AB: Satz des Pythagoras und verwandte Sätze (2)

1.

Schustermesser: Die linke graue Fläche hat die Form der Klinge eines Schustermessers. Zeigen Sie, sie ist ebenso groß wie die rechte Kreisfläche.

Abbildung: Schustermesser

2.

Satz von Tabit:

In einem stumpfwinkligem Dreieck ABC liege D auf \( \overline {AB} \), sodass die Dreiecke ABC und ADC ähnlich sind. Dann ist das Quadrat mit der Seite \( \left| {\overline {AC} } \right| \) flächengleich zum Rechteck aus \( \left| {\overline {AD} } \right| \) und \( \left| {\overline {AB} } \right| \).

Abbildung: Satz von Tabit

a)

Beweisen Sie diesen Satz.

b)

Wie erhält man daraus den Kathetensatz von Euklid?

3.

Wie kann die diese Skizze zum Beweis des Satzes des Pythagoras verwendet werden?

Abbildung: Pythagoras-Beweis

4.

Kathetenwegsatz: Es sei ABC ein rechtwinkliges Dreieck und \( \overline {DE} \) ein beliebiger Abschnitt auf einer Kathete. F und G seien die Fußpunkte der Lote von D bzw. E auf AB. Über \( \overline {DE} \) hat das Rechteck DEHJ die Länge \( \left| {\overline {EH} } \right| = \left| {\overline {BC} } \right| \). Über \( \overline {FG} \) hat das Rechteck GFKL die Länge \( \left| {\overline {GL} } \right| = \left| {\overline {AB} } \right|. \)

Abbildung: Kathetenwegsatz

a)

Zeigen Sie, dass die Rechtecke DEHJ und GFKL flächengleich sind.

b)

Mit diesen Erkenntnissen lässt sich auch der Satz des Pythagoras beweisen. Führen Sie den Beweis.

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