AB: Lektion Bruchgleichungen (Teil 4)
Nachfolgend findest du Aufgaben zu den Bruchgleichungen, mit denen du dein Wissen testen kannst.
Löse die folgenden Textaufgaben:
Ein Bruch hat den Wert \( \frac{26}{9}\). Welche Zahl muss man vom Zähler subtrahieren und zum Nenner addieren, damit sein Wert \( \frac{1}{3}\) wird.
Man nehme sich eine Variable, diese sei x. Sie bezeichne die Zahl, die addiert bzw. subtrahiert werden soll. Es lässt sich direkt die Gleichung aufstellen:
$$ \frac{ 26-x }{ 9+x } = \frac{1}{3} $$
Nun den Hauptnenner bilden (3·(9+x)) und mit diesem multiplizieren:
$$ \frac{ 3·(26-x) }{ 3·(9+x) } = \frac{1·(9+x)}{3·(9+x)} \\ 3·(26-x) = 9+x \\ 78 - 3·x = 9+x \quad | +3·x - 9 \\ 4x = 69 \quad | :4 \\ x = \frac{69}{4} $$
Die gesuchte Zahlt lautet x = \( \frac{69}{4} \) . Es kann eine Probe durchgeführt werden, um das Ergebnis zu bestätigen.
Ein Schwimmbecken kann durch die Zuflussleitung in 15 Stunden gefüllt werden. Ist das Becken voll, so dauert es 20 Stunden, um das Wasser wieder ablaufen zu lassen. Das Becken ist leer. Die Besitzerin will es füllen, vergisst jedoch, den Ablauf zu schließen. Wie lange dauert es, bis das Schwimmbecken trotzdem voll ist?
Man nehme sich eine Variable, diese sei x. Sie bezeichne die resultierende Füllung (also die Differenz aus Zu- und Abfluss). Nun die Gleichung aufstellen. Vorarbeit: Pro Stunde werden \( \frac{1}{15} \) des Gesamtvolumens hinzugelassen. Pro Stunde werden \( - \frac{1}{20} \) des Gesamtvolumens abgelassen. Der Ablass wird durch das negative Vorzeichen verdeutlicht. Zusammen haben wir eine Zunahme des Wassers im Becken von \( \frac{1}{x} \) (je Stunde). Es ergibt sich also folgende Gleichung:
\( \frac{1}{x} = \frac{1}{15} - \frac{1}{20} \)
Verrechnen wir die rechte Seite und bilden den Kehrwert.
$$ \frac{1}{x} = \frac{4}{60} - \frac{3}{60} \\ \frac{1}{x} = \frac{1}{60} \quad | Kehrwert \\ x = 60 $$
Das Becken hat unter den gegebenen Bedingungen also eine Fülldauer von 60 Stunden.
Ein kleiner Lastwagen benötigt 9 Fahrten mehr als ein großer, um allein Schutt wegzuführen. Beide gemeinsam könnten den Schutt in je 20 Fahrten wegführen. Wie viele Fahrten benötigt jeder allein?
Man nehme sich eine Variable, diese sei x. Sie bezeichne die Anzahl der Fahrten des großen LKWs. Nun die Gleichung aufstellen. Vorarbeit: Pro Fahrt erledigt der große LKW 1/x der Arbeit. Pro Fahrt erledigt der kleine LKW 1/(x+9) der Arbeit. Hinweis: Je größer der Nenner, desto kleiner die Arbeit.
Nun weiß man, dass sie zusammen 120 der Arbeit pro Fahrt erledigen. Das ergibt also:
$$ \frac{1}{20} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+9} $$
Diese Gleichung gilt es nun zu lösen. Der Hauptnenner dazu ist 20·x·(x+9).
$$ \frac{x·(x+9)}{20·x·(x+9)} = \frac{20·(x+9)}{20·x·(x+9)} + \frac{20·x}{20·x·(x+9)} $$
Direkt mit dem Hauptnenner multipliziert und wir erhalten:
$$ x·(x+9) = 20·(x+9) + 20·x \\ x^2 + 9·x = 20·x + 180 + 20·x \quad | -40·x - 180 \\ x^2 - 31·x - 180 = 0 \quad | p-q-Formel \\ x_1 = -5 \text{ und } x_2 = 36 $$
Die erste Lösung entfällt offensichtlich, da sie negativ ist. Es verbleibt also die zweite Lösung. Diese besagt, dass der große LKW 36 Fahrten zu tätigen hat und daraus folgt, dass der kleine LKW bei alleinigem Einsatz 36 + 9 = 45 Fahrten benötigt.
In einer kleinen Firma arbeiten Fred und George. Um einen Auftrag zu erledigen, benötigt Fred drei Stunden. George hingegen nur zwei Stunden. Da der Auftrag möglichst schnell erledigt werden soll, arbeiten beide zusammen. Wie lang brauchen sie?
Man nehme sich eine Variable, diese sei x. Sie bezeichne die gemeinsam aufgewändete Zeit zur Lösung des Auftrags. Nun die Gleichung aufstellen. Vorarbeit: Fred erledigt in einer Stunde \( \frac{1}{3} \) des gesamten Auftrags. George erledigt in einer Stunde \( \frac{1}{2} \) des gesamten Auftrags. Gemeinsam erledigen sie in einer Stunde \( \frac{1}{x} \) des gesamten Auftrags. Somit haben wir:
$$ \frac{1}{x} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} $$
Das gilt es nun zu lösen. Dafür ist es hier wohl am Einfachsten, die beiden rechten Summanden zu addieren und den Kehrwert zu bilden.
$$ \frac{1}{x} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \\ \frac{1}{x} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} \\ \frac{1}{x} = \frac{5}{6} \quad | Kehrwert \\ x = \frac{6}{5} $$
Zusammen brauchen sie also \( \frac{6}{5} \) Stunden, was \( 1 \) Stunde + \( \frac{1}{5} \) Stunde entsprechen, wobei \( \frac{1}{5} \) Stunde = \( \frac{60}{5} \) Minuten = 12 Minuten sind. Nach 1 Stunde und 12 Minuten ist der Auftrag erledigt.