CHECK: Exponentialgleichungen IV

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1. Löse die Exponentialgleichung \( e^{2x} - 5·e^x + 4 = 0 \)

Substituiere ex = u

u2-5u+4=0 | p-q-Formel

u1 = 1 und u2 = 4

Nun noch resubstituiert:

x1=ln(1)=0

x2=ln(4)=1,386

2. Löse die Exponentialgleichung \( 2·3^{x+4} - 14·3^{x+1} = 2·5^{x+3} - 2·5^{x+2} \)

2·3x+4 - 14·3x+1 = 2·5x+3 - 2·5x+2

2·34·3x- 14·3·3x = 2·53·5x - 2·52·5^x

162·3x-42·3x=250·5x-50·5x

120·3x=200·5x |:40

3·3x=5·5x

3x+1=5x+1

Da unterschiedliche Basis, aber gleiche Exponent, muss dieser 0 sein. Erfüllt für x=-1.

3. Löse die Exponentialgleichung \( 5 · 2^{x+1} + 2 = 42 · 2^x \)

5·2x+1+2 = 42 · 2x |-2-42·2x

5·2x·2 - 42·2x = -2

2x( 10-42) = -2 |:(-32)

2x = -2/(-32) = 1/16 = 1/2^4 = 2^(-4)

Direkt ablesbar.

x = -4

4. Löse die Exponentialgleichung \( 4^x + 3·2^{2x-1} = 5^x \)

4x +3·22x-1 =5x

4x+3·4x/2=5x

4x(1+3/2)=5x

2,5·4x=5x |:4x

2,5=5x/4x

2,5=(5/4)x | Logarithmus

ln(2,5)=x·ln(5/4) |:ln(5/4)

ln(2,5)/ln(5/4)=x

x≈4,106

5. Welche Lösungsmethode eignet sich am besten, wenn eine Exponentialgleichung der Form \( c·a^{2x} + d·a^x + b = 0 \) vorliegt?

Es kann a^x = u substituiert werden und man hat eine quadratische Gleichung vorliegen:

c·u^2 + d·u + b = 0

Resubstitution nicht vergessen!

6. Vereinfache die rechte Seite der Gleichung \( a^x = e^{x · \frac{ln(a)}{ln(e)}} \)

a^x = e^(x · ln(a) / ln(e))

e steht, wie im Fragetext erwähnt, für die Eulersche Zahl.

Der logarithmus naturalis (ln) aus der der Eulerschen Zahl hat den Wert 1, also:
ln(e) = 1

Kann man in der Gleichung ersetzen:
a^x = e^(x · ln(a) / 1)

Und das kann man weiter vereinfachen zu:
a^x = e^(x · ln(a))

Anmerkung: Diese Formel ist dazu geeignet, die Potenz mit der Basis a in die entsprechende wertgleiche Potenz mit der Basis e umzurechnen.


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