CHECK: Additionstheoreme II

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1. Berechne den Wert von sin(135°) mit Hilfe eines passenden Additionstheorems.

Wir zerlegen den Winkel von 135° in 90° und 45° und wenden das Additionstheorem für sin(α +β) an.

$$ sin(α +β) = sin(45° +90°) \\ = sin(45°) · cos(90°) + cos(45°) · sin(90°) \\ = \frac{ \sqrt{2} }{2} · 0 + \frac{ \sqrt{2} }{2} · 1 \\ = \frac{ \sqrt{2} } {2} $$

2. Für welche trigonometrische Funktionen kann man Additionstheoreme anwenden?

Additionstheoreme können für alle trigonometrischen Funktionen angewendet werden.

3. Welche Form des Termes in Abhängigkeit von tan(α) und tan(β) erhält man für tan(α+β), wenn man hierfür ein passendes Additionstheorem anwendet?

Einen Bruch:

$$ tan(α+β) = \frac {tan(α)+tan(β)} {1 - tan(α) · tan(β)} $$

4. Leite aus der Beschreibung bzw. Skizze das Additionstheorem für Sinus her.

Gegeben sind drei rechtwinklige Dreiecke ΔSCD, ΔSCA und ΔSAB mit den jeweiligen Innenwinkeln α, β und (α + β):

image

Gemäß Skizze ist |CD| = |EB|

$$ \sin(α+β) = \frac {|AB|} {|AS|} = \frac {|AE|+|EB|} {|AS|} = \frac {|AE|+|CD|} {|AS|} $$

$$ ⇒ \frac {|AE|} {|AS|} + \frac {|CD|} {|AS|} ⇔ \frac{|AE| · |AC|} {|AC| · |AS|} + \frac{|CD| · |CS|} {|CS| · |AS|} $$

Aus den Definitionen von Sinus und Kosinus folgt:

$$ \frac {|AC|} {|AS|} = \sin(β), \frac {|CD|} {|CS|} = \sin(α) \text{ und } \frac {|CC|} {|AS|} = \cos(β) $$

$$ \text{Winkel } EAC = α $$

$$ ⇒ \text{Winkel } SCB = \text{Winkel } ECA = 90° - α \\ ⇒ \text{Winkel } SCE = \text{Winkel } EAC= α $$

Daraus folgt

$$ \frac {|AE|} {|AC|} = \cos(α) $$

⇒ sin(α+β) = cos(α) · sin(β) + sin(α) · cos(β)

5. Berechne den Wert von tan(210°) über ein passendes Additionstheorem.

tan(210°) = tan(180° + 30°)

Additionstheorem für Tangens:

$$ \tan(α+β) = \frac{ \tan(α) + \tan(β) } {1 - \tan(α) · \tan(β)} $$

$$ \tan(180° + 30°) = \frac{ \tan(180°) + \tan(30°)} {1 - \tan(180°) · \tan(30°)} $$

$$ \tan(180° + 30°) = \frac{0 + \tan(30°)}{1 - 0·\tan(30°)} = \frac{tan(30°)}{1} = \frac{ \sqrt{3} }{3} $$


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