AB: Lektion Differentialrechnung (Teil 8)

Nachfolgend findet ihr Aufgaben zur Differentialrechnung, mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.

1.

Berechne die Ableitungen folgender Gleichungen (gemischt):

a)

\( f(x) = e^x · \sin(3x) \)

Produktregel und Kettenregel müssen angewandt werden:

f’(x) = ex · sin(3x) + ex · 3·cos(3x) = ex · (sin(3x) + 3cos(3x))

Hinweis: In rot wurde der Faktor markiert, der im jeweiligen Summanden abgeleitet wurde (siehe Produktregel). Den Faktor 3 erhalten wir aus der Kettenregel.

Anmerkung: Das Argument des Sinus bleibt stets gleich. Die 3 verschwindet also niemals.

b)

\( f(x) = 3x^2·(x^4 - 3 x^3) \)

Wir haben die Produkt- und Summenregel zu beachten.

f’(x) = 6x · (x4 - 3x³) + 3x² · (4x³ - 9x²)

Hinweis: In rot wurde der Faktor markiert, der im jeweiligen Summanden abgeleitet wurde (siehe Produktregel). In der Klammer des rechten Summanden wurde die Summenregel verwendet.

Anmerkung: Es kann hier weiter vereinfacht werden. Je nach Wunsch über Ausklammern oder Ausmultiplizieren, je nachdem wie der Bedarf besteht. Das wurde hier Unterlassen um die Regeln zu unterstreichen, die verwendet wurden.

c)

\( f(x) = 12·\ln(x-7x^2)·sin(x) \)

Wir haben die Produkt- und Kettenregel zu beachten.

f’(x) = 12 · \( \color{red}{\frac{1}{x-7x²} ·(1-14x)} \) · sin(x) + 12·ln(x-7x²) · cos(x)

Hinweis: In rot wurde der Faktor markiert, der im jeweiligen Summanden abgeleitet wurde (siehe Produktregel). Der zweite rote Faktor der linken Seite resultiert aus der Kettenregel.

d)

\( f(x) = \sin(4x)·\cos(3x)·\sin(2x) \)

Wir haben die Produktregel (aus drei Faktoren bestehend) und die Kettenregel zu beachten.

Hinweis zur Produktregel mit drei Faktoren:

f(x) = g(x)·h(x)·k(x) → f’(x) = g’(x)·h(x)·k(x) + g(x)·h’(x)·k(x) + g(x)·h(x)·k’(x)

f’(x) = 4·cos(4x) · cos(3x)·sin(2x) - sin(4x) · 3·sin(3x) · sin(2x) + sin(4x)·cos(3x) · 2·cos(2x)

Hinweis: In rot wurde der Faktor markiert, der im jeweiligen Summanden abgeleitet wurde (siehe Produktregel). Die Vorfaktor ergeben sich aus der Kettenregel.

e)

\( f(x) = e^{2·x+1}·\ln(2·x+1) \)

Wir haben die Produktregel und die Kettenregel zu beachten.

\( f'(x) = \color{#00F}{2}·e^{2x+1} · \ln(2x+1) + e^{2x+1} · \color{#00F}{ \frac{2}{2x+1}} = e^{2x+1} (2 · \ln(2x+1) + \frac{2}{2x+1} ) \)

Hinweis: In rot wurde der Faktor markiert, der im jeweiligen Summanden abgeleitet wurde (siehe Produktregel). Die Vorfaktoren ergeben sich aus der Kettenregel.

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