Übungsblatt: Beweisen und Rechnen mit Kreisen (3)

Autor: Roland Schröder

4.9 Fünf Kreise

Gegeben sind 5 gleichgroße Kreise im Koordinatensystem. Alle berühren die x-Achse, zwei haben ihren Mittelpunkt auf der y-Achse (siehe Abbildung). Welche Steigung hat eine Gerade die die Gesamtfläche der 5 Kreise halbiert?

Abbildung: Fünf Kreise

4.10 Halbierung eines gleichseitigen Dreiecks

Die Fläche des gleichseitigen Dreiecks KLM wird einerseits vom Bogen \(\widehat {CD}\) (auf Kreis um M) und andererseits von der zu KL parallelen Strecke \(\overline {AB} \) halbiert. Was ist länger \(\overline {AB} \) oder \(\widehat {CD}\)?

Abbildung: Halbierung eines gleichseitigen Dreiecks

4.11 Kleine Kreise im großen

Einem Kreis K mit dem Radius r werden zwei kleinere K1 mit dem Radius \(\frac{r}{2}\) einbeschrieben, die sich sowohl untereinander als auch K berühren. Dann werden dem Objekt aus drei Kreisen zwei Kreise K2 mit dem Radius x einbeschrieben, die beide Kreise K1 und auch K berühren. Und schließlich werden dem Objekt aus fünf Kreisen vier noch kleine K3 mit dem Radius z einbeschrieben, die K, K1 und K2 berühren. Welchen Anteil des Kreises K bedecken die vier Kreise K3?

Abbildung: Kleine Kreise im großen

4.12 Inkreis, Ankreis, Umkreis

Ein Kreis K1 wird von seinem Durchmesser in zwei Halbkreise geteilt. In den einen Halbkreis wird ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck mit dem Durchmesser von K1 als Basis samt Inkreis K2 des Dreiecks gezeichnet. In den anderen Halbkreis werden zwei gleichgroße Kreise K3 und K4 gezeichnet, die sich untereinander und zusätzlich den Durchmesser und den Halbkreisbogen von K1 berühren (siehe Abbildung). Zeigen Sie, dass K2 und K3 den gleichen Radius haben.

  • a) Konstruieren Sie ein gleichseitiges Dreiecke mit seinen sogenannten Ankreisen.
  • b) Begründen Sie, dass die Radien von Inkreis, Umkreis und Ankreis eines gleichseitigen Dreiecks das Längenverhältnis 1:2:3 haben.

Weitere Aufgaben:

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