Definitionsmenge einer Funktion

Warum braucht man die Definitionsmenge?

Wenn man sich mit einer Kurvendiskussion befassen will oder auch in anderen Bereichen, so ist es oft notwendig, sich um die Definitionsmenge (auch „Definitionsbereich“) zu kümmern, um sich ein besseres Bild des Graphen machen zu können.

Bei Funktionen stellt sich die Frage, ob für die Funktion f(x) = y für jeden Wert von x auch ein Wert von y entstehen kann, ohne dass ein „nicht definiert“ erscheint.

Wenn wir die Definitionsmenge festlegen, beantworten wir die Frage: „Was dürfen wir für x einsetzen?“

Schauen wir uns ein paar Beispiele an, wo wir genau auf diese Fragestellung treffen:

Beispiel 1: Lineare Gleichung

f(x) = 3·x + 5

Hier haben wir kein Problem. Egal, welchen Wert wir für x einsetzen, wir erhalten stets einen gültigen y-Wert.

Beispiel 2: Wurzel

\( g(x) = \sqrt{x} \)

Hier müssen wir darauf achten, dass Wurzeln nie negativ werden dürfen. Wir müssen also Einschränkungen an x vornehmen um sicherzustellen, dass keine ungültigen Werte herauskommen. Dabei nutzen wir folgende Schreibweise:

\( D = \mathbb R^{+}_{0} \)

Das wird dann gelesen als “alle positiven reellen Zahlen inklusive der 0”, denn auch diese ist erlaubt. Bei Bedarf kann man das auch anders schreiben:

\( D = \{x \in \mathbb R |x \geq 0\} \)

Dabei bedeutet der senkrechte Strich nichts anderes als “mit” oder “unter der Bedingung”.

Beispiel 3: Logarithmus

\( h(x) = \ln(x+3) \)

Bei dem Logarithmus haben wir eine weitere Einschränkung. Hier darf der Numerus nie negativ werden - wie auch bei den Wurzeln - weiterhin ist aber uch der Wert 0 nicht erlaubt. Folglich muss x + 3 > 0 sein und damit x > -3. Das führt dann auf:

\( D = \{x \in \mathbb R |x > -3\} \)

Beispiel 4: Bruch

\( k(x) = \frac{x+1}{x-1} \)

Bei einem Bruch wissen wir, dass wir Probleme haben, sobald der Nenner 0 wird. Das ist hier der Fall für x = 1. Wir müssen x = 1 ausnehmen.

\( D = \mathbb R \backslash\{1\} \)

Der Querstrich \ steht dabei für das Wort „ohne“.

Beispiel: D = ℝ \ {1} heißt alle reellen Zahlen ohne die 1.

\( m(x) = \frac{x-3}{x-3} \)

Auch hier sehen wir sofort, dass x = 3 auf keine Lösung führt, denn dann würde man durch 0 dividieren. Allerdings könnte man hier ja mit x - 3 kürzen und hätte dann m'(x) = 1 stehen.

Es gilt zu beachten, dass die Definitionsmenge immer bezüglich der Ursprungsfunktion zu untersuchen ist. Hier hätte man es also wie direkt gesehen mit D = ℝ \ {3} zu tun und nicht etwa mit D = ℝ.

Man spricht hier übrigens von einer „hebbaren Definitionslücke“.

Ein weiteres Beispiel ist: \( f(x) = \frac{1}{x} \)

Diese Funktion hat als Definitionsmenge: x ∈ ℝ / 0 Das heißt alle reellen Zahlen außer der 0, da 1 : 0 nicht definiert ist (vgl. Division durch Null).