CHECK: Potenzfunktionen

1 Welche Form der Funktionsgleichung ist eine Potenzfunktion?

f(x) = a·xⁿ

f(x) = √xⁿ

f(x) = \( \frac{1}{x+1} \)

f(x) = sin(x)

Potenzfunktionen haben Funktionsgleichungen der Form f(x) = a·xⁿ.

2 Welches ist die Definitionsmenge der Potenzfunktion f(x) = 3·x⁴?

D = ℝ\{0}

D = ℝ⁺

D = ℝ^-

D = ℝ

D = ℝ ist korrekt, denn wir können für x jede beliebige reelle Zahl einsetzen.

3 Welches ist der Wertebereich der Potenzfunktion f(x) = x^-1?

W = ℝ\{0}

W = ℝ⁺

W = ℝ^-

W = ℝ

W = ℝ\{0} ist korrekt, y kann alle Werte annehmen, außer 0. Siehe Graph:

~plot~ x^(-1);hide ~plot~

4 An welcher Stelle liegt einer der Schnittpunkte der beiden Potenzfunktionen f(x) = 2·x² und g(x) = 4·x⁶?

x ≈ 0,5

x ≈ 0,84

x ≈ 1

x ≈ 1,24

Berechnung des Schnittpunktes durch Gleichsetzen:

f(x) = g(x)
2·x² = 4·x⁶ | - 2·x²
0 = 4·x⁶ - 2·x²

Ausklammern von x²:

0 = 4·x⁶ - 2·x²
0 = (4·x⁴ - 2) · x²

Lösen des Terms in der Klammer. Hinweis: Satz des Nullproduktes.

(4·x⁴ - 2) = 0 |+2
4·x⁴ = 2 |:4
x⁴ = \( \frac{2}{4} \) |\( \pm \sqrt[4]{} \)
x_1,2 = \( \pm \sqrt[4]{ 0,5 } \)
x_1,2 ≈ ±0,84

~plot~ 2*x^2;4*x^6;{0.84|1.41};[[-2|2|-1|5]];hide ~plot~

5 Wie lautet die Gleichung der Potenzfunktion? Bekannt sind die Punkte P₁(2|12) und P₂(-1|-1,5).

f(x) = 1,5·x^-3

f(x) = 3·x²

f(x) = 1,5·x³

f(x) = 3·x⁵

Kurzer Rechenweg:

Der kürzeste Weg ist, sich die beiden x-Werte der Punkte zu nehmen und in die Antwortmöglichkeiten einzusetzen. Dann stellt man Folgendes fest:
f(x) = 1,5·x³
f(2) = 1,5·2³ = 12
f(-1) = 1,5·(-1)³ = -1,5

Langer Rechenweg (formal):

Bestimmen wir also mit dem erlernten Weg die Gleichung der Polynomfunktion:

f(x) = a·xⁿ
P₁(2|12) → a·xⁿ = a·2ⁿ = 12

f(x) = a·xⁿ
P₂(-1|-1,5) → a·xⁿ = a·(-1)ⁿ = -1,5

I: a·2ⁿ = 12 |:2ⁿ
a = 12 : (2ⁿ)

II: a·(-1)ⁿ = -1,5 |:(-1)ⁿ
a = -1,5 : (-1)ⁿ

Gleichsetzen:

a = a
12 : (2ⁿ) = -1,5 : (-1)ⁿ |·2ⁿ
12 = -1,5 : (-1)ⁿ · 2ⁿ
12 = -1,5 · \( \frac{2^n}{ (-1)^n } \)
12 = -1,5 · \( \left( \frac{2}{-1} \right)^n \)
12 = -1,5 · (-2)ⁿ |:(-1,5)
12:(-1,5) = (-2)ⁿ
-8 = (-2)ⁿ |·(-1)
8 = 2ⁿ

Wir können hier schon die Lösung ablesen: n = 3

Oder der längere Weg ist es, den Logarithmus anzuwenden:

8 = 2ⁿ | log
log(8) = log(2)ⁿ
log(8) = n · log(2) |:log(-2)
n = \( \frac{ \log(8) }{ \log(2) } \)
n = 3

Graph:

~plot~ 1,5*x^3;{2|12};{-1|-1.5};[[-3|3|-5|15]];hide ~plot~