AB: Gemischte Rechenaufgaben IV
I. Rechnen mit Brüchen
Berechnen Sie die folgenden Brüche.
\( 4 \frac{5}{8}+1 \frac{1}{10}+3 \frac{4}{5} \)
\( \begin{aligned} 4 \frac{5}{8}+1 \frac{1}{10}+3 \frac{4}{5} &=\frac{37}{8}+\frac{11}{10}+\frac{13}{5} \\ &=\frac{185}{40}+\frac{44}{40}+\frac{152}{40} \\ &=\frac{381}{40} \end{aligned} \)
\( 3 \frac{1}{4}: \frac{1}{4} \)
\( 3 \frac{1}{4}: \frac{1}{4}=\frac{13}{ \cancel{4} } \cdot \frac{ \cancel{4} }{1}=13 \)
\( \left(\frac{(-1)}{3}+\frac{10}{6}\right) \cdot\left(\frac{7}{2}-\frac{1}{2}\right) \)
\( \begin{aligned}\left(\frac{(-1)}{3}+\frac{10}{6}\right) \cdot\left(\frac{7}{2}-\frac{1}{2}\right) &=\left(-\frac{2}{6}+\frac{10}{6}\right) \cdot\left(\frac{6}{2}\right) \\ &= \frac{8}{ \cancel{6} } \cdot \frac{ \cancel{6} }{2} \\ &=4 \end{aligned} \)
II. Lösen von Gleichungen
Vereinfachen Sie die Terme auf beiden Seiten der Gleichung (falls nötig) und lösen Sie anschließend die Gleichung.
\( 12 x+3(x+19)=40 x+7 \)
\( \begin{aligned} 12 x+3(x+19) &=40 x+7 \\ 12 x+3 x+57 &=40 x+71 \qquad | -12 \quad |-3x \quad |-7 \\ 25 x &=50 \\ x &=2 \end{aligned} \)
\( \frac{1}{2}[ x-2+x(1+2 x) ] +(x+2)(x+1)=2 x^{2}+3(x+1)+\frac{1}{2}(x+1) \)
\( \frac{1}{2}[x-2+x(1+2 x)]+(x+2)(x+1)=2 x^{2}+3^{3}(x+1)+\frac{1}{2}(x+1) \\ \frac{1}{2} \cdot\left(x-2+x+2 x^{2}\right)+x^{2}+x+2 x+2=2 x^{2}+3 x+3+\frac{1}{2} x+\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \cdot\left(2 x^{2}+2 x-2\right)+x^{2}+3 x+2=2 x^{2}+3,5 x+3,5 \\ x^{2}+x-1+x^{2}+3 x+2 \quad=2 x^{2}+3,5 x+3,5 \qquad |-2x^{2} \quad |-3,5x \\ 0,5 x+1 = 3,5 \qquad |-1 \\ 0,5 x = 2,5 \qquad | :0,5 \\ x = 5 \)
\( 10(3 x+4)(x-8)+9 x-98=2(5 x-40)(3 x-7)+10 x+3 \)
\( 10(3 x+4)(x-8)+9 x-98=2(5 x-40)(3 x-7)+10 x+3 \\ (30 x+40)(x-8)+9 x-98=(10 x-80)(3 x-7)+10 x+3 \\ 30 x^{2}-240 x+40 x-320+9 x-98 \\ \qquad \qquad = 30 x^{2}-70 x-240 x+560+10 x+3 \qquad |-30x^2 \\ -191 x-418 =-300 x+563 \qquad |+418 \quad |+300 x \\ 109 x =981 \qquad |:109 \\ x = 9 \)
III. Binomische Formeln
Lösen Sie mit Hilfe der binomischen Formeln.
