und könnt ihn auch für eure Aufgaben anwenden. Für den Satz des Phythagoras werdet ihr noch weitere Nachweise finden. Hier im Folgenden noch kurz einige dargestellt. Den einen Nachweis hatten wir bereits angeschaut. Wir hatten also hier die Fläche (a+b)x(a+b) und können jetzt hier die Dreiecke verschieben, und wir erhalten a²+b² und zurückgeschoben erhalten wir c² für die weiße Fläche. Ihr könnt auch hier die Dreiecke anders verschieben. Das Ergebnis bleibt jedoch das Gleiche. Wenn ihr dieses Dreieck nach unten schiebt, dieses nach oben, erhaltet ihr hier a²+b². Das sieht etwas anders aus als die Binomische Formel. Jedoch sind die Flächen immer noch dieselben. Und wir schieben das zurück, und wir erhalten c². Es gibt sogar einen Nachweis, der die Fläche a² und b² so zerschneidet, dass c² herauskommt. Wenn wir jetzt hier einen Schritt weitergehen, setzen wir das b² neben das a², schneiden jetzt zweimal das Dreieck aus a² und b² aus, ihr seht einmal hier und einmal hier. Und jetzt verschieben wir dieses Dreieck hier nach oben, das ist ein Teil der Fläche a² und dieses Dreieck hier, das ja Teil aus b² und a² ist, verschieben wir nach hier oben und ihr seht, das entspricht genau der Fläche c². Wir haben also die beiden Dreiecke rausgeschnitten, hier oben angelegt und wir erhalten ebenfalls c². Gut, und was ihr oft in den Büchern seht, ist diese Anordnung. Ihr habt hier die Quadratsflächen a², b² und c² direkt auf die Seiten eingezeichnet, um ebenso den Zusammenhang darzustellen. Hier sieht man auch visuell nicht besonders gut, dass die beiden Flächen dieser Fläche entsprechen. Gut, das nächste Video das folgt, richtet sich an all diejenigen, die hinter das tiefere Geheimnis von Pythagoras steigen wollen. Wir werden erklären warum das Prinzip Pythagoras nicht nur für Quadrate gilt sondern auch für andere Flächen, wie zum Beispiel Kreisflächen oder Dreiecksflächen. Auch schauen wir uns noch den Satz von Thales an und wie wir diesen nachweisen können. Und wir betrachten uns, wie wir die Höhe bei einem rechtwinkligen Dreieck berechnen können, über den Höhensatz des Euklid, und wir gucken uns auch noch abschließend den Kathetensatz des Euklid an. Ihr findet übrigens alle Programme, die wir euch gezeigt haben, auf unserer Webseite. Hier zum Beispiel ein Programm, mit denen ihr die Seiten berechnen könnt: Ihr gebt die Zahlen ein, zum Beispiel 3 und 4 und erhaltet die dritte Seite, in dem Fall 5 cm. Beliebige Zahlen eingeben, zum Beispiel hier Seite b und Seite c und ihr erhaltet Seite a ermittelt.

