AB: Satz des Pythagoras und verwandte Sätze (1)

Satz des Pythagoras:
Sind a und b die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks mit der Hypotenuse c, dann gilt a² + b² = c².

Höhensatz des Euklid:
Der Fußpunkt H der Höhe h auf der Hypotenuse c teilt c in zwei Hypotenusenabschnitte p und q und es gilt: h²=p·q.

Kathetensatz des Euklid:
Sei a eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks mit der Hypotenuse c und p derjenige Hypotenusenabschnitt, der eine gemeinsamen Punkt mit a hat, dann gilt a² = p·c.

1.

Rechtwinklige Dreiecke im Quadrat: Gegeben ist ein Dreieck ABC mit den Seitenlängen a = √13 cm, b = √17 cm und c = √20 cm.

a)

Zeigen Sie, dass sich die Punkte A, B und C auf den Seiten eines Quadrates mit der Seitenlänge 4 cm anordnen lassen.

b)

Berechnen Sie auf der Basis bisheriger Ergebnisse den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.

2.

Fast Pythagoras: Das Dreieck ABC ist nicht rechtwinklig. Das Lot von C auf AB teilt AB in die Abschnitte p und q. ADEB ist ein Quadrat.

Abbildung: Fast Pythagoras

a)

Zeigen Sie: Die hellgrau unterlegten Quadrate haben zusammen den gleichen Flächeninhalt wie die dunkelgrau unterlegten Quadrate zusammen.

3.

Inkreismittelpunkt

Abbildung: Inkreismittelpunkt

a)

Zeigen Sie: Für den Inkreisradius r im rechtwinkligen Dreieck gilt \( r = \frac{1}{2} (a+b-c) \). Verwenden Sie Skizze.

b)

Zeigen Sie: Für den Inkreisradius r im rechtwinkligen Dreieck gilt \( r = \frac{ {ab} }{ {a + b + c} } \).

c)

Beweisen Sie mit Hilfe der Gleichungen aus a) und b) den Satz des Pythagoras.

4.

Zwei Kreise: Die Mittelpunkte zweier Kreise und ihr Berührpunkt B liegen auf einer Geraden g. M sei der Mittelpunkt des größeren Kreises. Die Senkrechte auf g in M sei h. Der Abstand zwischen den Kreisen auf g ist 9 cm, der Abstand zwischen den Kreisen auf h ist in beiden Fällen 5 cm (siehe Abbildung).

Abbildung: Zwei Kreise

a)

Wie groß sind die Radien der Kreise?

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