AB: Gemischte Rechenaufgaben XVI

\( f(x) = -0,2 x^3 + 0,6x^2 + 1,8x + 1 \)

→ keine Symmetrie, da gerade und ungerade Exponenten
→ Verhalten der Funktion bei \( x \) gegen \( +∞ \) → Funktionswerte fallen
→ Verhalten der Funktion bei \( x \) gegen \( -∞ \) → Funktionswerte steigen
→ \( S_y(0 | f(0) ) \rightarrow S_y(0|1) \)

Nullstellen:
\( -0,2 x^3 + 0,6x^2 + 1,8x + 1 = 0 \quad |:(-0,2) \\ x^3 - 3x^2 - 9x - 5 = 0 \)

Nullstelle erraten: \( x_{N1} = -1 \)

Polynomdivision:
\( \left(x^{3}-3 x^{2}-9 x-5\right):(x+1) \\ \frac{-\left(x^{3}+x^{2}\right)}{\qquad -4 x^{2}-9 x} \\ \qquad \frac{-\left(-4 x^{2}-4 x\right)}{-5 x-5} \\ \qquad \quad \frac{-(-5 x-5)}{\qquad 0} \)

\( x^{2}-4 x-5=0 \\ x_{N2,3}=-\left(\frac{4}{2}\right) \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^{2}-(-5)}=2 \pm \sqrt{9}=2 \pm 3 \\ x_{N2} = 5 \\ x_{N3}=-1 \)

Nullstellen:
\( x_{N1,3} = -1 \)   ← doppelte Nullstelle
\( x_{N2} = 5 \)   ← einfache Nullstelle

Extrempunkte ermitteln:
\( f(x) = -0,2 x^{3} + 0,6x^{2} + 1,8x + 1 \\ f'(x) = -0,6 x^{2} + 1,2x + 1,8 \\ f''(x) = -1,2x + 1,2 \)

\( f'(x_{E})=-0,6 x^{2}+1,2 x+1,8=0 \quad |:(-0,6) \\ x^{2}-2 x-3=0 \\ x_{E1,2} = -\left(\frac{2}{2}\right) \pm \sqrt{\left(\frac{-2}{2}\right)^{2}-(-3)}=1 \pm \sqrt{4}=1 \pm 2 \\ x_{E1} = 3 \\ x_{E2} = -1 \)

→ extremwertverdächtig, als nächstes prüfen:

\( f''(3) = -1,2·3 + 1,2 = -2,4 \lt 0 \Rightarrow \text{Hochpunkt} \\ f''(-1) = -1,2·(-1) + 1,2 = 2,4 \gt 0 \Rightarrow \text{Tiefpunkt} \)

In ursprüngliche Funktion einsetzen:
\( f(x)=-0,2 x^{3}+0,6 x^{2}+1,8x + 1 \\ f(3)=-0,2 \cdot 3^{3}+0,6 \cdot 3^{2}+1,8 \cdot 3+1 = 6,4 \\ f(-1)=-0,2 \cdot(-1)^{3}+0,6 \cdot(-1)^{2}+1,8 \cdot(-1)+1=0 \)

\( HP(3 \mid 6,4) \quad TP(-1 \mid 0) \)

Monotonieintervalle:
monoton fallend: \( ] -\infty ;-1] \)
monoton steigend: \( [-1 ; 3] \)
monoton fallend: \( [3 ;+\infty] \)

→ Wendepunkte:
\( f''(x_W) = -1,2 x_{W} + 1,2 = 0 \quad | :(-1,2) \\ x_{W} - 1 = 0 \quad |+1 \\ x_{W} = 1 \)
\( f'''(x_W) = -1,2 \quad ≠ 0 \) → \( x_W = 1 \) ist Wendepunkt
Einsetzen in ursprüngliche Funktion:
\( f(1) = -0,2·1^3 + 0,6·1^2 + 1,8·1 + 1 = 3,2 \)
\( \Rightarrow WP(1 \mid 3,2) \)

→ Krümmungsintervalle:
\( f''(x) = -1,2 x + 1,2 \)
\( ]-∞; 1] \) Linkskrümmung   Probe: \( f''(0) = 1,2 \gt 0 \) → Linkskrümmung
\( ]1; +∞[ \) Rechtskrümmung   Probe: \( f''(3) = -2,4 \lt 0 \) → Rechtskrümmung

→ Graph:
~plot~ -0,2 x^3 + 0,6x^2 + 1,8x + 1; [[-5|7|-10|10]] ~plot~

\( f(x) = -x^4 + 3x^2 + 4 \)

