Lerncheck: Differentialrechnung II

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1. Was ist die Ableitung der e-Funktion f(x) = ex?

Die Ableitung der e-Funktion ist immer die e-Funktion selbst.

f'(x) = ex
f'(x) = ex
f''(x) = ex
f'''(x) = ex

2. Was ist die erste Ableitung von f(x) = x3 + 5·x?

f(x) = x3 + 5·x
f'(x) = 3·x3-1 + 1·5·x1-1
f'(x) = 3·x2 + 5·x0
f'(x) = 3·x2 + 5

3. Was ist die erste Ableitung von f(x) = x10 - 3·x3 + 2,5·x?

f(x) = x10 - 3·x3 + 2,5·x
f'(x) = 10·x10-1 - 3·3·x3-1 + 2,5·x1-1
f'(x) = 10·x9 - 9·x2 + 2,5·x0
f'(x) = 10·x9 - 9·x2 + 2,5

4. Was ist die erste Ableitung von f(x) = \( \frac{1}{x} \)?

\( f(x) = \frac{1}{x} \\ f(x) = x^{-1} \\ f'(x) = (-1)·x^{-1-1} \\ f'(x) = -x^{-2} \\ f'(x) = -\frac{1}{x^2} \)

5. Was ist die erste Ableitung von f(x) = -cos(x)?

f(x) = - cos(x)
f'(x) = - (-sin(x))
f'(x) = sin(x)

6. Bestimme die Ableitung von f(x) = cos(x) - sin(x) mit der Summenregel.

Summenregel:
\( f(x) = g(x) + h(x) \\ f'(x) = g'(x) + h'(x) \)

Anwendung bei der Aufgabe:

f(x) = cos(x) - sin(x)
f'(x) = [ -sin(x) ] - [ cos(x) ]
f'(x) = -sin(x) - cos(x)


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