CHECK: Exponentialgleichungen III

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1. Löse die Exponentialgleichung \(3^{2x} - 2 · 3^x + 1 = 0 \)

Es ist 32x = (3x)2. Nach den Potenzgesetzen.

(3x)2 - 2·3x + 1 = 0 |Substitution 3^x = u

u2 - 2·u + 1 = 0 | p-q-Formel (oder Mitternachtsformel). Oder auch binomische Formel

(u-1)2 = 0

→ u1,2 = 1 | Resubstituieren

3x = u = 1

Das sieht man sofort, hier muss x = 0 sein. Nur dann wird 3x zu 1.

2. Löse die Exponentialgleichung \(3^x = 9^{2x+1}\)

3x = (32)2x+1

3x = 34x+2 | Exponenten anschauen

x = 4x+2

3x = -2 | :3

x = -2/3

3. Löse die Exponentialgleichung \( e^x (\frac12 e^x -1) = 0 \)

Ein Produkt ist dann 0, wenn ein Faktor 0 ist.

Zudem wird der erste Faktor ex nie 0.

Verbleibt:

\( \frac{1}{2}·e^x - 1 = 0 \) | +1

\( \frac{1}{2}·e^x = 1 \) | ·2

\( e^x = 2 \) | ln

x = ln(2)

4. Löse die Exponentialgleichung \( 8^{2x-4} : 8^{x-3} = 16 \)

82x-4 : 8x-3 = 16 |ab/an = ab-n

82x-4 - x+3 = 16

8x-1 = 16 |8 = 23 und 16 = 24, zudem 8x-1 = (23)x-1 = 23(x-1)

23x-3 = 24 |Exponentenvergleich

3x-3 = 4

3x = 7

x = 7/3

5. Löse die Exponentialgleichung \( 5^{x+1} + 5^x = 58,14 \)

5x+1+5x = 58,14

5x · 51+5x = 58,14

5x ·(5+1) = 58,14

6·5x = 58,14 | ln anwenden

ln(6·5x) = ln(58,14)

ln(6)+ln(5x) = ln(58,14)

ln(5x) = ln(58,14) - ln(6)

x · ln(5) = ln(58,14) - ln(6)

x = [ ln(58,14) - ln(6) ] : ln(5)

x ≈ 1,4111

6. Löse die Exponentialgleichung \( 8^{2x+3} = 2^x \)

82x+3 = 2x

(23)2x+3 = 2x

26x+9 = 2x | Exponentenvergleich

6x + 9 = x

5x = -9

x = -9/5


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