Zahlenfolgen

Eine Zahlenfolge ist eine Folge von Zahlen, die durch eine vorgegebene Rechenvorschrift gebildet wird.

Der Wert jeder Zahl der Folge ergibt sich aus der vorgegebenen Rechenvorschrift und der Position der Zahl innerhalb der Folge.

Arten von Zahlenfolgen

Es gibt endliche Folgen, das heißt die Anzahl der Zahlen ist beschränkt.

Zum Beispiel mit drei Zahlen („Gliedern“):

Endliche Folge: 1, 2, 3

Und es gibt unendliche Folgen, das heißt die Anzahl der Zahlen ist unbeschränkt. Wir zeigen dies mit drei Punkten am Ende der Auflistung an.

Zum Beispiel:

Unendliche Folge: 1, 2, 3, 4, …

Position der Zahl in der Folge (Index)

Jede Zahl innerhalb der Folge kann mit einem Index (Nummerierung) versehen werden.

Einfaches Beispiel einer Zahlenfolge:

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …

Wir starten immer beim 0. Element (das heißt, das erste Element erhält die Nummer 0 und nicht 1). Schreiben wir den Index (die Nummerierung) unter unser Beispiel:

Zahlen: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …
Index:  0, 1, 2, 3, 4,  5,  6,  7, …

Die Rechenvorschrift der Folge lautet:

„Jede Zahl der Folge wird gebildet, indem man +2 auf den Vorgänger addiert. Der Startwert ist 0.“

Wir erkennen mit Blick auf den Index oben, dass bei dieser Folge der Zahlenwert immer dem verdoppelten Index entspricht. Wollen wir also bspw. den Wert des 20. Gliedes der Folge bestimmen (20. Glied heißt also 20. Zahl der Folge), so rechnen wir einfach 20 · 2 = 40.

Rechenvorschrift einer Zahlenfolge ermitteln

Es gibt Zahlenfolgen, bei denen es einfach ist, die Rechenvorschrift zu ermitteln. Aber es gibt auch Zahlenfolgen, bei den es sehr schwierig ist.

Einfach ist es, wenn zum Nachfolger ein konstanter (fester) Wert hinzuaddiert oder multipliziert wird.

Für diesen Fall bilden wir die Differenz von einem Vorgänger und Nachfolger der Zahlenfolge und erkennen den Unterschiedswert. Diesen können wir dann verwenden, um eine Formel für die Rechenvorschrift aufzustellen.

Beispiele von Zahlenfolgen

  • 2, 4, 6, 8, 10, …
    Hier wird immer +2 gerechnet. Starwert ist 2.
  • 5, 10, 15, 20, 25, 30, …
    Hier wird immer +5 gerechnet. Starwert ist 5.
  • 10, 100, 1000, 10000, 100000, …
    Hier wird immer :10 gerechnet. Starwert ist 10.
  • 2, 4, 9, 18, 23, 46, 51, …
    Hier wird immer abwechselnd ·2 und +5 gerechnet. Starwert ist 2.

    Dahinter steckt also:
    2,   4,   9,  18,   23,   46,   51, …
    -, 2·2, 4+5, 9·2, 18+5, 23·2, 46+5, …

  • 1, 4, 9, 16, 25, 36, …
    Dies sind Quadratzahlen. Jede Zahl wird mit sich selbst multipliziert. Allgemein n·n bzw. n2.

    Dahinter steckt also:
    1,     4,   9,  16,  25,  36, …
    1·1, 2·2, 3·3, 4·4, 5·5, 6·6, …

  • 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
    Die sogenannte „Fibonacci-Folge“. Hier wird der Nachfolger gebildet, indem man die beiden Vorgänger addiert.

    Dahinter steckt also:
    0, 1,   1,   2,   3,   5,   8,  13, …
    -, -, 0+1, 1+1, 1+2, 2+3, 3+5, 5+8, …