AB: Lektion Binomische Formeln (Teil 2)

1.

Nehmen wir statt Zahlen Variablen (also Platzhalter, in die wir beliebige Zahlen einsetzen können). Berechnet diese Aufgaben mit Hilfe der binomischen Formeln.

Beispiellösung:

(x - 8)² = x² - 2·x·8 - 8² = x² - 16·x - 64
(a - b)² = a² - 2·a·b - b²

a)

(x + 7)² = x² + 2·x·7 + 7² = x² + 14·x + 49

b)

(10 - x)² = 10² - 2·10·x + x² = 100 - 20·x + x²

c)

(4·x - y)² = (4·x)² - 2·(4·x)·y + y² = 4·x·4·x - 2·4·x·y + y² = 16·x² - 8·x·y + y²

d)

(x + 10·y)² = x² + 2·x·(10·y) + (10·y)² = x² + 2·x·10·y + 10·y·10·y = x² + 20·x·y + 100·y²

e)

(2 - a·b)² = 2² - 2·(2)·(a·b) + (a·b)² = 4 - 4·a·b + (a·b)·(a·b) = 4 - 4·a·b + a²·b²

f)

(2·x + a·b)² = (2·x)² + 2·(2·x)·(a·b) + (a·b)² = (2·x)·(2·x) + 2·2·x·a·b + (a·b)·(a·b) = 4·x² + 4·x·a·b + a²·b²

g)

(a·2 - a·b)² = (a·2)² - 2·(a·2)·(a·b) + (a·b)² = (a·2)·(a·2) - 2·a·2·a·b + (a·b)·(a·b) = a²·4 - 4·a·a·b + a·b·a·b = 4·a² - 4·a²·b + a²·b²

h)

(x + 3)·(x - 3) = x² - 3²

i)

(x + y)·(x - y) = x² - y²

j)

(2·a + 3·b)·(2·a - 3·b) = (2·a)² - (3·b)²

2.

Faktorisiere (das heißt, du musst die ursprüngliche Form der binomischen Formel wieder herstellen).

Beispiellösung:

x² + 6x + 9 = x² + 2·3·x + 3² = x² + 2·x·3 + 3² = (x + 3)²
a² + 2ab + b² = (a + b)²

a)

25 - 40 + 16 = 5² - 2·5·4 + 4² = (5 - 4)²

b)

x² + 6·x·y + 9·y² = x² + 2·3·x·y + 3·3·y·y = x² + 2·x·3·y + 3·y·3·y = x² + 2·(x)·(3·y) + (3·y)·(3·y) = (x + 3·y)²

c)

100 - 20·x + x² = 10² - 2·10·x + x² = (10 - x)²

Alternativ wäre hier ebenso (-10 + x)² richtig, da beim Auflösen dieser Klammer auch 100 - 20·x + x² herauskommt.

d)

400 - 100·x² = 400 - 10·10·x·x = 20·20 - 10·x·10·x = 20² - (10·x)² = (20 - 10x)·(20 + 10x)

e)

x² - 18·x + 81 = x² - 2·9·x + 9² = (x - 9)²

Alternativ könnte man auf (-x + 9)² als Lösung kommen, da beim Auflösen dieser Klammer tatsächlich auch x² - 18·x + 81 herauskommt.

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