AB: Extremwertaufgaben (Teil 3)

Nachfolgend findet ihr Aufgaben zu Extremwertaufgaben, mit denen ihr euer Wissen testen könnt.

1.

Dem Graphen der Funktion f mit \( f(x) = -x^2 + 2x + 3 \) soll im I. Quadranten ein Dreieck ABC einbeschrieben werden. Die Ecke A bewegt sich dabei auf der x-Achse, B liegt in der Nullstelle von f und C liegt senkrecht über A auf dem Graphen.

a)

Untersuche, ob es unter allen möglichen Dreiecken ein größtes gibt.

Grundseite \( G = (3 - \frac{1}{3}) \) LE

Höhe \( h = \frac{32}{9} \) LE

Fläche \( A = \frac{1}{2} · 2 \frac{2}{3} · \frac{32}{9} \) = 4,74 FE

2.

Aus einer Pappe mit den Abmessungen 30 cm × 24 cm soll ein geschlossener Karton gefaltet werden.
Abbildung Pappe

a)

Bestimme die Rauminhaltsfunktion V des Quaders in Abhängigkeit von seiner Höhe x (also V(x) mit einem geeigneten Intervall für D).

Das Volumen ist V = l·b·x und es gilt 2·l + 2·b = 30 bzw. l + b = 15 und x + 2·b = 24

b = 12 - 0,5x

Und aus l + b = 15 ergibt sich dann:
l = 15 - b = 15-(12 - 0,5x) = 3 + 0,5x

V(x) = (3 + 0,5x)·( 12 - 0,5x)·x

V'(x) = -3x²/4 + 9x + 36

V'(x) = 0 im Definitionsbereich nur für x = 6 + 2·√21 ≈ 15,2

b)

Für welche Abmessungen wird der Rauminhalt des quaderförmigen Kartons maximal? Berechne den maximalen Rauminhalt.

Höhe x = 15,17 cm
Breite b = 4,42 cm
Länge l = 10,59 cm

Volumen V = 708 cm³

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