AB: Pythagoras in Körpern (Basis)

Mit dem Satz des Pythagoras lassen sich diagonale Strecken auf Seitenflächen von geometrischen Körpern berechnen. Die folgenden Aufgaben überprüfen, ob du diese berechnen kannst.

1.

Benutze den Satz des Pythagoras, um die fehlenden Diagonalen zu berechnen.

a)

Berechne die Flächendiagonale d beim Würfel mit Seite a = 5 cm

Abbildung Würfel Flächendiagonale
 
 
 
 

\( a^2 + a^2 = d^2 \\ d = \sqrt{a^2 + a^2} \\ d = \sqrt{(5 \;cm)^2 + (5 \;cm)^2} \\ d = \sqrt{50 \;cm^2} \approx 7,071 \;cm \)

b)

Berechne die Raumdiagonale e beim Würfel mit Seite a = 4 cm

Abbildung Würfel Raumdiagonale
 
 
 
 

Flächendiagonale \( d = \sqrt{a^2 + a^2} \), damit:
\( e^2 = d^2 + a^2 \)
\( e^2 = (\sqrt{a^2 + a^2})^2 + a^2 \)
\( e^2 = (a^2 + a^2) + a^2 = 3·a^2 \)
\( e = \sqrt{3 · a^2} \)
\( e = \sqrt{3 · (4 \;cm)^2} = \sqrt{48 \;cm^2} \approx 6,928 \;cm \)

c)

Flächendiagonale d beim Quader mit Länge = 4 cm, Breite = 5 cm und Höhe = 3 cm

Abbildung Quader Flächendiagonale
 
 
 
 

\( d^2 = b^2 + l^2 \\ d = \sqrt{b^2 + l^2} \\ d = \sqrt{(5 \;cm)^2 + (4 \;cm)^2} \\ d = \sqrt{41 \;cm^2} \approx 6,403 \;cm \)

d)

Raumdiagonale e beim Quader mit Länge = 3 cm, Breite = 6 cm und Höhe = 3 cm

Abbildung Quader Raumdiagonale
 
 
 
 

Flächendiagonale \( d = \sqrt{b^2 + l^2} \), damit:
\( e^2 = d^2 + h^2 \)
\( e^2 = (\sqrt{b^2 + l^2})^2 + h^2 \)
\( e = \sqrt{ b^2 + l^2 + h^2 } \)
\( e = \sqrt{ (6\;cm)^2 + (3\;cm)^2 + (3\;cm)^2 } \)
\( e = \sqrt{54 \;cm^2} \approx 7,3485 \;cm \)

e)

Seitenkante s bei der quadratischen Pyramide mit Seite a = 4 cm und Höhe h = 3 cm.

Abbildung Pyramide Seitenkante
Seitenkante: \( s = \sqrt{ h^2 + \frac{a^2}{2} } \)
 
 
 

Seitenkante: \( s = \sqrt{ h^2 + \frac{a^2}{2} } \)
\( s = \sqrt{ h^2 + \frac{a^2}{2} } \)
\( s = \sqrt{ (3 \;cm)^2 + \frac{(4 \;cm)^2}{2} } \)
\( s = \sqrt{ 17 \;cm^2 } \approx 4,123 \;cm \)

f)

Flächendiagonale d der Grundfläche der quadratischen Pyramide mit Seite a = 5 cm und Höhe h = 4 cm.

Abbildung Pyramide Flächendiagonale der Grundfläche
 
 
 
 

\( d^2 = a^2 + a^2 \\ d = \sqrt{ a^2 + a^2 } = \sqrt{ 2·a^2 } \\ d = \sqrt{ 2·(6 \;cm)^2 } \\ s = \sqrt{ 72 \;cm^2 } \approx 8,485 \;cm \)

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