Übungsblatt: Beweisen und Rechnen mit Kreisen (5)

Autor: Roland Schröder

4.17 Zwei Kreise

Zwei Kreise K1 und K2 mit unterschiedlichen Radien r1 bzw. r2 schneiden sich in P und C. Eine Gerade durch P schneidet außerdem den Kreis K1 in Ai und den Kreis K2 in Bi. Welche gemeinsame Eigenschaft haben alle Dreiecke AiBiC? Unterscheiden Sie zwei Fälle:

  • a) Bi liegt auf dem kürzeren der Bögen bzw. des Kreises K2.
  • b) Sowohl Bi als auch Ai liegen jeweils auf dem längeren Bogen ihres Kreises.

4.18 Drei Kreise im Dreieck

Das Längenverhältnis der Seiten eines Dreiecks ist 9:10:7. Konstruieren Sie drei Kreise mit gleichen Radien, die einen gemeinsamen Punkt haben und jeweils zwei Seiten des Dreiecks berühren.

4.19 Kreise im Quadrat

In je einem Quadrat mit der Seitenlänge 1 Längeneinheit werden n Kreise mit jeweils gleichem Radius so angeordnet, dass sie eine möglichst große Fläche des Einheitsquadrates bedecken (siehe Abbildung).

Abbildung: Kreise im Quadrat

Welcher prozentuale Anteil (auf 3 Stellen hinter dem Komma genau) der Quadratfläche wird jeweils für n = 1, 2, 3, 4, 5 von den Kreisflächen bedeckt?

Hinweis zu den 3 Kreisen: Zeichnen Sie ein gleichseitiges Dreieck mit den 3 Kreismittelpunkten als Eckpunkte. Welchen kleinsten Winkel bildet eine Dreiecksseite mit einer Quadratseite?

4.20 Kreis durch Seitenmitten

  • a) Zeigen Sie: Die Seitenmitten eines beliebigen Vierecks sind die Eckpunkte eines Parallelogramms.
  • b) Zeigen Sie: Die Seitenmitten eines Vierecks, dessen Diagonalen senkrecht zueinander sind, liegen auf einem Kreis.

Weitere Aufgaben:

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