Video Teil 3: Geheimnis hinter Pythagoras

Hallo und herzlich willkommen zum nächsten Video, in dem wir euch das Geheimnis hinter dem „Satz des Pythagoras“ erklären möchten. Den Satz des Pythagoras hatten wir gerade kennen gelernt mit a-Quadrat + b-Quadrat = c-Quadrat, und wir hatten gesagt: In vielen Büchern ist er grafisch wie folgt zu finden: Es werden die Quadrate direkt auf die Seiten eingezeichnet, um so den Zusammenhang deutlich zu machen. An dieser Stelle sei verraten: Der Satz des Pythagoras ist nur ein Spezialfall eines viel größeren Mechanismus' beziehungsweise eines größeren Prinzips. Und dieses Prinzip werden wir euch jetzt zeigen. Und zwar nehmen wir dazu ein konkretes Beispiel: Nehmen wir uns ein Dreieck, das wir auch im letzten Video hatten, mit den Seitenlängen 3, 4 und 5. Dann ergaben sich die Flächen 9 Quadratzentimeter, 16 Quadratzentimeter und 9 plus 16, 25 Quadratzentimeter. Und an dieser Stelle merkt euch bitte diese Werte 9, 16 und 25. Und was wir als nächstes machen: Wir betrachten nur das Dreieck. Und bei diesem Dreieck zeichnen wir jetzt die Höhe ein, und zwar die Höhe für diese grüne Linie hier, für unsere Seite c, die sich dann hier befindet und eine Länge von 2,4 Zentimetern hat. Wie sich die Höhen berechnen, sehen wir übrigens im nächsten Video. Diese Höhe teilt die grüne Strecke in zwei Teilstrecken mit den Längen 1,8 und 3,2. Und was uns jetzt interessiert, das sind die Flächen der Teildreiecke, dieses hier und dieses hier. Die Fläche des linken Dreiecks erhalten wir, indem wir 1,8 mal 2,4 multiplizieren, durch 2, und es kommt raus: 2,16 Quadratzentimeter. Und hier rechts das gleiche Prinzip: 2,4, die Höhe, mal 3,2, durch 2, und wir erhalten: 3,84 Quadratzentimeter. Und wir ihr seht, 3,84 plus 2,16 ergibt 6 Quadratzentimeter, die Fläche unseres gesamten Dreiecks, und da hätten wir auch hier rechnen können: 3 mal 4 sind 12, davon die Hälfte ist 6. Also unser gesamtes Dreieck ist 6 Quadratzentimeter, das kleine hier oben 2,16 und das hier rechts 3,84. Als nächstes wollen wir herausfinden: Welcher Zusammenhang besteht zwischen unserer Dreiecksfläche und der Fläche c-Quadrat, also 25 Quadratzentimeter? Oder anders gesagt: Mit welchem Faktor müssen wir unser Dreieck vergrößern, damit es den gleichen Flächeninhalt hat wie unser Quadrat? Da können wir uns kurz überlegen: Die 6 Quadratzentimeter mal was ist 25 Quadratzentimeter? Und da können wir die Gleichung umstellen, die 6 Quadratzentimeter dividieren wir hier rüber, und wir erhalten dann 25 durch 6, und das sind gerundet 4,167. Also wenn wir 6 mit 4,167 multiplizieren, erhalten wir 25 Quadratzentimeter, was dann der Fläche unseres Quadrats entspricht. Was wir als nächstes machen: Wir schauen uns die 2,16 an. Wenn wir das gesamte Dreieck auf 25 Quadratzentimeter erweitern, wie groß ist jetzt dieses linke Dreieck hier? Und da müssen wir auch 2,16 mit dem Faktor 4,167 multiplizieren, da dieses Teildreieck ja in gleichem Maße erweitert wird. Tun wir das, und nehmen wir den Taschenrechner dazu. Wir geben ein: 2,16 mal 4,167 und erhalten rund 9 Quadratzentimeter. Und als nächstes nehmen wir unser rechtes Dreieck, 3,84 Quadratzentimeter und multiplizieren das ebenfalls mit dem Faktor der Vergrößerung. Wir geben also ein: 3,84 multipliziert mit der 4,167 