AB: Dreiecksseiten mit Pythagoras berechnen (Basis)

Mit dem Satz des Pythagoras lassen sich alle Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks bestimmen, sofern zwei Seiten gegeben sind und wir wissen, welche die längste Seite (die Hypotenuse) ist. Im Folgenden ein paar Rechenaufgaben, mit denen ihr euer Wissen testen könnt. Bitte schreibt euren kompletten Lösungsweg auf, um eventuelle Fehler nachvollziehen zu können.

1.

Benutze den Satz des Pythagoras, um die jeweils fehlende Seite des rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen.

a)
Dreieck mit a = 3 cm, b = 4 cm, γ = 90°
Seite c =   cm

Seite c = 5 cm

Der rechte Winkel ist γ, damit ist die längste Seite die ihm gegenüberliegende Seite c.

\( a^2 + b^2 = c^2 \\ c = \sqrt{a^2 + b^2} \\ c = \sqrt{(3\;cm)^2 + (4\;cm)^2} \\ c = \sqrt{25\;cm^2} \\ c = 5\;cm \)

Dreiecksrechner zur Kontrolle

b)
Dreieck mit a = 3 cm, b = 4 cm, β = 90°
Seite c =   cm

Seite c ≈ 2,646 cm

Der rechte Winkel ist β, damit ist die längste Seite die ihm gegenüberliegende Seite b.

\( a^2 + c^2 = b^2 \\ c^2 = b^2 - a^2 \\ c = \sqrt{b^2 - a^2} \\ c = \sqrt{(4\;cm)^2 - (3\;cm)^2} \\ c = \sqrt{7\;cm^2} \\ c ≈ 2,646\;cm \)

Dreiecksrechner zur Kontrolle

c)
Dreieck mit b = 9 cm, c = 7 cm, α = 90°
Seite a =   cm

Seite a ≈ 11,402 cm

Der rechte Winkel ist α, damit ist die längste Seite die ihm gegenüberliegende Seite a.

\( b^2 + c^2 = a^2 \\ a = \sqrt{b^2 + c^2} \\ a = \sqrt{(9\;cm)^2 + (7\;cm)^2} \\ a = \sqrt{7\;cm^2} \\ a ≈ 11,402\;cm \)

Dreiecksrechner zur Kontrolle

d)
Dreieck mit a = 12 cm, c = 4 cm, α = 90°
Seite b =   cm

Seite b ≈ 11,314 cm

Der rechte Winkel ist α, damit ist die längste Seite die ihm gegenüberliegende Seite a.

\( b^2 + c^2 = a^2 \\ b = \sqrt{a^2 - c^2} \\ b = \sqrt{(12\;cm)^2 - (4\;cm)^2} \\ b = \sqrt{128\;cm^2} \\ b ≈ 11,314\;cm \)

Dreiecksrechner zur Kontrolle

e)
Dreieck mit a = 2,5 m, b = 12 m, β = 90°
Seite c =   m

Seite c ≈ 11,737 m

Der rechte Winkel ist β, damit ist die längste Seite die ihm gegenüberliegende Seite b.

\( a^2 + c^2 = b^2 \\ c = \sqrt{b^2 - a^2} \\ c = \sqrt{(12\;m)^2 - (2,5\;m)^2} \\ c = \sqrt{137,75\;m^2} \\ c ≈ 11,737\;m \)

Dreiecksrechner zur Kontrolle

f)
Dreieck mit a = 2,5 km, c = 4250 m, γ = 90°
Seite b =   km

Seite b ≈ 3,437 km

Der rechte Winkel ist γ, damit ist die längste Seite die ihm gegenüberliegende Seite c.

\( a^2 + b^2 = c^2 \\ b = \sqrt{c^2 - a^2} \\ b = \sqrt{(4250\;m)^2 - (2500\;m)^2} \\ b = \sqrt{11812500\;m^2} \\ b ≈ 3436,932\;m ≈ 3,437\;km \)

Dreiecksrechner zur Kontrolle

2.

Benutze den Winkelsummensatz für Dreiecke sowie den Satz des Pythagoras, um die fehlenden Seiten und Winkel der rechtwinkligen Dreiecke zu berechnen.

a)
Dreieck mit a = 5,2915 cm, b = 6 cm, α = 41,41°, γ = 90°
Seite c =  
Winkel β =  

Seite c = 8 cm

Winkel β = 48,59°

Bestimmen wir den fehlenden Winkel:

β = 180° - α - γ = 180° - 41,41° - 90° = 48,59°
β = 48,59°

Bestimmen wir die fehlende Seite (γ ist rechter Winkel, also ist Seite c die Hypotenuse):

