AB: Lektion Grenzwerte (Teil 3)

Nachfolgend findet ihr Aufgaben zu Grenzwerten, mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.

1.

Bestimme die Grenzwerte (schwer).

a)

\( \lim\limits_{x\to\infty} \frac{7(x^2-2)^2}{x^4-2x} = \) \( \bbox[#e1ffc1,5px]{ 7 } \)

Wenn man die binomische Formel erkennt, so erhält man im Zähler die höchste Potenz mit x4. Damit ist Zählergrad = Nennergrad und der Grenzwert 7.

b)

\( \lim\limits_{x\to 12} \frac{12(x^2-144)}{x-12} = \) \( \bbox[#e1ffc1,5px]{ 288 } \)

Hier haben wir die dritte binomische Formel vorliegen (im Zähler) und können schreiben x² - 144 = (x + 12)·(x-12). Damit kürzt sich der letzte Faktor mit dem Nenner und wir haben übrig:

\( \lim\limits_{x \to 12} 12·(x+12) \)

Nun liegt für x = 12 keine Problemstelle mehr vor und man kann einsetzen.

c)

\( \lim\limits_{x\to0} \frac{7x(x^2-2)^2}{x^4-2x} = \) \( \bbox[#e1ffc1,5px]{ -14 } \)

Hier wurde erst mit x gekürzt und dann x = 0 eingesetzt, da x = 0 keine Problemstelle mehr ist.

d)

Existiert ein beidseitiger Grenzwert (graphische Argumentation)? $$ \lim\limits_{x\to7^{+}} \frac{3x^3-2x+4x^5}{x^2-14x+49} = \lim\limits_{x\to7^{-}} \frac{3x^3-2x+4x^5}{x^2-14x+49} $$

Lösung Bild C4

Da der Grenzwert auf beiden Seiten gegen +∞ geht, kann der Grenzwert angegeben werden als:

\( \lim\limits_{x\to7^{+}} \frac{3x^3-2x+4x^5}{x^2-14x+49} = \lim\limits_{x\to7^{-}} \frac{3x^3-2x+4x^5}{x^2-14x+49} = \lim\limits_{\color{blue}{x \to 7}} \frac{3x^3-2x+4x^5}{x^2-14x+49} = ∞ \)

e)

Existiert ein beidseitiger Grenzwert (graphische Argumentation)? $$ \lim\limits_{x\to4^{+}} \frac{1}{x-4} = \lim\limits_{x\to4^{-}} \frac{1}{x-4} $$

Lösung Bild C5

Es liegt kein beidseitiger Grenzwert vor.

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