CHECK: Grenzwerte I

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1. Bestimme den Grenzwert von: \( \lim\limits_{x \to \infty} x \)

Der y-Wert wird für f(x) = x² immer größer, je größere Zahlen man für x einsetzt. Der y-Wert geht gegen .

2. Bestimme den Grenzwert von: \( \lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{x} \)

Der y-Wert wird für \( f(x) = \frac{1}{x} \) geht gegen 0, je größere Zahlen man für x einsetzt.

3. Bestimme den Grenzwert von: \( \lim\limits_{x \to 3} 2·x \)

Es liegt bei x = 3 keine Problemstelle vor und so kann man 3 direkt für x einsetzen.

\( \lim\limits_{x \to 3} 2·x = 2 · 3 = 6 \)

4. Bestimme den Grenzwert von: \( \lim\limits_{x \to 10} x-10 \)

Es liegt bei x = 10 keine Problemstelle vor und so kann man 10 direkt für x einsetzen.

\( \lim\limits_{x \to 10} x-10 = 10-10 = 0 \)

Der Grenzwert ist 0.

5. Bestimme den Grenzwert von: \( \lim\limits_{x \to \infty} \frac{x+1}{x^2} \)

Hier „ziehen“ wir den Nenner heraus:

\( \lim\limits_{x \to \infty} \frac{x+1}{x^2} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} · (x+1) = 0 · (x+1) = 0 \)

Der Grenzwert ist 0.

Graph: ~plot~ (x+1)/(x^2) ~plot~

6. Bestimme den Grenzwert von: \( \lim\limits_{x \to \infty} \frac{x}{x+1} \)

Das \( x+1 \) im Nenner müssen wir so umformen, dass ein \( \frac{1}{x} \) entsteht, dazu klammern wir x aus:

\( \lim\limits_{x \to \infty} \frac{x}{x+1} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{ x }{ \color{#00F}{x}·(1+\frac{1}{x}) } \)

Jetzt können wir x im Zähler und Nenner wegkürzen:

\( \lim\limits_{x \to \infty} \frac{ \color{#C00}{x} }{ \color{#C00}{x}·(1+\frac{1}{x}) } = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{ \color{#C00}{1} }{ \color{#C00}{1}·(1+\frac{1}{x}) } = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{ 1 }{ 1+\frac{1}{x} } \)

Wir wissen, dass \( \frac{1}{x} \) gegen 0 verläuft, damit:

\( \lim\limits_{x \to \infty} \frac{ 1 }{ 1 + \color{#00F}{ \frac{1}{x} } } = \frac{1}{1 + \color{#00F}{0} } = 1 \)

Der Grenzwert ist 1.

Graph: ~plot~ (x)/(x+1) ~plot~


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