und erhalten 16 Quadratzentimeter gerundet. Und wenn ihr jetzt aufgepasst habt, seht ihr, dass das gesamte Dreieck 25 Quadratzentimeter groß ist, das linke kleine Dreieck 9 Quadratzentimeter und das rechte Dreieck 16 Quadratzentimeter. Und wir erkennen, dass die Flächen der Dreiecke genau der Flächen der Quadrate des kleineren Dreiecks entsprechen. Also hier nochmal unser kleines Dreieck mit den 6 Quadratzentimetern, und da haben wir hier die 9 Quadratzentimeter, hier die 16 und hier die 25. Und wenn wir jetzt unser gelbes Dreieck erweitern, von 6 Quadratzentimetern auf 25 Quadratzentimeter, wir vergrößern es, dann erhalten wir die 25 Quadratzentimeter für das gesamte Dreieck, für das kleine Dreieck 9 Quadratzentimeter und für das andere Dreieck 16 Quadratzentimeter. Die Schlussfolgerung daraus lautet, das diese Quadratsflächen nichts weiter sind als die vergrößerten Dreiecksflächen, deren Form verändert wurde, doch der Flächeninhalt gleich blieb. Und daraus ergibt sich der Spezialfall „Satz des Pythagoras“ beziehungsweise anders formuliert: Dieser Mechanismus steckt hinter dem Satz des Pythagoras. Und hier sehen wir auch, dass die beiden Teilflächen immer zusammen die Gesamtfläche ergeben müssen, da ja die Gesamtfläche aus den beiden Teilen besteht. Und das ist das Geheimnis, das wir euch zeigen wollten. Im folgenden erklären wir noch kurz, warum das so ist. Der erste Wissensbaustein ist, dass Flächen unterschiedliche Formen haben können. Zum Beispiel: Gibt man uns 36 Quadratzentimeter, können diese 36 Quadratzentimeter mit verschiedenen geometrischen Figuren dargestellt werden, also unterschiedlichen Formen. Ein Beispiel wäre ein Dreieck, die 36 Quadratzentimeter könnten aber genauso gut ein Rechteck sein. Wir könnten auch einen Kreis nehmen, und wir könnten jede geometrische Figur so zeichnen, dass sie 36 Quadratzentimeter Fläche hat. Wir merken uns also eine ganz wichtige Regel: Der Flächeninhalt, also die Flächenangabe, ist nicht an die Form gebunden. Wir können also diese 36 Quadratzentimeter überführen in die Rechtecksfläche, wir können die Rechtecksfläche überführen in den Kreis, und den Kreis auch wieder in eine Dreiecksfläche. Als nächstes müssen wir uns nochmal unser rechtwinkliges Dreieck anschauen. Wir hätten hier gar nicht 9 Quadratzentimeter als Quadrat darstellen müssen, sondern hätten hier unsere Flächeninhalte auch als Kreis zeichnen können oder als Rechteck, Dreieck oder andere Formen. Nur warum hat man für den Satz des Pythagoras Quadratsflächen genommen? Die Antwort lautet: Das Quadrat hat nur eine Unbekannte in seiner Flächenformel, denn die Quadratsfläche ergibt sich aus a-Quadrat. Und wenn wir also a haben wollen, müssen wir nur die Wurzel aus der Fläche ziehen, so wie wir es auch im letzten Video gesehen hatten. Hätten wir hier beispielsweise ein Rechteck geschaffen, hätten wir bei unseren Flächen sechs neue Unbekannte. Und hätten wir andere Flächeninhalte gewählt wie auch die Seiten a, b und c angepasst, so wären es immer noch 3 Unbekannte. Umso komplizierter die geometrische Figur, desto schwieriger die Flächenformeln. Jedoch, wie wir hier oben sehen, bei unserem schönen Quadrat haben wir nur eine Unbekannte. Daher hat man den Satz des Pythagoras mit a-Quadrat plus b-Quadrat gleich c-Quadrat entwickelt.

