CHECK: Kurvendiskussion

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1. Eine ganzrationale Funktion dritten Grades schneidet die y-Achse bei y = 7 und hat im Wendpunkt W(1|11) den Anstieg 3. Gib die passende Funktion an.

f(0) = 7 (y-Achsenabschnitt)
f(1) = 11 (Wendepunkt)
f''(1)=0 (Bedingung für Wendepunkt)
f'(1)=3 (Steigung)

Gleichungssystem:
d = 7
a + b + c + d = 11
6a + 2b = 0
3a + 2b + c = 3

Damit ergibt sich also f(x) = x³-3x²+6x+7

2. Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat den relativen Hochpunkt H(1|5) und den Wendepunkt W(2|3).

Gib die passende Funktion an

f(1) = 5
f'(1) = 0
f(2) = 3
f''(2) = 0

Damit ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

a + b + c + d = 5
3a + 2b + c = 0
8a + 4b + 2c + d = 3
12a + 2b = 0

Und folglich: f(x) = x³-6x²+9x+1

3. Eine Parabel dritter Ordnung schneidet die x-Achse bei x1 = 1 hat im Punkt P2(-2|3) ein relatives Extremum und bei x3 = 0 einen Wendepunkt. Gib die passende Funktion an.

f(1) = 0
f(-2) = 3
f'(-2) = 0
f''(0) = 0

Und damit:
a + b + c + d = 0
-8a + 4b - 2c + d = 3
12a - 4b + c = 0
2b = 0

Insgesamt also: f(x) = 1/9x³ - 4/3x + 11/9

4. Eine ganzrationalen Funktion dritten Grades verläuft durch den Ursprung und hat im Wendepunkt W (-1|y) die Tangente mit der Gleichung 2y + 30x - 2 = 0. Gib die passende Funktion an.

Ansatz: y = ax³ + bx² + cx + d

Bedingungen:

f(-1) = 16 (Wendepunkt - y-Wert über Tangente)

f''(-1) = 0 (Bedingung für Wendepunkt)

f'(-1) = -15 (Steigung im WP - über Tangente)

f(0) = 0 (Ursprung)

Damit in den Ansatz (welcher noch abgeleitet werden muss). Es ergibt sich:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d
16 = a·(-1)³ + b·(-1)² + c·(-1) + d

-a + b - c + d = 16

f''(x) = 6·ax + 2·b
-6a + 2b = 0

f'(x) = 3·ax² + 2·bx + c
-15 = 3·a·(-1)² + 2·b·(-1) + c
3a - 2b + c = -15

d = 0

Das LGS gelöst: a = -1, b = -3, c = -18, d = 0

→ f(x) = -x³ - 3x² - 18x


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