\( a^2 + b^2 = c^2 \\ c = \sqrt{a^2 + b^2} \\ c = \sqrt{(5,2915\;cm)^2 + (6\;cm)^2} \\ c = \sqrt{64\;cm^2} \\ c = 8\;cm \)

Dreiecksrechner zur Kontrolle

b)
Dreieck mit BC = 4 cm, AC = 4 cm, ∠BCA = 90°
Seite AB =  
Winkel ∠ABC =  
Winkel ∠CAB =  

Skizze:

Dreieck Skizze

Seite AB = 5,657 cm
Winkel ∠ABC = 45°
Winkel ∠CAB = 45°

Bestimmen wir die beiden fehlenden Winkel:

Wir erkennen, dass Seiten BC und AC gleich lang sind, damit sind die beiden anliegenden Winkel ∠ABC und ∠CAB gleich groß.

∠ABC + ∠BCA + ∠CAB = 180°
∠ABC + ∠CAB = 180° - ∠BCA   | ∠BCA = 90°
2·x = 180° - 90°
x = 45°
∠ABC = ∠CAB = 45°

Bestimmen wir die fehlende Seite (∠BCA ist rechter Winkel, also ist Seite ∠AB die Hypotenuse):

\( \overline{BC}^2 + \overline{AC}^2 = \overline{AB}^2 \\ \overline{AB} = \sqrt{\overline{BC}^2 + \overline{AC}^2} \\ \overline{AB} = \sqrt{(4\;cm)^2 + (4\;cm)^2} \\ \overline{AB} = \sqrt{32\;cm^2} \\ \overline{AB} ≈ 5,657\;cm \)

Dreiecksrechner zur Kontrolle

c)
Dreieck mit b = 8 cm, c = 5 cm, α = 51,318°, β = 90°
Seite a =  
Winkel γ =  

Seite a ≈ 6,245 cm

Winkel γ = 38,682°

Bestimmen wir den fehlenden Winkel:

γ = 180° - α - β = 180° - 51,318° - 90° = 38,682°
γ = 38,682°

Bestimmen wir die fehlende Seite (β ist rechter Winkel, also ist Seite b die Hypotenuse):

\( a^2 + c^2 = b^2 \\ a = \sqrt{b^2 - c^2} \\ a = \sqrt{(8\;cm)^2 - (5\;cm)^2} \\ a = \sqrt{39\;cm^2} \\ a ≈ 6,245\;cm \)

Dreiecksrechner zur Kontrolle

d)
Dreieck mit a = 12 cm, c = 8 cm, α = 90°, γ = 41,81°
Seite b =  
Winkel β =  

Seite b ≈ 8,944 cm

Winkel β = 48,19°

Bestimmen wir den fehlenden Winkel:

β = 180° - α - γ = 180° - 90° - 41,81° = 48,19°
β = 48,19°

Bestimmen wir die fehlende Seite (α ist rechter Winkel, also ist Seite a die Hypotenuse):

\( b^2 + c^2 = a^2 \\ b = \sqrt{a^2 - c^2} \\ b = \sqrt{(12\;cm)^2 - (8\;cm)^2} \\ b = \sqrt{80\;cm^2} \\ b ≈ 8,944\;cm \)

Dreiecksrechner zur Kontrolle

e)
Dreieck mit a = 50 cm, b = 7 dm, α = 35,538°, γ = 90°
Seite c =  
Winkel β =  

Seite c ≈ 86,023 cm

Winkel β = 54,462°

Bestimmen wir den fehlenden Winkel:

β = 180° - α - γ = 180° - 90° - 35,538° = 54,462°
β = 54,462°

Bestimmen wir die fehlende Seite (γ ist rechter Winkel, also ist Seite c die Hypotenuse):

\( a^2 + b^2 = c^2 \\ c = \sqrt{a^2 + b^2} \\ c = \sqrt{(50\;cm)^2 + (70\;cm)^2} \\ c = \sqrt{7400\;cm^2} \\ c ≈ 86,023\;cm \)

Dreiecksrechner zur Kontrolle

f)
Dreieck mit a = 15 m, c = 100 cm, β = 90°, γ = 3,814°
Seite b =  
Winkel α =  

Seite b = 1503,33 cm

Winkel α = 86,186°

Bestimmen wir den fehlenden Winkel:

α = 180° - β - γ = 180° - 90° - 3,814° = 86,186°
α = 86,186°

Bestimmen wir die fehlende Seite (β ist rechter Winkel, also ist Seite b die Hypotenuse):

\( a^2 + c^2 = b^2 \\ b = \sqrt{a^2 + c^2} \\ b = \sqrt{(1500\;cm)^2 + (100\;cm)^2} \\ b = \sqrt{2260000\;cm^2} \\ b ≈ 1503,33\;cm \)

Dreiecksrechner zur Kontrolle

Name:  
Datum: