AB: Gemischte Rechenaufgaben XVII
I. Eigenschaften von Polynomfunktionen
Lesen Sie folgende Angaben aus der Tabelle ab und begründen Sie Ihre Antworten.
a) Schnittpunkt mit der y-Achse
b) Extrempunkte und Art
c) Monotonieintervalle und Art
d) Wendepunkte
e) Krümmungsintervalle und Art
| \( x \) | \( f(x) \) | \( f'(x) \) | \( f''(x) \) | \( f'''(x) \) |
|---|---|---|---|---|
| -3,00 | -9,188 | 11,813 | -5,625 | 1,125 |
| -2,50 | -3,961 | 9,141 | -5,063 | 1,125 |
| -2,00 | 0,000 | 6,750 | -4,500 | 1,125 |
| -1,50 | 2,836 | 4,641 | -3,938 | 1,125 |
| -1,00 | 4,688 | 2,813 | -3,375 | 1,125 |
| -0,50 | 5,695 | 1,266 | -2,813 | 1,125 |
| 0,00 | 6,000 | 0,000 | -2,250 | 1,125 |
| 0,50 | 5,742 | -0,984 | -1,688 | 1,125 |
| 1,00 | 5,063 | -1,688 | -1,125 | 1,125 |
| 1,50 | 4,102 | -2,109 | -0,563 | 1,125 |
| 2,00 | 3,000 | -2,250 | 0,000 | 1,125 |
| 2,50 | 1,898 | -2,109 | 0,563 | 1,125 |
| 3,00 | 0,938 | -1,688 | 1,125 | 1,125 |
| 3,50 | 0,258 | -0,984 | 1,688 | 1,125 |
| 4,00 | 0,000 | 0,000 | 2,250 | 1,125 |
| 4,50 | 0,305 | 1,266 | 2,813 | 1,125 |
| 5,00 | 1,313 | 2,813 | 3,375 | 1,125 |
| 5,50 | 3,164 | 4,641 | 3,938 | 1,125 |
| 6,00 | 6,000 | 6,750 | 4,500 | 1,125 |
a) Schnittpunkt mit der y-Achse: \( S_y(0 \mid f(x) ) \)
→ \( S_y \) erhält man, wenn man \( x = 0 \) setzt
→ \( S_y(0 \mid 6) \)
b) Extrempunkte und Art
Extrempunkte ergeben sich, wenn \( f'(x) = 0 \) und \( f''(x) ≠ 0 \),
wobei Hochpunkt, wenn \( f''(x) \lt 0 \) und
Tiefpunkt, wenn \( f''(x) \gt 0 \)
\( f'(x) = 0 \) bei \( x = 0 \) → \( f''(0) = -2,250 \) → Hochpunkt
\( f'(x) = 0 \) bei \( x = 4 \) → \( f''(4) = 2,250 \) → Tiefpunkt
In ursprüngliche Funktion einsetzen bzw. ablesen von \( f(x) \) in Tabelle:
\( HP(0 \mid 6) \qquad TP(4 \mid 0) \)
c) Monotonieintervalle und Art
Monotoniewechsel beim HP und beim TP
monoton steigend: \( ] -∞; 0 [ \)
monoton fallend: \( [0; 4 ] \)
monoton steigend: \( [4; +∞[ \)
d) Wendepunkte
Wendepunkt bei \( f''(x) = 0 \) und \( f'''(x) ≠ 0 \)
bei \( x = 2 \)
\( f'''(x) = 1,125 ≠ 0 \)
\( → WP(2 \mid 3) \)
e) Krümmungsintervalle und Art
Rechtskrümmung von Stelle des HP bis zur Stelle des WP
Rechtskrümmung: \( ]-∞; 2] \)
Linkskrümmung von Stelle des WP bis zur Stelle des TP
Linkskrümmung: \( [2; +∞[ \)