CHECK: Grenzwerte (schwierig) I
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Bestimme den Grenzwert von: \( \lim \limits_{x\to\infty} (1+\frac{1}{x})^x \)
Der Term ist mehr oder weniger eine Formel. Im Studium lernt man dann auch eine Herleitung kennen:
\( \lim \limits_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^{x} \\ = \lim \limits_{x \to \infty} e^{ x·ln(1+1/x) } \\ = \lim\limits_{x \to \infty} e^{ ln(1+1/x)/(1/x)} \\ = l'H \\ = \lim e^{ (-1/(x^2 + x)) / (-1/x^2) } \\ = e^{1} = e \)
Bestimme den Grenzwert von: \( \lim \limits_{x\to\infty} \left( \frac{\cosh(x)}{e^x} \right) \)
Tipp: \( \cosh(x) = \frac{1}{2} · e^x + e^{-x} \)
cosh(x) = \( \frac{1}{2} \) · (ex + e-x)
Das eingesetzt und es ergibt sich:
limx→∞ 1/2 · (ex + e-x) / ex = lim 1/2·1 + 1/2·1/e^(2x) = 1/2
Der erste Summand kürzt sich zu 1. Der letzte Summand ist irrelevant für x → ∞.
Bestimme den Grenzwert von: \( \lim \limits_{x\to0} \left( \frac{\sin(x)}{x} \right) \)
lim sin(x)/x = l'H = lim cos(x)/1 = 1
Bestimme den Grenzwert von: \( \lim \limits_{x\to\infty} \left( \frac{e^x}{x} \right) \)
lim ex/x = l'H = lim ex/1 = ∞
Bestimme den Grenzwert: \( \lim \limits_{x\to0} x·\ln(x) \)
lim x·ln(x) = ln(x)/(1/x) = l'H = lim (1/x)/(-1/x^2) = lim -x = 0
Bestimme den Grenzwert: \( \lim \limits_{x \to a} \frac{x-a}{\sin(x-a)} \)
\( \lim \limits_{x \to a} \frac{x-a}{ \sin(x-a)} \)
\( = \lim \limits_{x \to a} \frac{ 1 }{ \cos(x-a)} \)
\( = \frac{ 1 }{ \cos(x) } = \frac{1}{1} = 1 \)
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