CHECK: Kosinussatz II

Welche der folgenden Formeln ist nicht Bestandteil des Kosinussatzes?

c² = a² + b² - 2·a·b·cos(γ)

b² = a² + c² - 2·a·c·cos(β)

a² = b² + c² - 2·b·c·cos(α)

b² = a² + c² - 2·a·c·cos(γ)

Der Fehler liegt am Winkel im Kosinus. Hier müsste ein β stehen, damit es korrekt ist.

Für was steht der Kosinussatz in einem Dreieck?

Der Kosinussatz stellt eine Beziehung zwischen den drei Seiten eines Dreiecks und dem Kosinus einer der Winkel her.

Der Kosinussatz stellt eine Beziehung zwischen den drei Winkeln eines Dreiecks und einer der Seiten her.

Der Kosinussatz ist die Umkehrung des Sinussatzes.

Bereits gut an der Formel zu sehen:

c² = a² + b² - 2·a·b·cos(γ)

Bestimme β, wenn von einem Dreieck die Seiten a = 4 cm, b = 2 cm und c = 3,7 cm bekannt sind.

β = 27°

β = 28°

β = 28,8°

β = 29,8°

Aus

\( b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·\cos(\beta) \)

ergibt sich

\( β = \cos^{-1}\left( \frac{-b^2 + a^2 + c^2}{2ac}\right) \approx 29,8° \)

Berechne die Länge der fehlenden Seite a. Gegeben sind: b = 6,7 cm, c = 5,9 cm und α = 63,5°.

a = 4,53 cm

a = 5,43 cm

a = 6,67 cm

a = 7,64 cm

Hier bietet sich der Kosinussatz an. Man kann direkt die fehlende Seite berechnen:

a² = b² + c² - 2bc · cos(α)

Einsetzen und Wurzel ziehen:

a = 6,67 cm

Ist das Dreieck rechtwinklig, spitzwinklig oder stumpfwinklig? Die gegebenen Angaben sind: a = 4 cm, b = 3 cm und c = 2 cm.

Spitzwinklig

Rechtwinklig

Stumpfwinklig

Weder noch. Aus den Angaben kann kein Dreieck gebildet werden.

ein Dreieck ist rechwinklig, wenn eine Ecke einen rechten Winkel hat.

ein Dreieck ist spitzwinklig, wenn alle Winkel < 90° sind.

ein Dreieck ist stumpf, wenn ein Winkel > 90° ist.

Der größte Winkel liegt gegenüber der längsten Seite.

Nehmen wir also

α = arccos(b²+c²-a²)/(2bc)

(nach dem Kosinussatz)

α = 104,48°

→ Stumpfwinkliges Dreieck