Rechner: Pyramide

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Zwei Werte für die Pyramide eingeben:

Tasten und für Wertänderungen

Rechts daneben stehen die Formeln zum Berechnen einer Pyramide.

a h ha = √(h2 + (a/2)2) s = √(h2 + a2/2) d = √(a²+a²) u = 4·a G = a2 M = 2·a·ha O = a2+2·a·ha V = 1/3·a2·h

Präzision mit 3 Nachkommastellen

Interaktive 3D-Pyramide

+
Vollbild

Hinweis: Der Pyramidenrechner berechnet auch den halben Öffnungswinkel und den Mittelpunktswinkel.

Abbildung:

Pyramide Grafik 3d Quadratische Pyramide

Ergebnisse zum Kopieren:

Alle Pyramideformeln auf einen Blick

Dies sind die notwendigen Formeln zum Berechnen einer quadratischen Pyramide:

pyramide formeln

Link zur Grafik: https://www.matheretter.de/img/wiki/pyramide-formeln.png

Was ist ein Pyramide?

Definition:

Eine quadratische Pyramide (es gibt auch schiefe Pyramide) ist ein geometrischer Körper. Er besteht aus einer quadratischen Grundfläche am Boden und einer umlaufenden Mantelfläche, die aus vier gleichschenkligen Dreiecken besteht. Diese Dreiecke stehen in spitzem Winkel auf der Grundfläche und treffen sich oben in einem Punkt (die Spitze der Pyramide). Da bei diesem Körper Dreiecke, die in rechtwinklige Dreiecke zerlegt werden können, eine wesentliche Rolle spielen, braucht man für die Berechnungen an der Pyramide vor allem den Satz des Pythagoras.

Pyramide mit Flächen - Grafik Pyramide mit Durchmesser - Grafik Pyramide mit Winkel Seitenfläche und Seitenkante - Grafik

Weitere Merkmale einer Pyramide:

  • Der Pyramide hat 5 Einzelflächen (1 Quadrat und 4 Dreiecksflächen), 5 Ecken (inklusive der Spitze) und 8 Seiten (4 Kanten der Grundfläche plus 4 Kanten der Mantelfläche).
  • Die Quadratsfläche am Boden nennt man Grundfläche und die 4 Dreiecksflächen ergeben zusammen die Mantelfläche.
  • Die Pyramide ist achsensymmetrisch zur Pyramidenhöhe, also der Senkrechten, die durch die Pyramidenspitze und den Mittelpunkt der Grundfläche (auch "Fußpunkt" genannt) verläuft.
  • Die Diagonale verläuft diagonal auf der Grundfläche, sie wird über den Satz des Pythagoras berechnet.
  • Die Seitenkanten (auch Mantellinien genannt) sind alle Linien, die sich auf den Kanten der Mantelfläche befinden und von den Ecken der Grundfläche direkt zur Pyramidenspitze führen.
  • Die direkte Strecke vom Mittelpunkt der Grundfläche zur Spitze der Pyramide wird "Höhe der Pyramide" bezeichnet. Die Höhe steht stets senkrecht auf der Grundfläche.
  • Die Höhe ha meint die Strecke, die auf der Seite a steht und direkt zur Pyramidenspitze führt, dabei verläuft sie auf der Mantelfläche.
  • Die Pyramidenoberfläche ergibt sich aus Addition der Grundfläche mit der Mantelfläche.
  • Das Pyramidenvolumen ist der Rauminhalt, der durch die Pyramidenoberfläche begrenzt wird.

Wortherkunft:

Das Wort "Pyramide" kommt vom lateinischen "pyramis" und ging aus dem Ägyptischen hervor (wahrscheinlich "pmr", gesprochen "pimar"). Die Bedeutung des Wortes konnte nicht eindeutig geklärt werden. Die Ägypter nannten Pyramiden "pr.ntr" (gesprochen "per-neter"), wobei "per" Haus bedeutet und "neter" Gott. Demzufolge war mit Pyramide wahrscheinlich ein Gotteshaus gemeint.

Pyramide in anderen Sprachen:

Chinesisch: 棱锥. Dänisch: Pyramide. Englisch: Pyramid. Finnisch: Pyramidi. Französisch: Pyramide. Indonesisch: Limas. Italienisch: Piramide. Latein: Pyramis. Litauisch: Piramidė. Niederländisch: Piramide. Norwegisch: Pyramide. Polnisch: Piramida. Rumänisch: Piramidă. Russisch: Пирамида. Spanisch: Pirámide. Türkisch: Piramit. Ungarisch: Piramis. Vietnamesisch: Hình chóp.

Beispiele aus dem Alltag (Pyramidenform):

Cheops-Pyramide, Dach eines Kirchturms, Küchenreibe, Metronom, Dach eines Partyzeltes, einige Arten von Teebeuteln, Schmuck, Kerzen.