Video Teil 4: Satz des Thales

Schauen wir uns als nächstes noch schnell den Satz von Thales an. Der „Satz des Thales“ besagt: Im Halbkreis ist jeder Peripherie-Winkel ein rechter Winkel. Hört sich erstmal schwierig an, meint aber folgendes: Wir haben einen Kreis und haben einen Durchmesser, hier die Strecke AB. Und wenn wir jetzt einen dritten Punkt auf diesen Kreis setzen, auf diese Kreislinie, entsteht ein Dreieck. Und bei Punkt C erhalten wir den Winkel 90 Grad, und egal, wie wir Punkt C setzen, der Winkel ist immer 90 Grad, er verändert seine Größe nicht. Daher erhalten wir auch immer ein rechtwinkliges Dreieck. Um zu verstehen, warum das so ist, schauen wir uns die gleichschenkligen Dreiecke nochmal an. Ein gleichschenkliges Dreieck hat hier die zwei Schenkel, die gleich lang sind, also a und b haben die gleiche Länge, und die Seite c hat eine andere Länge. Wenn wir bei diesem gleichschenkligen Dreieck eine Höhe einzeichnen, beziehungsweise wir schneiden es in der Mitte durch, stellen wir fest, dass zwei gleiche Dreiecke entstehen, also dieses linke Dreieck kann man sich vorstellen gespiegelt an der roten Linie, und wir erhalten das rechte Dreieck. Aus diesem Grund ist dieser Winkel hier genauso groß wie dieser Winkel hier. Und man formuliert: Die beiden Winkel an der Grundseite, also Seite c, bei einem gleichschenkligen Dreieck sind gleich groß. Man sagt auch „Basiswinkel“ zu den beiden Winkeln und nennt diesen Sachverhalt „Basiswinkelsatz“. Gut, was hilft uns das jetzt bei dem Satz des Thales? Wenn wir uns dieses Dreieck genauer anschauen, sehen wir, dass die Strecke M zu B einmal der Radius ist, und die Strecke M zu A gleichfalls der Radius. Und wenn wir jetzt die Strecke MC einzeichnen, ist das ebenfalls die Länge des Radius. Das heißt, da ja diese und diese Seite gleich lang sind, handelt es sich hier um ein gleichschenkliges Dreieck, und da die Strecke MC und die Strecke AM gleich lang sind, handelt es sich hier auch um ein gleichschenkliges Dreieck. Das heißt also: Da es gleichschenklige Dreiecke sind, sind die Außenseiten hier die Grundseiten, Seite a ist Grundseite von diesem Dreieck, Seite b ist Grundseite von diesem Dreieck. Und die Winkel sind gleich groß, die Basiswinkel. Und da ja der eine Winkel hier die Größe β hat, muss der auch β sein, und da dieser Winkel die Größe α hat, muss der auch α sein. Das heißt, der Winkel γ ergibt sich aus α und β. Und jetzt lasst uns hieraus eine Gleichung aufstellen: Wir wissen, dass α und β und γ 180 Grad groß sein müssen, unser Innenwinkelsummensatz, der für alle Dreiecke gilt. Da ja, wie wir gesehen haben, γ jetzt aus α und β zusammengesetzt werden kann, dürfen wir jetzt auch schreiben: α plus β plus γ, und γ ist ja α plus β, und das sind immer noch 180 Grad. Als nächstes können wir die Klammern entfernen und sehen jetzt: Wir haben hier eins, zweimal α und hier eins, zweimal β. Also schreiben wir das auch so hin: 2 mal α plus 2 mal β ist 180 Grad. Und das sehen wir auch ganz gut an unserem Dreieck, zweimal α, zweimal β müssen 180 Grad sein. Als nächstes dividieren wir beide Seiten durch 2, dann erhalten wir links α plus β und rechts 90 Grad. Wir haben also herausbekommen, dass α plus β immer 90 Grad sein müssen. Also α und β hier oben sind 90 Grad. Und α und β sind ja γ, also muss γ auch 90 Grad sein. Das könnt ihr auch hier sehen, hier hatten wir γ zu α plus β gemacht, das heißt, wir können jetzt α und β ebenfalls wieder als γ schreiben und haben so nachgewiesen, dass γ immer ein rechter Winkel sein muss. Gut, soviel zum Satz des Thales. Schauen wir uns als nächstes an, wie wir die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen können und die Strecken q und p, die entstehen, wenn die Höhe die Seite c teilt.

