Test: Lineare Funktionen II

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1. Bestimme die Gleichung der linearen Funktion anhand 2 gegebener Punkte: P(3|2) und S(1|4)

f(x) = -1·x + 5 = y
f(3) = -1·3 + 5 = 2 → S(3|2)
f(1) = -1·1 + 5 = 4 → S(1|4)

1. Zeichne zuerst die Punkte P(3|2) und S(1|4) in ein Koordinatensystem, zeichne dann ein Steigungsdreieck ein

2. Nun benötigst Du die Abstände zwischen den Punkten (einmal für x, einmal für y)
   2a. P(x|y) und S(x|y) → P(3|2) und S(1|4)
   2b. Für y-Distanz: 2 - 4 = -2
   2c. Für x-Distanz: 3 - 1 = 2

3. Jetzt kannst Du die Steigung m ermitteln:
y-Distanz : x-Distanz = -2 : 2 = -1, also m = -1

4a. Normalform der Linearen Funktion lautet: f(x) = m*x + n

4b. Wert für Steigung m in die Formel einsetzen: f(x) = -1 * x + n

5a. Jetzt Punkt P oder S in die Formel einsetzen, nehmen wir P(3|2)

5b. f(x) = -1 * x + n
wird zu f(3) = -1 * 3 + n = 2

5c. Ausrechnen:
-1 * 3 + n = 2
-3 + n = 2 | +3
-3 + 3 + n = 2 + 3
n = 5

6. Abschluss (Wert für m und n in Normalform einsetzen):
f(x) = -1 · x + 5

Das ist die Lösung, die fertige Funktionsgleichung.

2. Wie sieht der Graph der linearen Funktion \( f(x) = \frac{x}{2} + 2 \) aus?

Kennst du die Brüche, dann kannst du wie folgt umformen:

f(x) = x/2 + 2

f(x) = 1 · x/2 + 2

f(x) = 1/2 · x + 2

Da 1/2 dem Wert 0,5 entspricht, kann man auch schreiben: f(x) = 0,5 · x + 2

Man erkennt an der Gleichung, dass die Steigung "einen nach rechts und 0,5 nach oben" ist. Zusätzlich sieht man, dass der y-Achsenabschnitt bei 2 liegt, dort geht der Graph durch die y-Achse.

Wissen und Videos hierzu:
Siehe Lektion Lineare Funktionen in Normalform.

3. Wie zeichnet man die Gerade y = -x +2 ins Koordinatensystem ein?

4. Wie nennt man das m bei der Funktionsgleichung f(x) = m·x + n

Wenn du dich mit linearen Funktionen noch nicht auskennst, schau dir bitte das an:

Keinen Durchblick bei Linearen Funktionen / Linearen Gleichungen

5. Benenne das n in der Funktionsgleichung f(x) = mx + n

6. Wo liegt der Punkt P(1|5) bezüglich der Geraden f(x) = 2x + 3?

Um festzustellen, wo der Punkt liegt, wird der x-Wert in die Funktion eingesetzt.

f(1) = 2·1 + 3 = 5

Der y-Wert entspricht dem y-Wert des Punktes P. Unser Punkt liegt auf der Geraden. Wäre der eingesetzte y-Wert kleiner als der y-Wert des Punktes gewesen, so wäre P unterhalb der Geraden. Respektive darüber, wenn der y-Wert von P größer wäre.

Graph 6 Lösung

7. Wo liegt der Punkt P(4|2) bezüglich der Geraden f(x) = 3x - 9?

Setze den x-Wert des Punktes in die Geradengleichung ein.

f(x) = 3·x - 9
f(4) = 3·4 - 9 = 12 - 9 = 3
→ P2(4|3)

Der y-Wert des geprüften Punktes ist y = 3 und damit größer als der des Punktes P (y = 2). Der Punkt P liegt unterhalb der Geraden.

Graph 7 Lösung

Siehe auch Lektion Lineare Funktionen in Normalform.

8. Wie lautet die Normalform einer Geraden?

9. Kennzeichne die Gerade mit einer Steigung von 45°.

Das ergibt sich aus m = tan(α).

m = tan(α)   | α = 45°
m = tan(45°)
m = 1

Damit kommt nur y = x + 3 in Frage, da die Steigung hier 1·x ist.

Siehe auch Lektion Lineare Funktionen in Normalform und Lektion Tangens.

10. Welche der Antworten bezeichnet eine konstante Funktion?

Diese Funktion ist konstant, da unabhängig von x. Sie ist stets parallel zur x-Achse, wobei a eine beliebige reelle Zahl sein darf.

Siehe Lektion Lineare Funktionen in Normalform.


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