Lerncheck: Bruchgleichungen V (schwierig)

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1. Bestimme die Definitionsmenge für die Gleichung \( \frac {3x+a} {3x-1} = \frac {x+1}{x-a} \) in Abhängigkeit von a. (Tipp: Nenner beachten. Die Division durch Null ist nicht erlaubt.)

Nenner untersuchen und Definitionsmenge festlegen:

\( 3x-1 ≠ 0 \quad |+1 \\ 3x ≠ 1 \quad |:3 \\ x≠\frac{1}{3} \)

und

\( x - a ≠ 0 \quad |+a \\ x ≠ a \)

Bruchgleichung umformen:

\( \frac {3x+a} {3x-1} = \frac {x+1}{x-a} \quad |·(3x-1) \\ \frac {3x+a} {3x-1}·(3x-1) = \frac {x+1}{x-a}·(3x-1) \\ 3x+a = \frac {x+1}{x-a}·(3x-1) \quad |·(x-a) \\ (3x+a)·(x-a) = (x+1)·(3x-1) \)

\( 3x^2+ax-3ax-a^2=3x^2-x+3x-1 \\ -2ax=2x-1+a^2 \\ -2ax-2x=a^2-1 \\ -2x·(a+1) = a^2-1 \)

3. binomische Formel für \( a^2-1 \) anwenden:

\( -2x·(a+1) = (a-1)(a+1) \)

Durch \( -2·(a+1) \) teilen, damit \( x \) links alleine steht. Wir müssen an dieser Stelle \( a ≠ -1 \) festlegen, damit eine Division durch Null ausgeschlossen ist:

\( -2x·(a+1) = (a-1)(a+1) \quad |:(-2·(a+1)) \\ \frac{x·(-2)·(a+1)}{-2·(a+1)} = \frac{(a-1)(a+1)}{-2·(a+1)} \\ x = \frac{(a-1)(a+1)} {-2·(a+1)} \\ x = \frac{a-1}{-2} \text{ mit } a ≠ -1 \)

Wenn \( a = 1 \) wäre, dann ergäbe sich: \( x = \frac{a-1}{-2} = \frac{-1-1}{-2} = 1 \). Das heißt \( a = 1 \) und \( x = 1 \), doch dies ist durch \( x ≠ a \) nicht erlaubt.

2. Bestimme die Definitionsmenge für die Gleichung \( \frac 1 {x-t} = 1 - \frac{1}{t} \) in Abhängigkeit von t. (Tipp: Nenner beachten. Die Division durch Null ist nicht erlaubt.)

Nenner (x - t) muss verschieden von Null sein ⇒ x - t ≠ 0 ⇒ x ≠ t ⇒ x ∈ ℝ \{t}

$$ \frac 1 {x-t} = 1 - \frac 1 t$$

Multiplizieren mit (x - t)·t mit t ≠ 0

$$ t = (x-t)t - (x-t) $$

$$ t = xt -t^2 - x + t $$

$$ t^2 = xt - x = x(t-1) $$

Division mit (t - 1) für t ≠ 1

$$ x = \frac {t^2} {t-1}$$

$$ ⇒ x = \frac {t^2} {t-1} \space mit \space x ≠ 0 \space und \space t ≠ 1$$


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