Video Teil 5: Höhensatz und Kathetensatz des Euklid

Hallo und willkommen zum letzten Teil zu den rechtwinkligen Dreiecken. Wir wollen ja bei einem Dreieck alle Seiten bestimmen können, die Fläche und Teilstrecken. Wir hatten uns für die Seiten des Dreiecks den Pythagoras angeschaut und festgestellt: Wenn wir zwei Seiten haben, können wir jeweils die dritte Seite berechnen. Wir hatten gesehen, dass a mal b durch 2 die Dreiecksfläche ergibt und, das hatten wir noch nicht gesagt, der Umfang des Dreiecks ergibt sich natürlich aus a plus b plus c. Und jetzt gilt es noch, drei weitere Strecken beziehungsweise Teile des Dreiecks zu bestimmen, zum Einen die Höhe, die von c ausgeht; und diese Höhe teilt unser Dreieck in zwei Teilstrecken, hier oben die erste Teilstrecke und hier die zweite Teilstrecke. Und die nennt man „p“ und „q“. Und wir wollen jetzt p und q und h ermitteln. Und dafür können wir uns entsprechende Formeln herleiten. Schauen wir uns an, wie wir die Strecke h als erstes bestimmen können. Hierzu nehmen wir den Satz des Pythagoras zu Hilfe. Da es sich ja hier um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, sehen wir, dass a die längste Seite ist im Dreieck, und die Seite h und die Seite p die zwei kürzeren Seiten, also wenn wir p-Quadrat und h-Quadrat addieren, erhalten wir a-Quadrat. Wir schreiben also: a-Quadrat ergibt sich aus p-Quadrat und h-Quadrat. Als nächstes schauen wir, wie ergibt sich denn b-Quadrat? Und da sehen wir: Hier ist der rechte Winkel, wir haben also die Seiten h und q für dieses rechtwinklige Dreieck. Das heißt, laut Pythagoras können wir rechnen: p-Quadrat gleich q-Quadrat plus h-Quadrat. So, und jetzt benutzten wir nochmal den Satz des Pythagoras für das gesamte Dreieck: a-Quadrat plus b-Quadrat gleich c-Quadrat. Und jetzt wissen wir, hier ist a-Quadrat, hier ist a-Quadrat, und a-Quadrat ist ja p-Quadrat plus h-Quadrat, das heißt, wir setzen p-Quadrat plus h-Quadrat hier ein für a-Quadrat. Dann plus und b-Quadrat ist ja q-Quadrat plus h-Quadrat, schreiben wir das hier hin. Und da kommt c-Quadrat raus. Jetzt können wir hier die Klammern auflösen und überlegen uns: Woraus ergibt sich denn die Seite c? Und die Seite c besteht ja aus den beiden Teilen p und q. Das heißt, wir können jetzt anstatt c hier die Summe p plus q eintragen. Und als nächstes, wir haben hier zweimal das h-Quadrat, können wir auch so schreiben, zweimal h-Quadrat plus p-Quadrat plus q-Quadrat ist gleich – und jetzt benutzen wir hier die binomische Formel – und wir erhalten p-Quadrat plus zweimal p mal q plus q-Quadrat, und als nächstes – wir haben hier p-Quadrat, hier p-Quadrat, hier q-Quadrat, hier q-Quadrat, das heißt: Wir ziehen auf beiden Seiten p-Quadrat ab, und wir ziehen auf beiden Seiten q-Quadrat ab. Und es bleibt stehen: 2 h-Quadrat ist gleich zweimal p mal q. Und jetzt haben wir hier eine 2 und hier eine 2, wir dividieren beide Seiten durch 2 und erhalten h-Quadrat gleich p mal q. Und wir sehen, wir können h-Quadrat bestimmen aus den Seiten p und q, indem wir sie miteinander multiplizieren. Wenden wir diese Formel als nächstes an und nutzen wir hierfür das Dreieck, das wir bereits kennen: Unser Dreieck 3, 4 und 5, und da hatten wir ja vorhin gesagt, p ist 1,8 Zentimeter und q 3,2 Zentimeter. Das heißt, wir brauchen jetzt nichts weiter machen als 1,8 für p einzusetzen