AB: Gemischte Rechenaufgaben XII

I. Geradengleichungen

1.

Berechnen Sie die Gleichung der Geraden durch folgende Punkte:

a)

\( \mathrm{A}(-2 \mid-1) \quad \mathrm{B}(3 \mid 14) \)

Gegeben: \( A(-2,-1): B(3,14) \)

Gesucht: \( f(x) \)

Lösung:
\( f(x) = a_{1}x + a_{0} \\ a_{1} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{14-(-1)}{3-(-2)} = \frac{15}{5} = 3 \)

\( a_1 \text{ in } f(x): \\ f(x) = 3x + a_{0} \\ f(3) = 3·3 + a_{0} = 14 \qquad |-9 \\ a_{0} = 5 \)

Funktionsgleichung: \( f(x) = 3x + 5 \)

b)

\( C(0 \mid 0) \quad D(3 \mid 1) \)

Gegeben: \( C(0 \mid 0) \quad D(3 \mid 1) \)

Gesucht: \( f(x) \)

Lösung:
\( f(x) = a_{1}x + a_{0} \\ a_{1} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{1 - 0}{3 - 0} = \frac{1}{3} \)

\( a_1 \text{ in } f(x): \\ f(x) = \frac{1}{3}x + a_{0} \\ f(3) = \frac{1}{3}·3 + a_{0} = 1 \qquad |-1 \\ a_{0} = 0 \)

Funktionsgleichung: \( f(x) = \frac{1}{3}x \)

c)

\( S(4 \mid 2) \quad T(7 \mid 2) \)

Gegeben: \( S(4 \mid 2) \quad T(7 \mid 2) \)

Gesucht: \( f(x) \)

Lösung:
\( f(x) = a_{1}x + a_{0} \\ a_{1} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{2 - 2}{7 - 4} = \frac{0}{3} = 0 \)

Funktionsgleichung: \( f(x) = 2 \)

d)

\( \mathrm{P}(1 \mid 1) \quad \mathrm{Q}(2 \mid 6) \)

Gegeben: \( \mathrm{P}(1 \mid 1) \quad \mathrm{Q}(2 \mid 6) \)

Gesucht: \( f(x) \)

Lösung:
\( f(x) = a_{1}x + a_{0} \\ a_{1} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{6 - 1}{2 - 1} = \frac{5}{1} = 5 \)

\( a_1 \text{ in } f(x): \\ f(x) = 5x + a_{0} \\ f(1) = 5·1 + a_{0} = 1 \qquad |-5 \\ a_{0} = -4 \)

Funktionsgleichung: \( f(x) = 5x - 4 \)

e)

\( \mathrm{E}(-3 \mid 4) \quad \mathrm{F}\left(\frac{1}{3} \mid \frac{2}{3}\right) \)

Gegeben: \( \mathrm{E}(-3 \mid 4) \quad \mathrm{F}\left(\frac{1}{3} \mid \frac{2}{3}\right) \)

Gesucht: \( f(x) \)

Lösung:
\( f(x) = a_{1}x + a_{0} \\ a_{1} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{\frac{2}{3} - 4}{\frac{1}{3} - (-3)} = \frac{ -\frac{10}{3} }{ \frac{10}{3} } = -1 \)

\( a_1 \text{ in } f(x): \\ f(x) = (-1)·x + a_{0} \\ f(-3) = (-1)·(-3) + a_{0} = 4 \qquad |-3 \\ a_{0} = 1 \)

Funktionsgleichung: \( f(x) = -x + 1 \)

f)

\( \mathrm{R}(3 \mid 4) \quad \mathrm{O}(3 \mid 7) \)

Gegeben: \( \mathrm{R}(3 \mid 4) \quad \mathrm{O}(3 \mid 7) \)

Gesucht: \( f(x) \)

Lösung:
\( f(x) = a_{1}x + a_{0} \\ a_{1} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{7 - 4}{3 - 3} = \frac{ 3 }{ 0 } = \text{n.d.} \)

Nicht lösbar. Es ist keine Funktion, denn der Stelle \( x = 3 \) wird mehr als ein y-Wert zugeordnet.

II. Begriffe

2.

Wiederholen Sie die Begriffe Tangente, Sekante und Passante und veranschaulichen Sie diese drei Geraden an einem Kreis.

Tangente = jede Gerade, die nur einen Punkt mit dem Kreis gemeinsam hat (Berührpunkt)

Sekante = jede Gerade, die durch zwei Punkte einer Kreislinie (Kreisperipherie) geht

Passante = jede Gerade, die keinen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis hat (ihn nicht berührt)

kreis tangente sekante passante

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