Alle Berechnungsformeln für Pyramiden aus 2 gegebenen Werten

Pyramiden-Umrechnungen - Mögliche Kombinationen und Umformungen
Gegeben 1 Gegeben 2 Seite a
berechenbar
Höhe
berechenbar
Lösungsformel für Seite a
Seite a ist stets direkt berechenbar
Lösungsformel für die Höhe h
Seite a wird als bekannt vorausgesetzt
Seite a Höhe h Seite a gegeben Höhe gegeben Seite a gegeben Höhe h gegeben
Seite a Höhe ha Seite a gegeben ja Seite a gegeben h = √(ha² - /4 )
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Seite a Seitenkante s Seite a gegeben ja Seite a gegeben h = √( s² - /2 )
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Seite a Diagonale d Seite a gegeben nein Seite a gegeben Höhe h nicht berechenbar - Details
Seite a Umfang u Seite a gegeben nein Seite a gegeben Höhe h nicht berechenbar - Details
Seite a Grundfläche G Seite a gegeben nein Seite a gegeben Höhe h nicht berechenbar - Details
Seite a Mantelfläche M Seite a gegeben ja Seite a gegeben h = √( (M/2·a )² - ( a/2 )² )
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Seite a Oberfläche O Seite a gegeben ja Seite a gegeben h = √( (O-a²/2·a )² - ( a/2 )² )
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Seite a Volumen V Seite a gegeben ja Seite a gegeben h = 3·V/
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Höhe h Höhe ha ja Höhe gegeben a = 2·√(ha² - h²)
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Höhe h gegeben
Höhe h Seitenkante s ja Höhe gegeben a = √(2·s² - 2·h²)
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Höhe h gegeben
Höhe h Diagonale d ja Höhe gegeben a = √(d²/2)
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Höhe h gegeben
Höhe h Umfang u ja Höhe gegeben a = u/4
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Höhe h gegeben
Höhe h Grundfläche G ja Höhe gegeben a = √G
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Höhe h gegeben
Höhe h Mantelfläche M ja Höhe gegeben a1,2 = ±√(-√(4·h4+M²)-2·h²)
a3,4 = ±√(√(4·h4+M²)-2·h²)
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Höhe h gegeben
Höhe h Oberfläche O ja Höhe gegeben a1,2 = ±O / √(4·h²+2·O)
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Höhe h gegeben
Höhe h Volumen V ja Höhe gegeben a = 3·V/h
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Höhe h gegeben
Höhe ha Seitenkante s ja ja a = √(-4·ha² + 4·s²)
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h = √(ha² - /4 )
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Höhe ha Diagonale d ja ja a = √(d²/2)
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h = √(ha² - /4 )
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Höhe ha Umfang u ja ja a = u/4
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h = √(ha² - /4 )
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Höhe ha Grundfläche G ja ja a = √G
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h = √(ha² - /4 )
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Höhe ha Mantelfläche M ja ja a = M/(2·ha)
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h = √(ha² - /4 )
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Höhe ha Oberfläche O ja ja a1,2 = -ha ± √(ha² + O)
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h = √(ha² - /4 )
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Höhe ha Volumen V ja ja h³ - ha²·h + (3/4)·V = 0
Komplexe Lösung aufrufen
h = √(ha² - /4 )
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Seitenkante s Diagonale d ja ja a = √(d²/2)
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h = √(s² - /2 )
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Seitenkante s Umfang u ja ja a = u/4
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h = √(s² - /2 )
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Seitenkante s Grundfläche G ja ja a = √G
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h = √(s² - /2 )
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Seitenkante s Mantelfläche M ja ja a1,2 = ±√(2·s² - √(4·s4 - M²))
a3,4 = ±√(2·s² + √(4·s4 - M²))
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h = √(s² - /2 )
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Seitenkante s Oberfläche O ja ja a1,2 = ±√( -√(-O²+4·O·s²+4·s4)+O+2·s²) / √2
a3,4 = ±√( √(-O²+4·O·s²+4·s4)+O+2·s²) / √2
Umformung anschauen Lösung via Wolfram
h = √(s² - /2 )
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Seitenkante s Volumen V ja ja 0 = (-1/18)·a6 + (1/9·s)·a4 + (-V²)
Umformung anschauen Lösung via Wolfram
h = √(s² - /2 )
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Diagonale d Umfang u ja nein a = √(d²/2)
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Höhe h nicht berechenbar - Details
Diagonale d Grundfläche G ja nein a = √(d²/2)
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Höhe h nicht berechenbar - Details
Diagonale d Mantelfläche M ja ja a = √(d²/2)
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h² = (M/(2·a))² - (a/2)²
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Diagonale d Oberfläche O ja ja a = √(d²/2)
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h = √( (O-a²)/(2·a) - (a/2)² )
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Diagonale d Volumen V ja ja a = √(d²/2)
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h = 3·V/a²
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Umfang u Grundfläche G ja nein a = u/4
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Höhe h nicht berechenbar - Details
Umfang u Mantelfläche M ja ja a = u/4
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h² = (M/(2·a))² - (a/2)²
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Umfang u Oberfläche O ja ja a = u/4
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h = √( (O-a²)/(2·a) - (a/2)² )
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Umfang u Volumen V ja ja a = u/4
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h = 3·V/a²
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Grundfläche G Mantelfläche M ja ja a = √G
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h² = (M/(2·a))² - (a/2)²
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Grundfläche G Oberfläche O ja ja a = √G
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h = √( (O-a²)/(2·a) - (a/2)² )
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Grundfläche G Volumen V ja ja a = √G
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h = 3·V/a²
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Mantelfläche M Oberfläche O ja ja a = √(O-M)
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h² = (M/(2·a))² - (a/2)²
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Mantelfläche M Volumen V ja ja 0 = a6 - M²·a² + 36·V²
Umformung anschauen Lösung via Wolfram
h = 3·V/a²
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Oberfläche O Volumen V ja ja a1,2 = ±1/2 · √(O - √(O·(O³ - 288·V²)) / O )
a3,4 = ±1/2 · √(O + √(O·(O³ - 288·V²)) / O )
Umformung anschauen Lösung via Wolfram
h = 3·V/a²
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