Lerncheck: Summen
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1. Bestimme den Wert der Summe \( \sum_{n=1}^5 n \)
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
2. Bestimme den Wert der Summe \( \sum_{n=0}^{4} 2^n \)
$$ 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 = \\ 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = \\ 31 $$
Siehe auch Summen und Summenzeichen
3. Bestimme den Wert der Summe \( \sum_{n=0}^{2} \left(\frac12\right)^n \)
$$ \left( {\frac{1}{2}} \right)^0 + \left( {\frac{1}{2}} \right)^1 + \left( {\frac{1}{2}} \right)^2 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} + \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{7}{4} $$
4. Bestimme den Wert der Summe \( \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac12\right)^n \). Tipp: Geometrische Reihe.
Laut geometrischer Reihe haben wir:
$$ \frac{1}{1-\frac12} = \frac{1}{\frac12} = 2 $$
5. Bestimme den Wert der Summe \( \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n \). Tipp: Geometrische Reihe.
Vorsicht. Zur allgemeinen Formel der geometrischen Reihe muss erst eine Indexverschiebung durchgeführt werden.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac12\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac12\right)^n - 1 = 2 - 1 = 1 $$
Dabei wurde die letzte Summe aufgelöst dank geometrischer Reihe:
$$\frac{1}{1-\frac12} = \frac{1}{\frac12} = 2$$
