CHECK: Exponentialgleichungen IV

Löse die Exponentialgleichung \( e^{2x} - 5·e^x + 4 = 0 \)

x₁ = 1; x₂ = 4

x₁ = ln(1); x₂ = 4

x₁ = 0; x₂ = ln(4)

x₁ = 1; x₂ = ln(4)

Substituiere e^x = u

u² - 5u + 4 = 0 | p-q-Formel
u₁ = 1 und u₂ = 4

Nun noch resubstituiert:

x₁ = ln(1) = 0
x₂ = ln(4) = 1,386

Löse die Exponentialgleichung \( 2·3^{x+4} - 14·3^{x+1} = 2·5^{x+3} - 2·5^{x+2} \).

x = 4

x = 4,25

x = 4,125

Keine der Antwortmöglichkeiten ist zutreffend

2·3^x+4 - 14·3^x+1 = 2·5^x+3 - 2·5^x+2
2·3⁴·3^x- 14·3·3^x = 2·5³·5^x - 2·5²·5^x
162·3^x-42·3^x=250·5^x-50·5^x
120·3^x=200·5^x |:40
3·3^x=5·5^x
3^x+1=5^x+1

Da unterschiedliche Basis, aber gleiche Exponent, muss dieser 0 sein. Erfüllt für x = -1.

Löse die Exponentialgleichung \( 5 · 2^{x+1} + 2 = 42 · 2^x \).

x = -2

x = -3

x = -4

x = -5

5·2^x+1 + 2 = 42·2^x |-2
5·2^x+1 = 42·2^x -2 |-42·2^x
5·2^x·2 - 42·2^x = -2
2^x·(10 - 42) = -2 |:(-32)
\( 2^x = \frac{-2}{-32} = \frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = 2^{-4} \)

Die Lösung für x ist direkt ablesbar mit:

x = -4

Löse die Exponentialgleichung \( 4^x + 3·2^{2x-1} = 5^x \).

x = 4

x = 4,125

x = 4,25

Keine der genannten Antwortmöglichkeiten ist korrekt

4^x +3·2^2x-1 =5^x
4^x+3·4^x/2=5^x
4^x(1+3/2)=5^x
2,5·4^x=5^x |:4^x
2,5=5^x/4^x
2,5=(5/4)^x | Logarithmus
ln(2,5)=x·ln(5/4) |:ln(5/4)
ln(2,5)/ln(5/4)=x
x≈4,106

Welche Lösungsmethode eignet sich am besten, wenn eine Exponentialgleichung der Form \( c·a^{2x} + d·a^x + b = 0 \) vorliegt?

Polynomdivision

Raten

Direktes Anwenden der p-q-Formel oder Mitternachtsformel

Substitution

Es kann a^x = u substituiert werden und man hat eine quadratische Gleichung vorliegen:

c·u² + d·u + b = 0

Resubstitution nicht vergessen.

Vereinfache die rechte Seite der Gleichung \( a^x = e^{x · \frac{ln(a)}{ln(e)}} \).

\( a^x = x · \frac{ln(a)}{ln(e)} \)

\( a^x = e^{x · ln(a)} \)

\( a^x = x^{ln(a) · \frac{e}{a}} \)

\( a^x = a^{x · \frac{ln(e)}{ln(a)}} \)

\( a^x = e^{x + a} \)

\( a^x = e^{x · \frac{ \ln(a) }{ \ln(e) } } \)

e steht, wie im Fragetext erwähnt, für die Eulersche Zahl.

Der logarithmus naturalis (ln) aus der der Eulerschen Zahl hat den Wert 1, also:

ln(e) = 1

Also kann man in der Gleichung ersetzen:

\( a^x = e^{x · \frac{ \ln(a) }{ 1 } } \)

Das kann weiter vereinfacht werden zu:

\( a^x = e^{x · \ln(a)} \)

Anmerkung: Diese Formel ist dazu geeignet, die Potenz mit der Basis a in die entsprechende wertgleiche Potenz mit der Basis e umzurechnen.