AB: Brüche vollständig kürzen

Beim vollständigen Kürzen von Brüchen kürzen wir den Bruch so, dass er nicht mehr kürzbar ist. Außerdem versuchen wir die Kürzzahl zu finden, mit der wir den Bruch sofort vollständig kürzen können, sodass wir uns Rechenschritte einsparen.

Beispiel „vollständiges Kürzen“: \( \frac{100}{30} = \frac{100 \color{#00F}{:10}}{30 \color{#00F}{:10}} = \frac{10}{3} \)

Beispiel „aufwändiges Kürzen“: \( \frac{100}{30} = \frac{100 \color{#00F}{:2}}{30 \color{#00F}{:2}} = \frac{50 \color{#00F}{:5}}{15 \color{#00F}{:5}} = \frac{10}{3} \)

1.

Ist der Bruch vollständig gekürzt?

a)

\( \frac{1}{717} \)

Ja, vollständig gekürzt. Das ist an der 1 im Zähler zu erkennen, kein weiteres Kürzen möglich.

b)

\( \frac{45}{49} \)

Ja, vollständig gekürzt. Gut an den Primfaktoren zu erkennen: \( \frac{45}{49} = \frac{3·3·5}{7·7} \), kein weiteres Kürzen möglich.

c)

\( \frac{102}{103} \)

Ja, vollständig gekürzt. Gut an den Primfaktoren zu erkennen: \( \frac{102}{103} = \frac{2·3·17}{103} \), kein weiteres Kürzen möglich.

d)

\( \frac{102}{105} \)

Nein, der Bruch lässt sich weiter kürzen: \( \frac{102 \color{#00F}{:3}}{105 \color{#00F}{:3}} = \frac{34}{35} \).

2.

Bestimme die Zahl, die zum vollständig gekürzten Bruch führt:

a)

\( \large { \frac{8}{40} ^ {\color{#00F}{:\,} \boxed{ \color{#FFF}{x} } } = \frac{\boxed{ \phantom{x} }}{5} } \) \( \frac{8}{40}^{ :8 } = \frac{ 8\color{blue}{:8} }{40\color{blue}{:8}} = \frac{1}{5} \)

b)

\( \large { \frac{15}{45} ^ {\color{#00F}{:\,} \boxed{ \color{#FFF}{x} } } = \frac{\boxed{ \phantom{x} }}{3} } \) \( \frac{15}{45}^{ :15 } = \frac{ 15\color{blue}{:15} }{45\color{blue}{:15}} = \frac{1}{3} \)

c)

\( \large { \frac{8}{16} ^ {\color{#00F}{:\,} \boxed{ \color{#FFF}{x} } } = \frac{\boxed{ \phantom{x} }}{2} } \) \( \frac{8}{16}^{ :8 } = \frac{ 8\color{blue}{:8} }{16\color{blue}{:8}} = \frac{1}{2} \)

d)

\( \large { \frac{16}{48} ^ {\color{#00F}{:\,} \boxed{ \color{#FFF}{x} } } = \frac{\boxed{ \phantom{x} }}{3} } \) \( \frac{16}{48}^{ :16 } = \frac{ 16\color{blue}{:16} }{48\color{blue}{:16}} = \frac{1}{3} \)

e)

\( \large { \frac{21}{84} ^ {\color{#00F}{:\,} \boxed{ \color{#FFF}{x} } } = \frac{1}{\boxed{ \phantom{x} }} } \) \( \frac{21}{84}^{ :21 } = \frac{ 21\color{blue}{:21} }{84\color{blue}{:21}} = \frac{1}{4} \)

f)

\( \large { \frac{75}{250} ^ {\color{#00F}{:\,} \boxed{ \color{#FFF}{x} } } = \frac{3}{\boxed{ \phantom{x} }} } \) \( \frac{75}{250}^{ :25 } = \frac{ 75\color{blue}{:25} }{250\color{blue}{:25}} = \frac{3}{10} \)

g)

\( \large { \frac{77}{154} ^ {\color{#00F}{:\,} \boxed{ \color{#FFF}{x} } } = \frac{1}{\boxed{ \phantom{x} }} } \) \( \frac{77}{154}^{ :77 } = \frac{ 77\color{blue}{:77} }{154\color{blue}{:77}} = \frac{1}{2} \)

h)

\( \large { \frac{144}{12} ^ {\color{#00F}{:\,} \boxed{ \color{#FFF}{x} } } = \frac{12}{\boxed{ \phantom{x} }} } \) \( \frac{144}{12}^{ :12 } = \frac{ 144\color{blue}{:12} }{12\color{blue}{:12}} = \frac{12}{1} = 12 \)

i)

\( \large { \frac{90}{81} ^ {\color{#00F}{:\,} \boxed{ \color{#FFF}{x} } } = \frac{\boxed{ \phantom{x} }}{9} } \) \( \frac{90}{81}^{ :9 } = \frac{ 90\color{blue}{:9} }{81\color{blue}{:9}} = \frac{10}{9} \)

j)

\( \large { \frac{40}{195} ^ {\color{#00F}{:\,} \boxed{ \color{#FFF}{x} } } = \frac{\boxed{ \phantom{x} }}{39} } \) \( \frac{40}{195}^{ :5 } = \frac{ 40\color{blue}{:5} }{195\color{blue}{:5}} = \frac{8}{39} \)

k)

\( \large { \frac{175}{210} ^ {\color{#00F}{:\,} \boxed{ \color{#FFF}{x} } } = \frac{\boxed{ \phantom{x} }}{6} } \) \( \frac{175}{210}^{ :35 } = \frac{ 175\color{blue}{:35} }{210\color{blue}{:35}} = \frac{5}{6} \)

l)

\( \large { \frac{210}{1008} ^ {\color{#00F}{:\,} \boxed{ \color{#FFF}{x} } } = \frac{\boxed{ \phantom{x} }}{24} } \) \( \frac{210}{1008}^{ :42 } = \frac{ 210\color{blue}{:42} }{1008\color{blue}{:42}} = \frac{5}{24} \)

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