AB: Lektion Bruchgleichungen (Teil 2)

Nachfolgend findest du Aufgaben zu den Bruchgleichungen, mit denen du dein Wissen testen kannst.

1.

Finde die Lösungen der Bruchgleichungen (leicht):

a)

\( \frac{1}{x}+2 = \frac{9}{x} \)

Bevor man die Lösung angeht, ist die Definitionsmenge zu bestimmen. Diese ist hier D = R\{0}. Der Hauptnenner ist sofort als x zu erkennen. Der zweite Summand wird damit erweitert und die komplette Gleichung dann mit diesem multipliziert.

\( \frac{1}{x} + \frac{2x}{x} = \frac{9}{x} \quad | ·x \\ 1 + 2x = 9 \quad | -1 \\ 2x = 8 \quad | :2 \\ x = 4 \)

Die Lösung dieser Bruchgleichung ist also mit L = {4} anzugeben.

b)

\( \frac{3}{a-2} = \frac{12}{a+7} \)

Die Definitionsmenge ist D = R\{-7;2}. Der Hauptnenner ist (a-2)·(a+7). Erweitert man damit und multipliziert man mit dem Hauptnenner ergibt sich:

\( \frac{3·(a+7)}{(a-2)·(a+7)} = \frac{12·(a-2)}{(a-2)·(a+7)} \quad | ·(a-2)·(a+7) \\ 3·(a+7) = 12·(a-2) \\ 3a + 21 = 12a - 24 \quad | -3a+24 \\ 9a = 45 \quad |:9 \\ a = 5 \)

Das liegt innerhalb der Definitionsmenge, weswegen die Lösung mit L = {5} angegeben werden darf.

c)

\( \frac{2c}{c+1} + \frac{3}{2c} = 2 - \frac{1}{c} \)

Die Definitionsmenge ist mit D = R\{-1;0} festgelegt. Der Hauptnenner ist zu bestimmen mit 2·c·(c+1). Man erweitere so, dass jeder Summand denselben Nenner besitzt und dann wird mit diesem multipliziert.

\( \frac{2c·2c}{2c·(c+1)} + \frac{3·(c+1)}{2c·(c+1)} = \frac{2·2c·(c+1)}{2c·(2c+1)} - \frac{2·(c+1)}{2c·(c+1)} \quad |·2c·(c+1) \\ 4c^2 + 3·(c+1) = 4c·(c+1) - 2·(c+1) \\ 4c^2 + 3c + 3 = 4c^2 + 4c - 2c + 2 \\ 4c^2 + 3c + 3 = 4c^2 + 2c + 2 \quad | -4c^2 -2c -3 \\ c = 2 - 3 \\ c = -1 \)

d)

\( 3 - \frac{x+2}{x-1} = \frac{x-4}{x-1} \)

Die Definitionsmenge ist D = R\{1}. Der Hauptnenner ist (x-1). Der erste Summand 3 muss erweitert werden, damit er ebenfalls den Hauptnenner trägt, dazu müssen wir ihn mit (x-1) erweitern:

\( \frac{3·(x-1)}{x-1} - \frac{x+2}{x-1} = \frac{x-4}{x-1} \quad |·(x-1) \)

Wichtig: Die Klammer beim 2. Bruch wegen des negativen Vorzeichens setzen.

\( 3·(x-1) - \color{blue}{(}x+2\color{blue}{)} = x-4 \\ 3x - 3 - x - 2 = x - 4 \\ 2x - 5 = x - 4 \quad | -x+5 \\ x = 1 \)

Vergleich mit der Definitionsmenge ergibt, dass x = 1 nicht als Lösung verwendet werden darf. Wir haben also keine Möglichkeit, eine Lösung für obige Gleichung zu finden. Die Lösungsmenge ist deshalb leer: L = { }

e)

\( \frac{5}{x+1} = \frac{8}{x} - \frac{3}{x-1} \)

Die Definitionsmenge ist D = R\{-1;0;1}. Der Hauptnenner ist x·(x+1)·(x-1). Es wird darauf erweitert und mit diesem multipliziert:

\( \frac{5·x·(x-1)}{x·(x+1)·(x-1)} = \frac{8·(x+1)·(x-1)}{x·(x+1)·(x-1)} - \frac{3x·(x+1)}{x·(x+1)·(x-1)} \quad |·x(x+1)·(x-1) \\ 5x·(x-1) = 8·(x+1)·(x-1) - 3x·(x+1) \\ 5x^2 - 5x = 8·(x^2-1) - 3x^2 - 3x \\ 5x^2 - 5x = 8x^2 - 8 - 3x^2 - 3x \quad |-5x^2 +5x +8 \\ 2x = 8 \quad |:2 \\ x = 4 \)

Da es keinen Konflikt mit der Definitionsmenge gibt, wird die Lösungsmenge zu L = {4} bestimmt.

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