AB: Lektion Zinseszins (Teil 3)

Notiere für die folgenden Aufgaben deinen vollständigen Lösungsweg, damit du beim Vergleich mit den Lösungen die Fehlerquellen besser entdeckst. Du darfst den Taschenrechner zur Berechnung benutzen.

1.

Um die folgenden Aufgaben rechnen zu können, musst du die Lektion Wurzeln gesehen haben, dann verstehst du folgende Rechenschritte:

$$ (1+p)^5 = 100 \quad | \sqrt[5]{\quad} \\ \sqrt[5]{(1+p)^5} = \sqrt[5]{100} \\ 1 + p \approx 2,51189 \quad | -1 \\ p \approx 1,51189 $$

Wenn du dies also beherrschst, kannst du die Aufgaben lösen:

a) Deine Großeltern möchten 2.000 Euro für dich anlegen. Sie möchten, dass sich die Summe nach 5 Jahre verdoppelt hat. Welchen Zinssatz benötigen Sie hierfür?

b) Berechne: Welcher Zinssatz ist notwendig, damit sich ein Kapital nach 10 Jahren verdoppelt?

c) Um sein Kapital von 800 Euro auf 1.000 Euro zu vermehren, möchte Wille die Zinssätze berechnen, für die das möglich ist bei folgenden Laufzeiten:
a) Laufzeit 2 Jahre
b) Laufzeit 4 Jahre
c) Laufzeit 6 Jahre

d) Utes Geld auf dem Sparkonto ist auf 18.600 Euro angewachsen. Es liegt seit 8 Jahren unangetastet auf dem Konto. Der Zinssatz war konstant bei 4 %. Wie groß war ihr Startkapital?

e) Inge soll nach 3 Jahren 1.500 € an Paul zurückzahlen. Sie hatten einen Zinssatz von 3,5 % vereinbart. Wie viel Geld hatte Paul überlassen?

f) Deine Eltern haben für dich etwas Geld gespart, nach 5 Jahren Anlage ist ein Kapital von 4.900,90 Euro entstanden. Der Zinssatz war konstant bei 5,5 %. Wie viel Geld hatten deine Eltern zu Beginn der Laufzeit angelegt?

g) Wir haben einen hohen Kredit für 3 Jahre aufgenommen, Zinssatz 7 % p.a. Anschließend müssen wir 99.999 Euro zurückzahlen. Wie hoch war der ursprünglich aufgenommene Kreditbetrag?

Hinweis:
Für die nachfolgenden Aufgaben benötigst du das Wissen aus der Lektion Logarithmus, andernfalls wirst du diese Aufgaben nicht lösen können. Mit dem Logarithmus lässt sich der Exponent einer Potenz berechnen. Beim Zinseszins ist der Exponent das hochgestellte n, also die Laufzeit in Jahren.

Eine Beispielrechnung zur Ermittlung der Laufzeit:

Kn = K0 · (1 + p)n
Kn = 2.000 € · (1 + 5 %)n = 2.400 €
(1 + 5 %)n = 2.400 € : 2.000 €
(1 + 0,05)n = 1,2
1,05n = 1,2   | Logarithmus beidseitig anwenden
log 1,05n = log 1,2
n · log 1,05 = log 1,2
n = log 1,2 : log 1,05
n ≈ 3,737 Jahre

Soweit verstanden? Dann löse die letzten drei Aufgaben:

h) Hanna legt 5.000 € an und erhält bei 5,7 % p.a. nach n Jahren insgesamt 6.000 € ausgezahlt. Wie viele Jahre war das Geld angelegt?

i) Emma hebt ihr gesamtes Geld von der Bank ab und erhält 1.220 Euro Zinsen ausgeschüttet. Sie hatte 5.700 Euro angelegt, der Zinssatz belief sich auf 4,3 % p.a. Wie viele Jahre hatte sie das Geld bei der Bank?

j) Johann möchte seine 12.000 Euro auf 16.000 Euro vermehren. Er hat ein gutes Angebot mit 6,7 % p.a. Zinssatz entdeckt. Wie viele Jahre muss er das Geld anlegen, damit der sogenannte Zinseszinseffekt die 4.000 Euro Zinsen erzeugt?

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