AB: Kurvendiskussion komplex (Erweitert)

Nachfolgend findet ihr eine komplexe Aufgabe zur Kurvendiskussion, mit denen ihr euch testen könnt.

1.

Gegeben sind die reellen Funktionen \( f_k \) durch \( f_k(x) = \frac{1}{9}·(x^4 - kx^2 - 9x^2 + 9k) \) mit \( k ≥ 0 ∧ k > 2 ∈ \mathbb{R} \)

Der Graph einer solchen Funktion \( f_k \) in einem Koordinatensystem heißt \( G_{f_k} \).

a)

Untersuche den Graphen \( G_{f_k} \) in Bezug auf Symmetrie.

Achsensymmetrie

b)

Zeige, dass sich der Funkt1onsterm \( f_k(x) \) auch in der Form \( f_k(x) = \frac{1}{9}· \left( x^2-k \right) \left( x^2-9 \right) \) schreiben lässt und ermittle Anzahl, Lage und Vielfachheit aller Nullstellen der Funktion \( f_k \) in Abhängigkeit von k.

Nullstellen: \( x_{1,2} ±\sqrt{k} \) und \( x_{3,4} = ±3 \)

Fallunterscheidung:

k = 9 → zwei doppelte Nullstellen \( x_{1,2} = 3 \) und \( x_{3,4} = -3 \)

k = 0 → drei Nullstellen \( x_{1,2} = 0 \), \( x_3 = 3 \), \( x_4 = -3 \)

k > 0 ∧ k ≠ 9 → vier Nullstellen \( x_{1,2} = ±\sqrt{k} \), \( x_{3,4} = ±3 \)

c)

Berechne k so, dass die Tangente an den Graphen \( G_{f_k} \) an der Stelle \( x_0 = 1,5 \) parallel zur Geraden mit der Gleichung \( y = -\frac{9}{2}x \) verläuft.

k = 9

2.

Setze für die folgenden Teilaufgaben k = 9.

a)

Begründe, dass für alle x ∈ ℝ gilt: \( f_9(x) ≥ 0 \). Was kann daraus über die Lage des Graphen \( G_{f_9} \) im Koordinatensystem gefolgert werden?

Aus 1 b) erkennen wir: \( f_9(x) = \frac{1}{9}·\left(x^2 - 9\right)^2 ≥ 0 \) für alle x ∈ ℝ

Verwende für beide folgenden Aufgaben: \( f_9(x) = \frac{1}{9}x^4 - 2x^2 + 9 \)

b)

Ermittle für den Graphen \( G_{f_9} \) Art und Koordinaten aller relativen Extrempunkte sowie die Koordinaten der Wendepunkte.

\( H(0|9), \; T_1(3|0), \; T_2(-3|0), \; W_1(\sqrt{3}|4), \; W_2(-\sqrt{3}|4) \)

c)

Zeichne den Graphen \( G_{f_9} \) mit Hilfe bisheriger Ergebnisse und einer geeigneten Wertetabelle für |x| ≤ 4. Verwende ein gesondertes DIN-A4-Blatt in Hochformat mit dem Koordinatenursprung in der Bildmitte. (Maßstab auf beiden Achsen : 1 LE = 1 cm)

Siehe Graph: Graph G_f9

3.

Die Parabel \( G_p \) ist der Graph der quadratischen Funktion p. Diese Parabel verläuft symmetrisch zur y-Achse, schneidet die x-Achse im Punkt N(3|0) und die Ordinate ihres Scheitelpunktes hat den Wert -3.

a)

Bestimme den Funktionsterm p(x) und zeichne die Parabel \( G_p \) im Bereich |x| ≤ 4 in das unter Teilaufgabe 2 c) beschriebene Koordinatensystem ein. (Teilergebnis ist: \( p(x) = \frac{1}{3}x^2 - 3 \))

Graph G_f9

b)

Die Graphen \( G_{f_9} \) und \( G_p \) schließen drei endliche Flächenstücke ein. Berechne für das Flächenstück, das den Koordinatenursprung enthält, die Maßzahl seines Flächeninhaltes.

A = 40,8 FE

4.

Die Funktion F ist diejenige Stammfunktion der Funktion \( f_9 \), deren Graph den Punkt A(-3|0) enthält.

a)

Bestimme den Funktionsterm F(x).

\( F(x) = \frac{1}{45} x^5 - \frac{2}{3}x^3 + 9x + 14,4 \)

b)

Zeige unter Verwendung bereits vorhandener Ergebnisse ohne weitere Rechnung, dass der Graph \( G_F \) für alle x ∈ ℝ monoton steigt. Begründe auch, dass dieser Graph genau zwei Terrassenpunkte enthält.

\( F`(x) = f_9(x) \)

\( f_9(x) ≥ 0 \) (siehe 2.1)

Es gilt:
\( (1) F`(3) = f_9(3) = 0 \\ (2) F``(3) = f_9`(3) = 0 \qquad x_1 = 3 \text{ Stelle für Sattelpunkt} \\ (3) F```(3) = f_9``(3) = 8 ≠ 0 \)

Es gilt:
\( (1) F`(-3) = f_9(-3) = 0 \\ (2) F``(-3) = f_9`(-3) = 0 \qquad x_2 = -3 \text{ Stelle für Sattelpunkt} \\ (3) F```(-3) = f_9``(-3) = 8 ≠ 0 \)

Weil \( f_9`(x) \) nur zwei Nullstellen beetzt, hat der Graph von F genau zwei Sattelpunkte.

5.

Die Geraden mit den Gleichungen x = u und x = -u, 0 < u < 3 und u ∈ ℝ schneiden den Graphen \( G_{f_9} \) in den Punkten P und Q. Zusammen mit dem Koordinatenursprung O bilden die Punkte P und Q das Dreieck OPQ.

a)

Zeichne für den Sonderfall u = 1,5 das Dreieck OPQ in das vorhandene Koordinatensystem ein und zeige, dass für die von u abhängige Flächenmaßzahl A(u) des Dreiecks OPQ gilt: \( A(u) = \frac{1}{9}·\left( u^5 - 18u^3 + 81u \right) \)

Dreiecksformel belegen.

b)

Bestimme u ∈ (0; 3) so, dass der Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks OPQ den absolut größten Wert besitzt. Runde dabei auf zwei Stellen nach dem Komma.

\( u = \frac{3}{5} \sqrt{5} \)

Name:  
Datum: