AB: Gemischte Rechenaufgaben I

I. Rechnen mit Brüchen

1.

Addieren Sie folgende Brüche und kürzen Sie das Ergebnis.

a)

\( \frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{10} \)

\( \frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{10}=\frac{20}{40}-\frac{10}{40}+\frac{5}{40}-\frac{4}{40}=\frac{11}{40} \)

b)

\( \frac{1}{2}+\frac{5}{6}+\frac{7}{9}-\frac{5}{12} \)

\( \frac{1}{2}+\frac{5}{6}+\frac{7}{9}-\frac{5}{12}=\frac{18}{36}+\frac{30}{36}+\frac{28}{36} \cdot \frac{15}{36}=\frac{61}{36} \)

c)

\( 3 \frac{2}{3}+2 \frac{2}{6}-4 \frac{4}{9} \)

\( \begin{aligned} 3 \frac{2}{3}+2 \frac{2}{6}-4 \frac{4}{9} &=\frac{11}{3}+\frac{14}{6}-\frac{40}{9} \\ &=\frac{66}{18}+\frac{42}{18}-\frac{80}{18}=\frac{28}{18}=\frac{14}{9} \end{aligned} \)

d)

\( 10-2 \frac{1}{4}-1 \frac{1}{4} \)

\( \begin{aligned} 10-2 \frac{1}{4} \cdot 1 \frac{1}{4} &=10-\frac{9}{4}-\frac{5}{4} \\ &=\frac{40}{47} \frac{40}{4}-\frac{9}{4}-\frac{5}{4} \\ &=\frac{26}{4}=\frac{13}{2} \end{aligned} \)

e)

\( 3 \frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{5}{6} \)

\( \begin{aligned} 3 \frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{5}{6} &=-\frac{10}{3}+\frac{1}{2}-\frac{5}{6} \\ &=\frac{20}{6}+\frac{3}{6} \cdot \frac{5}{6}=\frac{18}{6}=3 \end{aligned} \)

2.

Multiplizieren bzw. dividieren Sie folgende Brüche und kürzen Sie das Ergebnis, sofern dies möglich ist.

a)

\( \frac{(-7)}{8} \cdot \frac{(-8)}{7} \)

\( \frac{(- \cancel{7})^{~ ~ -1}}{\cancel{8}^{~ ~1}} \cdot \frac{(-\cancel{8})^{~ ~-1}}{\cancel{7}^{~ ~1}}=1 \)

b)

\( 1 \frac{2}{3} \cdot\left(-2 \frac{3}{2}\right) \)

\( 1 \frac{2}{3} \cdot\left(-2 \frac{3}{2}\right)=\frac{5}{3} \cdot\left(-\frac{7}{2}\right)=-\frac{35}{6} \)

c)

\( \frac{1}{8}: \frac{3}{10} \)

\( \frac{1}{8}: \frac{3}{10}=\frac{1}{ \cancel{8}_{~ 4} } \cdot \frac{ \cancel{10}^{~ ~ 5}}{3}=\frac{5}{12} \)

d)

\( 4 \frac{5}{6}: 1 \frac{2}{9} \)

\( 4 \frac{5}{6}: 1 \frac{2}{9}=\frac{29}{\cancel{6}_{~ 2}} \cdot \frac{\cancel{9}^{~ 3}}{11}=\frac{87}{22} \)

3.

Berechnen Sie folgende Brüche und kürzen Sie das Ergebnis, sofern dies möglich ist.

a)

\( \frac{21}{25}: \frac{7}{36}+\frac{3}{14}: \frac{5}{28} \)

\( \begin{aligned} \frac{21}{25}: \frac{7}{36}+\frac{3}{14}: \frac{5}{28} &=\frac{\cancel{21}^{~ 3}}{25} \cdot \frac{36}{ \cancel{7}_{~ 1}}+\frac{3}{ \cancel{14}_{~1} } \cdot \frac{ \cancel{28}^{~ 2}}{5} \\ &=\frac{3}{25} \cdot \frac{36}{1}+\frac{3}{1} \cdot \frac{2}{5} \\ &=\frac{108}{25}+\frac{6}{5}=\frac{108}{25}+\frac{30}{25}=\frac{138}{25} \end{aligned} \)

b)

\( \frac{3}{4}+\left(-\frac{2}{3}\right)+\frac{4}{21}: \frac{1}{7}-\frac{5}{12} \)

\( \frac{3}{4}+\left(-\frac{2}{3}\right)+\frac{4}{21}: \frac{1}{7}-\frac{5}{12}=\frac{3}{4}-\frac{2}{3}+\frac{4}{\cancel{21}_{~ 3} } \cdot \frac{ \cancel{7}^{~ 1} }{1}-\frac{5}{12} \\ = \frac{9}{12}-\frac{8}{12}+\frac{16}{12}-\frac{5}{12}=\frac{12}{12} \\ = 1 \)

c)

\( \frac{5}{8}: \frac{1}{2}+1 \frac{5}{7} \cdot \frac{7}{4}-\frac{9}{14}: \frac{3}{7} \)

\( \frac{5}{8}: \frac{1}{2}+1 \frac{5}{7} \cdot \frac{7}{4}-\frac{9}{14}: \frac{3}{7} = \\ \frac{5}{ \cancel{8}_{~ 4} } · \frac{ \cancel{2}^{~ 1} }{ 1 } + \frac{ \cancel{12}^{~ 3} }{ \cancel{7}_{~ 1} } · \frac{ \cancel{7}^{~1} }{ \cancel{4}_{~ 1} } - \frac{ \cancel{9}^{~ 3} }{ \cancel{14}_{~ 2} } · \frac{ \cancel{7}^{~ 1} }{ \cancel{3}_{~ 1} } \\ = \frac{5}{4}+3-\frac{3}{2} \\ =\frac{5}{4}+\frac{12}{4} \cdot \frac{6}{4}=\frac{\frac{11}{4}}{\frac{11}{4}} \)

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