Übungsblatt: Satz des Pythagoras und verwandte Sätze (7)

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Autor: Roland Schröder

6.1 Geometrisches Mittel zweier Durchmesser

Gegeben sind zwei sich in C berührende Kreise. A und B seien die Berührpunkte mit einer nicht durch C gehenden gemeinsamen Tangente.

Abbildung: Geometrisches Mittel zweier Durchmesser

  • a) Zeigen Sie: \( | \overline { A B } | ^ { 2 } \) ist das Produkt der beiden Durchmesser.
  • b) 2. Die gemeinsame Tangente im Berührpunkt C der beiden Kreise schneidet AB in D. Die Mittelpunkte der Kreise seinen M1 und M2. Zeigen Sie: M1M2D ist ein rechtwinkliges Dreieck.

6.2 Leonardo da Vinci

Ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit den Kathetenquadraten BDEC bzw. ACFG und dem Hypotenusenquadrat HKBA wird um zwei rechtwinklige Dreiecke CEF bzw. HJK ergänzt (siehe Abbildung).

Abbildung: Dreieck Leonardo da Vinci

  • a) Beweisen Sie den Hilfssatz: „Im rechtwinkligen Dreieck HJK sei J der Scheitelpunkt des rechten Winkels und M der Mittelpunkt des Hypotenusenquadrates. Dann halbiert JM den rechten Winkel.
  • b) Zeigen Sie die Kongruenz der Vierecke JKBC und DEFG.
  • c) Leonardo da Vinci hat mit dieser Figur den Satz von Pythagoras bewiesen. Führen Sie den Beweis durch.

6.3 Quadrate an den Seiten eines Dreiecks

Gegeben ist ein beliebiges Dreieck mit je einem Quadrat an jeder Seite. Die Höhen des Dreiecks werden so weit durchgezogen, dass jede von ihnen ein Quadrat in je zwei Rechtecke zerlegt.

  • a) Zeigen Sie, dass aneinander stoßende Rechtecke (gleicher Farbe) flächengleich sind.
  • b) Beweisen Sie auf der Grundlage von a) den Satz des Pythagoras.

6.4 Satz von Raffael

Die gestrichelte Linie ist die Symmetrieachse eines David-sterns. Ein zur Symmetrieachse symmetrisches Rechteck liegt – wie dargestellt – ganz im Inneren des Davidsterns. Eine Seite des Rechtecks oder ihre Verlängerung schneidet eine Seite eines der beiden Dreiecke, aus denen der Sterns besteht in A. Zeigen Sie: Unabhängig von der Breite des Rechtecks sind die beiden fetten Strecken \( \overline { A B } \) und \( \overline { C D } \) gleichlang.

6.5 Konstruktion von Pappos

  • a) Gegeben sind ein Parallelogramm ABCD und eine Strecke AE wie in der Abbildung. Konstruieren Sie ein Parallelogramm mit der Seite AE flächengleich zu ABCD.

  • b) Gegeben ist ein Dreieck AFB, wobei an AB das Parallelogramm ABCD liegt und an FB das Parallelogramm BFGH. Konstruieren Sie ein Parallelogramm mit der Seite AF und einem Flächeninhalt, der so groß ist, wie ABCD und BFGH zusammen.

  • c) Begründen Sie, warum unter b. eine starke Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras bewiesen wurde.

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