CHECK: Ableitungen V

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Bestimme die Ableitung der Funktion: f(x) = e^x · (x² + 3x + 6)

f'(x) = e^x · (2x + 3)

f'(x) = e^x · (x² + 3x + 6)

f'(x) = 2x + 3

f'(x) = e^x · (x² + 3x + 6) + e^x · (2x + 3)

Wir haben ein Produkt von zwei Funktionen, deren Ableitung wir ganz einfach bestimmen können:

g(x) = e^x → g'(x) = e^x

h(x) = x² + 3x + 6 → h'(x) = 2x + 3

Es gilt f(x) = g(x) · h(x).

Wir wenden die Produktregel an:

f'(x) = g'(x) · h(x) + h'(x) · g(x)

Wir setzen ein und erhalten die Lösung:

f'(x) = g'(x) · h(x) + h'(x) · g(x)
f'(x) = e^x · (x² + 3x + 6) + (2x + 3) · e^x
f'(x) = e^x · (x² + 3x + 6) + e^x · (2x + 3)

Wie lautet die Ableitung von f(x) = sin(x) · e^x?

f'(x) = cos(x) · e^x

f'(x) = sin(x) · e^x

f'(x) = cos(x) · e^x + sin(x) · e^x

f'(x) = cos(x) · e^x + cos(x) · e^x

Die Funktion hat die Form f(x) = g(x) · h(x).

Mit g(x) = sin(x) und h(x) = e^x erhalten wir die Ableitungen:

g(x)' = cos(x)

h(x)' = e^x

Nach der Produktregel f'(x) = g'(x)· h(x) + g(x) · h'(x) ergibt sich das Ergebnis:

f'(x) = g'(x)· h(x) + g(x) · h'(x)
f'(x) = cos(x) · e^x + sin(x) · e^x

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