CHECK: Einheitskreis III (schwierig)

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1. Welche Voraussetzungen gelten für den Einheitskreis?

2. Wie sind die Terme sin(α) und cos(α) im Einheitskreis miteinander verknüpft?

0° ≤ α ≤ 360°

einheitskreis klein

Laut Satz des Pythagoras gilt im dargestellten rechtwinkligen Dreieck, in dem der Radius r = 1 LE die Hypotenuse ist: $$ sin^2(α) + cos^2(α) = 1 $$

3. Bestimme die Koordinaten des Punktes P auf einem Einheitskreis unter einem Winkel α = 120°.

Die positive x-Achse schließt mit der Halbgeraden vom Ursprung zum Punkt P den Winkel α ein.

Koordinate x = cos(120°) = - 1/2

Koordinate y = sin(120°) = 1/2*√3

4. Auf dem Umfang eines Einheitskreises liegt ein Punkt P ((1/2)*√2 | (1/2)*√2). Berechne den Winkel α

Nutze die Winkelbeziehungen in einem rechtwinkligen Dreieck.

Gemäß den Winkelbeziehungen in einem rechtwinkligen Dreieck gilt hier

sin(α) = y*Radius und cos(α) = x*Radius

Da im Einheitskreis der Radius 1 LE hat, gilt

sin(α) = y und cos(α) = x

Mit

$$ x = y = \frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 2 } $$ folgt

$$ sin(α) = cos(α) = \frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 2 } $$

$$ α = arcsin( \frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 2 })$$

$$ α = 45° $$

Wenn wir $$ cos(α) = \frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 2 } $$ auswerten, bekommen wir ebenfalls den Winkel von 45° heraus.

5. Es liegt ein Punkt auf dem Einheitskreis im I. Quadranten. Wo wird hier der Tangens abgelesen?

Siehe Skizze:

einheitskreis


Fortschritt: