Newtonverfahren - Einführung

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Um die Nullstellen eines Polynoms zu finden, welches dritten Grades oder höher ist, hat man keine so einfachen Formeln wie die abc-Formel oder die p-q-Formel zur Verfügung. Dem einen oder anderen mag zwar die Cardanische Formel bekannt sein, doch ist diese oft recht umständlich.

Oft reicht es aus, die Nullstelle eines solchen Polynoms als Näherung anzugeben. Dafür sei hier das Newtonverfahren vorgestellt.

Problemstellung: x³ + 3·x² + 2 = 0

Betrachten wir das Schaubild hierzu:

~plot~ x^3+3x^2+2;[[-4|4|-2|7]];noinput ~plot~

Wir erkennen, dass wir keine „runde“ Nullstelle haben und damit sind Verfahren wie Polynomdivision weniger geeignet, um diese Nullstelle zu finden.

Formel für das Newtonverfahren

Hier kommt nun das Newtonverfahren ins Spiel, welches durch folgende Formel beschrieben wird:

\( x_{i+1} = x_i-\frac{f(x_i)}{f'(x_i)} \)

Kann man sich diese Formel merken, hat man den wichtigsten Teil, um mit dem Newtonverfahren arbeiten zu können.

Schauen wir uns als nächstes eine Beispielrechnung zum Newtonverfahren an.