und für q die 3,2 einzusetzen. Wir nehmen dann unseren Taschenrechner und geben ein: 1,8 mal 3,2 und erhalten 5,76 Quadratzentimeter, und wir wollen ja nicht Quadratzentimeter, sondern die Seite, das heißt, wir ziehen jetzt hier noch die Wurzel aus 5,76 und erhalten 2,4 Zentimeter, und schon haben wir die Höhe h bestimmt mit 2,4 Zentimetern. Gut, jetzt sagt ihr: Wie können die Seite h berechnen, brauchen dazu jedoch Seite p und Seite q, doch wie kriegen wir die beiden Strecken heraus? Und da schauen wir einmal, nehmen wir nochmal unsere Variablen für das Dreieck, und da hatten wir ja gesagt: a-Quadrat ergibt sich aus p-Quadrat plus h-Quadrat, also das betrifft dieses kleine Dreieck hier, und wenn wir jetzt unseren neuen Satz für h anwenden, der hieß ja: h-Quadrat gleich p mal q, dann können wir jetzt für h-Quadrat das p mal q eintragen. Als nächstes schreiben wir dieses p-Quadrat als p mal p, und wir erkennen: Hier steht p mal und hier steht p mal, das heißt, wir können es ausklammern. Das p mal schreiben wir raus, und in die Klammer kommt das zweite p, das p nehmen wir weg, und dann haben wir hier noch das q zu stehen. So, und jetzt hatten wir ja gesagt: Strecke p und Strecke q, die beiden hier ergeben zusammen die lange Strecke c. Das heißt, wir können jetzt p plus q mit c ersetzen. Und an dieser Stelle erkennen wir, wir können p berechnen, wenn wir a und c haben. Also brauchen jetzt nur c hier rüber dividieren, und schon ließe sich p berechnen. Merken wir uns also: a-Quadrat gleich p mal c als feststehenden Satz. Und wie kriegen wir jetzt unser q heraus? Natürlich könnten wir p ausrechnen, das von c abziehen und hätten dann q, aber wenn wir es direkt berechnen wollen über b, machen wir folgendes: Wir nehmen die Formel für dieses Teildreieck b-Quadrat gleich q-Quadrat plus h-Quadrat, also q, h und b, die drei Seiten, und jetzt nutzen wir wieder die Formel für h-Quadrat mit p mal q, die setzen wir hier ein, jetzt schreiben wir wieder das Quadrat aus, und zwar diesmal für q, also q mal q, als nächstes klammern wir das q wieder aus beiden Termen, und erhalten: q mal (q + p), und jetzt schauen wir: q und p ergeben wieder zusammen die Seite c. Wir ersetzen das hier mit c. Und hier erkennen wir unseren nächsten Satz b-Quadrat gleich q mal c, können also q berechnen, wenn uns nur c und b vorliegen. Gut, tragen wir die drei Sätze noch mal in der Übersicht zusammen: Wir haben einmal den Satz, um die Höhe zu bestimmen, der ergibt sich aus h-Quadrat gleich p mal q, wir haben den Satz, um p zu bestimmen, dazu nutzen wir den Satz a-Quadrat gleich p mal c, und wir haben einen Satz, um q zu bestimmen, dazu benutzen wir b-Quadrat gleich q mal c. Und die drei Sätze haben auch Namen: Der hier oben für die Höhe heißt „Höhensatz“ des Euklid, und wenn man einen der beiden hier unten meint, sagt man „Kathetensatz“ des Euklid, wobei Kathete eine der beiden kurzen Seiten des Dreiecks meint. Und wer sich fragt, was Euklid bedeutet: Euklid war ein griechischer Mathematiker, der vor mehr als 2000 Jahren gelebt hat. Und es ist natürlich sehr hilfreich, wenn ihr diese Sätze auswendig könnt, dann könnt ihr jederzeit die Strecken p, q und die Höhe bestimmen. Auf unserer Webseite findet ihr hierzu noch ein Lernprogramm, bei dem euch die Kathetensätze gegeben sind und der Höhensatz, und ihr könnt hier beliebige