Lerncheck: Ungleichungen (schwierig)

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1. Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung: |x+3| ≥ |2x+1|

|x+3| ≥ |2x+1|

1. Fall x ≥ -1/2 --> Alles positiv und deshalb Beträge weglassen

x + 3 ≥ 2x + 1 |-x-1

x ≤ 2

Mit der Anfangsbedingung ergibt sich L1: -1/2 ≤ x ≤ 2.

2. Fall

x ≤ -3 --> Alles negativ, deshalb einfach die Vorzeichen umdrehen.

-(x+3) ≥ -(2x+1) |:(-1) (Umdrehen des Zeichens)

x + 3 ≤ 2x + 1

x ≥ 2

Das geht nicht. Denn x soll zum einen kleiner -3 sein, aber gleichzeitig größer 2. Also ist diese Menge leer.

3. Fall. Wir sind im Intervall zwischen den obigen Fällen. Hier ist nur der rechte Teil negativ. Klammern!

Für x -> -3 < x < -1/2

x + 3 ≥ -(2x + 1)

x+3 ≥ -2x - 1

3x ≥ -4

x ≥ -4/3

Wieder mit der Anfangsbedinung ergibt sich L3: -4/3 ≤ x < -1/2

Nun alle Lösungsmengen zusammengefasst → L: -4/3 ≤ x ≤ 2

2. Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung: |x² - 4| ≤ 1

Ohne direkte Fallunterscheidung: einfach die Schnittstellen bestimmen und daraufhin den Bereich, wo die Ungleichung gilt:

x2-4 = 1 I

und

-x2+4 = 1 II

I:

x2 = 5

x = ±√5

II:

x2 = 3

x = ±√3

Offensichtlich gibt es also die Bereiche:

(-∞,-√5), (-√5,-√3), (-√3,√3), (√3,√5) und (√5,∞)

Es reich nun irgendeine Zahl auszuprobieren, da dann alle anderen Bereiche sich ergeben. Am leichtesten ist wohl x=0.

|02-4 | ≤1

4 ≤ 1

Das passt wohl nicht und somit ist (-√3,√3) nicht dem Bereich zugehörig.

Es bleiben damit folgende Intervalle für die die Lösung gilt:

x ∈ [-√5,-√3] und x ∈ [√3,√5]

(Achte darauf, dass die Grenzen selbst innerhalb der Intervalle sind, da es ja ≤ war).

3. Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung: |3x+1| < 11

Der Betrag spielt dann eine Rolle, sobald der Inhalt kleiner 0 wird. Bestimmen wir also, wann wir den Betrag weglassen können:

3x + 1 = 0

3x = -1

x = \( -\frac{1}{3} \)

Für x ≥ -1/3 können wir den Betrag weglassen. Für x < -1/3 muss der Betrag durch eine Minusklammer ersetzt werden.

x ≥ -1/3

3x+1 < 10 | -1

3x < 10 | :3

x < \( \frac{10}{3} \)

→ x < \( \frac{10}{3} \), aber x ≥ -1/3

Für x < -1/3

-(3x+1) < 11

-3x-1 < 11 |+1

-3x < 12 |:(-1) -> Umdrehen des Vorzeichens

x > -4

x < \( -\frac{10}{3} \) aber x > -4

Beides zusammengefügt:

\( -4 < x < \frac{10}{3} \)

Bzw. in Intervallschreibweise: x ∈ ]-4; \( \frac{10}{3} \)[


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