Transformation von Koordinatensystemen

Lesedauer: 4 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Inhaltsverzeichnis

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  1. Translation
  2. Rotation

Koordinatentransformationen sind vor allem in der Bildverarbeitung von großer Bedeutung. Dazu gehören rotieren, skalieren oder auch entzerren eingescannter Images. Die wichtigsten Transformationen sollen hier betrachtet werden.

Translation

Das Koordinatensystem x, y wird um einen positiven Betrag in x-Richtung (y-Richtung) verschoben (siehe Abbildung).

Abbildung 6 Koordinatensystem Translation
Abbildung 6: Koordinatensystem Translation

Der Punkt P(x, y) des einen Koordinatensystems wird in das verschobene Koordinatensystem transformiert:

\( \begin{array}{l} x` = x - \Delta x \\ \\ y` = y - \Delta y \end{array} \) Gl. 49

Die Translation ist eine winkeltreue Koordinatentransformation.

Rotation

Ein Objekt soll um einen bestimmten Winkel Dj gedreht werden. Diese Transformation der Koordinaten des Punktes P(x,y) ist einer gegensinnigen Drehung des Koordinatensystems um den Winkel Dj gleichbedeutend (siehe Abbildung).

Abbildung 7 Koordinatensystem Rotation
Abbildung 7: Koordinatensystem Rotation

Die neuen Koordinaten des rotierten Punktes P’(x,y) = P(x´,y´) ergeben sich dann durch die Projektionen der alten Koordinaten x, y auf das neue Koordinatensystem x´, y´ (siehe folgende Abbildung):

Abbildung 8 Koordinatensystem rotiert
Abbildung 8: Koordinatensystem rotiert

\( {x`} = x \cdot \cos \left( {\Delta \phi } \right) - y \cdot \sin \left( {\Delta \phi } \right) \) Gl. 50

und analog dazu

\( {y`} = x \cdot \sin \left( {\Delta \phi } \right) + y \cdot \cos \left( {\Delta \phi } \right) \)

Einfacher ist die Ausführung der Rotation in einem Polarkoordinatensystem auszuführen:

\(\alpha ' = \alpha + \Delta \phi \) Gl. 51

und

\(R' = R\)

Die Rotation ist eine abstandstreue Koordinatentransformation.

\(\alpha ' = \alpha + \Delta \phi \) kann durch Anwendung der Transformationsregel \( \begin{array}{l}x = R \cdot \cos \alpha \\ y = R \cdot \sin \alpha \end{array} \) wieder auf die kartesische Darstellung zurückgeführt werden:

\( \begin{array}{l}x' = R \cdot \cos (\alpha + \Delta \phi ) \\ y' = R \cdot \sin (\alpha + \Delta \phi )\end{array} \) Gl. 52

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