Dreiecke einstellen; Ihr könnt a, b und c eingeben und die Höhe, und p und q werden euch entsprechend ausgerechnet. Mit Hilfe dieses Programms könnt ihr also Eure Aufgaben kontrollieren. Als letztes wollen wir euch noch einen Weg zeigen, mit dem ihr aus den Seiten a, b und c die Höhe h bestimmen könnt. Also ihr könnt, wenn ihr zwei Seiten gegeben habt, die dritte Seite ausrechnen und danach die Höhe ausrechnen. Hierzu müssen wir uns eine zweite Flächenformel anschauen, die wir noch nicht kennengelernt hatten, wobei diese Flächenformel auch für allgemeine Dreiecke gilt: Wenn wir uns ein Dreieck nehmen und dort die Höhe einzeichnen, haben wir ja wie gesagt zwei rechtwinklige Dreiecke geschaffen. Wenn wir die Höhe senkrecht auf Punkt B und auf Punkt A einzeichnen und hier oben Strecke c eintragen, erhalten wir ein Rechteck. Hier die Höhe, unser h, und hier unten die Seite c. Das heißt, die Fläche dieses Rechtecks ergibt sich aus c mal h. Und wenn ihr jetzt genau hinschaut, seht ihr: Dieses Rechteck hier hat zwei Teile, zwei Dreiecke, die gleich groß sind. Dieses Rechteck hier auf der linken Seite hat ebenfalls zwei Teile, zwei Dreiecke, die gleich groß sind. Das heißt, die beiden Dreiecke hier haben die gleiche Fläche wie die blauen Dreiecke. Und da ja alle vier Dreiecke unsere Rechtecksfläche ausmachen, sind diese beiden Dreiecke genau die Hälfte des Rechtecks, beziehungsweise die blauen Dreiecke sind die andere Hälfte des Rechtecks. Und daraus lässt sich eine allgemeine Flächenformel für Dreiecke bilden: Wir nehmen also unser Gesamtrechteck c mal h und können es jetzt durch 2 dividieren. Das ist die eine Hälfte, das ist die andere Hälfte, also muss die Hälfte des Rechtecks ja der Dreiecksfläche entsprechen. Und die Formel lautet: c mal h durch 2. Und diese Formel gilt für alle Dreiecke! Gut, gehen wir einen Schritt weiter: Was bringt uns diese Formel jetzt? Wir hatten ja bei unserem Dreieck kennengelernt: Seite a mal Seite b durch 2 ergibt die Dreiecksfläche, also des rechtwinkligen Dreiecks. Notieren wir uns das: a mal b durch 2. Und jetzt hatten wir gesagt, wenn wir die Seite c mit der Höhe multiplizieren und dann durch 2 dividieren, erhalten wir ebenfalls die Dreiecksfläche. Diese Formel gilt für alle Dreiecke, also auch für rechtwinklige Dreiecke. Diese Formel führt zur Dreiecksfläche und diese Formel ebenso. Das heißt, wir können jetzt diese Gleichung benutzen, und sehen als erstes: Hier ist durch 2, hier ist durch 2, das heißt wir formen sie um und multiplizieren auf beiden Seiten mal 2. Dadurch fallen die beiden Zweien hier unten weg und wir erhalten: a mal b ist gleich c mal h. Und jetzt wollen wir das h allein auf einer Seite zu stehen haben, das heißt, wir müssen das c herüberdividieren, erhalten links a mal b durch c und rechts bleibt das h stehen. Und hier sehen wir, dass sich h aus allen drei Dreiecksseiten bestimmen lässt. Also a mal b durch c und wir erhalten die Höhe. Also eine recht schnelle Formel, um auf die Höhe zu stoßen. So müssen wir uns nicht, wie bei dem Höhensatz des Euklid, der h-Quadrat gleich p mal q war, die Strecken p und q errechnen, sondern können direkt über die Dreiecksseiten gehen. Jetzt haben wir alles Wesentliche zu den rechtwinkligen Dreiecken erfahren, als nächstes geht es los mit dem Sinus.
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