Test: Kurvendiskussion

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1. Eine ganzrationale Funktion dritten Grades schneidet die y-Achse bei y = 7 und hat im Wendpunkt W(1|11) den Anstieg 3. Gib die passende Funktion an.

f(0) = 7 (y-Achsenabschnitt)

f(1) = 11 (Wendepunkt)

f''(1)=0 (Bedingung für Wendepunkt)

f'(1)=3 (Steigung)


Gleichungssystem:

d = 7

a + b + c + d = 11

6a + 2b = 0

3a + 2b + c = 3


Damit ergibt sich also f(x) = x³-3x²+6x+7

2. Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat den relativen Hochpunkt H(1|5) und den Wendepunkt W(2|3).

Gib die passende Funktion an
f(1) = 5

f'(1)=0

f(2)=3

f''(2)=0

und das Gleichungssystem deswegen:

a + b + c + d = 5

3a + 2b + c = 0

8a + 4b + 2c + d = 3

12a + 2b = 0

Und folglich: f(x) = x³-6x²+9x+1

3. Eine Parabel dritter Ordnung schneidet die x-Achse bei x1 = 1 hat im Punkt P2(-2|3) ein relatives Extremum und bei x3 = 0 einen Wendepunkt. Gib die passende Funktion an.

f(1)=0

f(-2)=3

f'(-2)=0

f''(0)=0

Und damit:

a + b + c + d = 0

-8a + 4b - 2c + d = 3

12a - 4b + c = 0

2b = 0

Insgesamt also: f(x) = 1/9x³ - 4/3x + 11/9

4. Eine ganzrationalen Funktion dritten Grades verläuft durch den Ursprung und hat im Wendepunkt W (-1|y) die Tangente mit der Gleichung 2y + 30x - 2 = 0. Gib die passende Funktion an.

Ansatz: y = ax³ + bx² + cx + d

Bedingungen:

f(-1) = 16 (Wendepunkt - y-Wert über Tangente)

f''(-1) = 0 (Bedingung für Wendepunkt)

f'(-1) = -15 (Steigung im WP - über Tangente)

f(0) = 0 (Ursprung)

Damit in den Ansatz (welcher noch abgeleitet werden muss). Es ergibt sich:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d
16 = a·(-1)³ + b·(-1)² + c·(-1) + d

-a + b - c + d = 16

f''(x) = 6·ax + 2·b
-6a + 2b = 0

f'(x) = 3·ax² + 2·bx + c
-15 = 3·a·(-1)² + 2·b·(-1) + c
3a - 2b + c = -15

d = 0

Das LGS gelöst: a = -1, b = -3, c = -18, d = 0

→ f(x) = -x³ - 3x² - 18x


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