→ Achsensymmetrie, da nur gerade Exponenten
→ Verhalten der Funktion bei \( x \) gegen \( +∞ \) → Funktionswerte fallen
→ Verhalten der Funktion bei \( x \) gegen \( -∞ \) → Funktionswerte fallen
→ \( S_y(0 | f(0) ) \rightarrow S_y(0|4) \)

Nullstellen:
\( -x^4 + 3x^2 + 4 = 0 \quad | \text{Substitution } z=x^2 \\ -z^2 + 3z + 4 = 0 \quad |·(-1) \\ z^2 - 3z - 4 = 0 \)
\( z_{1,2}=-\left(\frac{-3}{2}\right) \pm \sqrt{\left(\frac{-3}{2}\right)^{2} \cdot(-4)}=1,5 \pm \sqrt{6,5} \\ z_{1,2}=1,5 \pm 2,5 \\ z_{1}=4 \quad z_{2}=-1 \)
\( x = \sqrt{z} \\ x_{1,2} = \pm \sqrt{4} \rightarrow x_{N1} = 2 \quad x_{N2} = - 2 \Rightarrow \text{ einfache Nullstellen } \\ x_{3,4} = \pm \sqrt{-1} \Rightarrow \text{ keine Nullstellen } \)

Extrempunkte ermitteln:
\( f(x_E) = -x^4 + 3x^2 + 4 \\ f'(x_E) = -4x^3 + 6x \\ f''(x_E) = -12x^2 + 6 \\ f'''(x_E) = -24x \)

\( -4x^3 + 6x = 0 \qquad |:(-4x) \\ x·(x^2 - \frac{3}{2}) = 0 \qquad |+\frac{3}{2} \\ \Rightarrow x = 0 \\ \Rightarrow x^2 = \frac{3}{2} \\ x_{E1} = \sqrt{ \frac{3}{2} } \\ x_{E2} = -\sqrt{ \frac{3}{2} } \)
\( f\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)=-\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^{4}+3 \cdot\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^{2}+4=6,25 \Rightarrow f''(\sqrt{\frac{3}{2}}) = -12 \lt 0 → \text{Hochpunkt} \\ f\left(-\sqrt{\frac{3}{2}}\right)=-\left(-\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^{4}+3 \cdot\left(-\sqrt{\frac{2}{2}}\right)^{2}+4=6,25 \Rightarrow f''(-\sqrt{\frac{3}{2}}) = -12 \lt 0 → \text{Hochpunkt} \)
Zwei Hochpunkte:
\( HP(\sqrt{\frac{3}{2}} \mid 6,25) \) und \( HP(-\sqrt{\frac{3}{2}} \mid 6,25) \)
\( x_{E3} = 0 \\ f''(0) = -12·0^2 + 6 = 6 \qquad 6 \gt 0 → \text{Tiefpunkt} \\ f(0) = 0^3 + 3·0^2 + 4 = 4 \qquad → \text{Tiefpunkt bei } (0 \mid 4) \)

Monotonieintervalle:
monoton steigend: \( ] -\infty ; -\sqrt{\frac{3}{2}} ] \)
monoton fallend: \( [-\sqrt{\frac{3}{2}} ; 0] \)
monoton steigend: \( [ 0 ; \sqrt{\frac{3}{2}} ] \)
monoton fallend: \( [\sqrt{\frac{3}{2}} ;+\infty[ \)

→ Wendepunkte:
\( f''(x_W) = -12x^2 + 6 \\ -12 x^2 + 6 = 0 \\ -12 x^2 = -6 \quad |:(-12) \\ x^2 = \frac{1}{2} \)
\( f'''(x_{W1}) = +\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ f'''(x_{W2}) = -\sqrt{\frac{1}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \)
Einsetzen in ursprüngliche Funktion:
\( f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=-\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{4} + 3 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2} + 4 = 5,25 \quad \Rightarrow WP_{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \mid 5,25) \)
\( f\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{4} + 3 \cdot \left(- \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2} + 4 = 5,25 \quad \Rightarrow WP_{1} \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \mid 5,25) \)

→ Krümmungsintervalle:
\( f''(x) = -12x^2 + 6 \)
\( ]-∞; -\frac{1}{\sqrt{2}}] \) Rechtskrümmung   Probe: \( f''(-2) = -42 \lt 0 \) → Rechtskrümmung
\( ]-\frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{1}{\sqrt{2}}] \) Linkskrümmung
\( [\frac{1}{\sqrt{2}}; +∞[ \) Rechtskrümmung

→ Graph:
~plot~ -x^4 + 3x^2 + 4; [[-3|3|-7|7]] ~plot~