Allgemein: \( (a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2 \)
Beispiel: \( (3x ± p)^2 = 9x^2 ± 6xp + p^2 \)
Allgemein: \( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \)
Beispiel: \( (4u + s^3)(4u - s^3) = 16u^2 - s^6 \)
\( (2a+3)^{2} \)
\( (2a+3)^{2} = 4a^2 + 12a + 9 \)
\( (4-3u)^{2} \)
\( (4-3u)^{2} = 16 - 24u + 9u^2 \)
\( \left(\frac{1}{3} a+b\right)^{2} \)
\( \left(\frac{1}{3} a+b\right)^{2} = \frac{1}{9} a^2 + \frac{2}{3} ab + b^2 \)
\( \left(\frac{1}{4} c-\frac{1}{4} d\right)^{2} \)
\( \left(\frac{1}{4} c-\frac{1}{4} d\right)^{2} = \frac{1}{16} c^2 - \frac{1}{8} cd + \frac{1}{16} d^2 \)
\( (4a - 2u)(4a + 2u) \)
\( (4a - 2u)(4a + 2u) = 16a^2 - 4u^2 \)
Setzen Sie die richtigen Terme und Zahlen ein:
\( (3x + \boxed{ \phantom{ xx } })^2 = \boxed{ \phantom{ xx } } + \boxed{ \phantom{ xx } } + 49 \)
\( (3x + \boxed{ 7 })^2 = \boxed{ 9x^2 } + \boxed{ 42x } + 49 \)
\( (\boxed{ \phantom{ xx } } + \boxed{ \phantom{ xx } })^2 = 4x^2 + 32x + \boxed{ \phantom{ xx } } \)
\( (\boxed{ 2x } + \boxed{ 8 })^2 = 4x^2 + 32x + \boxed{ 64 } \)
\( (\boxed{ \phantom{ xx } } + \boxed{ \phantom{ xx } })^2 = 36x^2 - 24x + \boxed{ \phantom{ xx } } \)
\( (\boxed{ 6x } - \boxed{ 2 })^2 = 36x^2 - 24x + \boxed{ 4 } \)
IV. Quadratische Ergänzung
Wendet man die binomischen Formeln „rückwärts“ an, dann lassen sich Summen in Binome verwandeln. Dabei addiert man die sogenannte quadratische Ergänzung und zieht diese wieder ab, damit der Wert des Terms erhalten bleibt.
Beispiel:
\( \begin{aligned} & \quad \; \, a^2 + 2·b·a + \, b^2 \\ & \quad \; \uparrow \;\;\quad\uparrow\;\;\;\uparrow\;\;\;\uparrow \;\quad\uparrow \; & \\ x^2 + 8x - 9 & = \underbrace{ x^2 + 2·4·x \textcolor{#F00}{ + 4^2 } }_{(x+4)^{2}} ~ \underbrace{ \textcolor{#F00}{-4^2} - 9 }_{-25} \\ & = (x + 4)^2 - 25 \end{aligned} \)
Formen Sie folgende Terme wie im Beispiel durch quadratische Ergänzung um.
\( x^{2}-6 x+9 \)
\( x^{2}-6 x+9 \\ = x^{2}-2 \cdot 3 \cdot x+3^{2} ~ \underbrace{-3^{2}+9}_{= 0} \\ = (x-3)^{2} \)
\( x^{2}+4 x+36 \)
\( x^2 + 4x + 36 \\ = x^2 + 2·2·x + 2^2 ~ \underbrace{-2^2 + 36}_{= 32} \\ = (x + 2)^2 + 32 \)
\( x^2 - 7x + 6 \)
\( x^2 - 7x + 6 \\ = x^2 + 2·3,5·x + 3,5^2 ~ \underbrace{-3,5^2 + 6}_{= -6,25} \\ = (x - 3,5)^2 - 6,25 \)
\( x^2 + 11x + 30 \)
\( x^2 + 11x + 30 \\ = x^2 + 2·5,5·x + 5,5^2 ~ \underbrace{-5,5^2 + 30}_{= -0,25} \\ = (x + 5,5)^2 - 0,25 \)
\( x^2 + 10x + 21 \)
\( x^2 + 10x + 21 \\ = x^2 + 2·5·x + 5^2 ~ \underbrace{-5^2 + 21}_{= -4} \\ = (x + 5)^2 - 4 \)
\( 3x^2 + 36x + 105 \)
\( 3x^2 + 36x + 105 \\ = 3·(x^2 + 2·6·x + 6^2 ~ \underbrace{-6^2 + 35}_{= -1} ) \\ = 3·[ (x + 6)^2 - 1 ] \\ = 3·(x + 6)^2 - 3·1 \\ = 3·(x + 6)^2 - 3 \)