CHECK: Potenzfunktionen

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1. Welche Form der Funktionsgleichung ist eine Potenzfunktion?

Potenzfunktionen haben Funktionsgleichungen der Form f(x) = a·xn.

2. Welches ist die Definitionsmenge der Potenzfunktion f(x) = 3·x4?

D = ℝ ist korrekt, denn wir können für x jede beliebige reelle Zahl einsetzen.

3. Welches ist der Wertebereich der Potenzfunktion f(x) = x-1?

W = ℝ\{0} ist korrekt, y kann alle Werte annehmen, außer 0. Siehe Graph:

~plot~ x^(-1) ~plot~

4. An welcher Stelle liegt einer der Schnittpunkte der beiden Potenzfunktionen f(x) = 2·x2 und g(x) = 4·x6?

Berechnung des Schnittpunktes durch Gleichsetzen:

f(x) = g(x)
2·x2 = 4·x6 | - 2·x2
0 = 4·x6 - 2·x2

Ausklammern von x2:

0 = 4·x6 - 2·x2
0 = (4·x4 - 2) · x2

Lösen des Terms in der Klammer. Hinweis: Satz des Nullproduktes.

(4·x4 - 2) = 0 |+2
4·x4 = 2 |:4
x4 = \( \frac{2}{4} \) |\( \pm \sqrt[4]{} \)
x1,2 = \( \pm \sqrt[4]{ 0,5 } \)
x1,2 ≈ ±0,84

~plot~ 2*x^2;4*x^6;{0.84|1.41};[[-2|2|-1|5]] ~plot~

5. wie lautet die Gleichung der Potenzfunktion? Bekannt sind die Punkte P1(2|12) und P2(-1|-1,5).

Kurzer Rechenweg:

Der kürzeste Weg ist, sich die beiden x-Werte der Punkte zu nehmen und in die Antwortmöglichkeiten einzusetzen. Dann stellt man Folgendes fest:
f(x) = 1,5·x3
f(2) = 1,5·23 = 12
f(-1) = 1,5·(-1)3 = -1,5

Langer Rechenweg (formal):

Bestimmen wir also mit dem erlernten Weg die Gleichung der Polynomfunktion:

f(x) = a·xn
P1(2|12) → a·xn = a·2n = 12

f(x) = a·xn
P2(-1|-1,5) → a·xn = a·(-1)n = -1,5

I: a·2n = 12 |:2n
a = 12 : (2n)

II: a·(-1)n = -1,5 |:(-1)n
a = -1,5 : (-1)n

Gleichsetzen:

a = a
12 : (2n) = -1,5 : (-1)n |·2n
12 = -1,5 : (-1)n · 2n
12 = -1,5 · \( \frac{2^n}{ (-1)^n } \)
12 = -1,5 · \( \left( \frac{2}{-1} \right)^n \)
12 = -1,5 · (-2)n |:(-1,5)
12:(-1,5) = (-2)n
-8 = (-2)n |·(-1)
8 = 2n

Wir können hier schon die Lösung ablesen: n = 3

Oder der längere Weg ist es, den Logarithmus anzuwenden:

8 = 2n | log
log(8) = log(2)n
log(8) = n · log(2) |:log(-2)
n = \( \frac{ \log(8) }{ \log(2) } \)
n = 3

Graph:

~plot~ 1,5*x^3;{2|12};{-1|-1.5};[[-3|3|-5|15]] ~plot~


Fortschritt: