CHECK: Einheitskreis III (schwierig)

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1. Welche Voraussetzungen gelten für den Einheitskreis?

Siehe Artikel Einheitskreis.

2. Wie sind die Terme sin(α) und cos(α) im Einheitskreis miteinander verknüpft? (Hinweis: 0° ≤ α ≤ 360°)

einheitskreis klein

Laut Satz des Pythagoras gilt im dargestellten rechtwinkligen Dreieck, in dem der Radius r = 1 LE die Hypotenuse ist: sin²(α) + cos²(α) = 1

3. Bestimme die Koordinaten des Punktes P auf einem Einheitskreis unter einem Winkel α = 120°.

Die positive x-Achse schließt mit der Halbgeraden vom Ursprung zum Punkt P den Winkel α ein.

Koordinate x = cos(120°) = \( -\frac{1}{2} \)

Koordinate y = sin(120°) = \( \frac{1}{2} · \sqrt{3} \)

4. Auf dem Umfang eines Einheitskreises liegt ein Punkt P((\( \frac{1}{2}·\sqrt{2}\)) | (\( \frac{1}{2}·\sqrt{2} \))). Berechne den Winkel α.

Nutze die Winkelbeziehungen in einem rechtwinkligen Dreieck.

Gemäß den Winkelbeziehungen in einem rechtwinkligen Dreieck gilt hier:

sin(α) = y·Radius und cos(α) = x·Radius

Da im Einheitskreis der Radius 1 LE hat, gilt:

sin(α) = y und cos(α) = x

Mit:

$$ x = y = \frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 2 } $$

folgt:

$$ sin(α) = cos(α) = \frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 2 } $$

$$ α = arcsin( \frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 2 })$$

α = 45°

Wenn wir \( \cos(α) = \frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 2 } \) auswerten, bekommen wir ebenfalls den Winkel von 45° heraus.

5. Es liegt ein Punkt auf dem Einheitskreis im I. Quadranten. Wo wird hier der Tangens abgelesen?

Siehe Skizze:

einheitskreis


Fortschritt: