Eulersche Zahl

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Die Eulersche Zahl wurde beim Untersuchen der Zinseszinsrechnung vom Mathematiker Bernoulli entdeckt. Sie hilft uns, die Eulersche Zahl herzuleiten und zu verstehen.

Fragestellung:

Wir zahlen 1 Euro auf unser Bankkonto. Wie viel Guthaben haben wir nach einem Jahr, wenn die Verzinsung 100 % beträgt?

Die Zinseszinsformel lautet:

\( K_n = K_0 · (1 + p)^n \)

Jetzt setzen wir die gegebenen Werte ein: \( K_0 = 1; \space p = 100 \% \)

\( K_n = 1 · (1 + 100 \%)^n \)

Bei unterjähriger Verzinsung ändert sich der Wert von \( p \) zu \( p = \frac{1}{n} \) und damit ergibt sich:

\( K_n = 1 · (1 + \frac{1}{n})^n \)

Das Guthaben bei halbjähriger Verzinsung (\( n = 2 \)) ist nach einem Jahr demnach:

\( K_2 = 1 · (1 + \frac{1}{2})^2 = 2,25 \)

Das Guthaben bei vierteljähriger Verzinsung (\( n = 4 \)) ist nach einem Jahr demnach:

\( K_4 = 1 · (1 + \frac{1}{4})^4 = 2,44140625 \)

Das Guthaben bei täglicher Verzinsung (\( n = 365 \)) ist nach einem Jahr demnach:

\( K_{365} = 1 · (1 + \frac{1}{365})^{365} = 2,71456748202187... \)

Verzinst man jede Stunde, also \( n = 365 · 24 = 8760 \), dann beträgt das Guthaben nach einem Jahr:

\( K_{8760} = 1 · (1 + \frac{1}{8760})^{8760} = 2,71812669162045... \)

Um so größer man den Wert für \( n \) wählt (minütlich, sekündlich usw.), desto näher kommt man der Eulerschen Zahl:

\( e = 2,71828182845904523536... \)

Daraus ergibt sich außerdem die Formel für die Eulersche Zahl mit:

\( e=1+\frac{1}{1}+\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}+\cdots=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k !} \)

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