AB: Lektion Binomische Formeln (Teil 2)

1.

Im Folgenden wurden einige Zahlen durch Variablen (also Platzhalter, in die wir Zahlen einsetzen können) ersetzt. Berechne diese Aufgaben mit Hilfe der binomischen Formeln.

Beispiellösung:

(x - 8)² = x² - 2·x·8 - 8² = x² - 16·x - 64
(a - b)² = a² - 2·a·b - b²

a)

(x + 7)² = x² + 2·x·7 + 7² = x² + 14·x + 49

b)

(10 - x)² = 10² - 2·10·x + x² = 100 - 20·x + x²

c)

(4·x - y)² = (4·x)² - 2·(4·x)·y + y² = 4·x·4·x - 2·4·x·y + y² = 16·x² - 8·x·y + y²

d)

(x + 10·y)² = x² + 2·x·(10·y) + (10·y)² = x² + 2·x·10·y + 10·y·10·y = x² + 20·x·y + 100·y²

e)

(2 - a·b)² = 2² - 2·(2)·(a·b) + (a·b)² = 4 - 4·a·b + (a·b)·(a·b) = 4 - 4·a·b + a²·b²

f)

(2·x + a·b)² = (2·x)² + 2·(2·x)·(a·b) + (a·b)² = (2·x)·(2·x) + 2·2·x·a·b + (a·b)·(a·b) = 4·x² + 4·x·a·b + a²·b²

g)

(a·2 - a·b)² = (a·2)² - 2·(a·2)·(a·b) + (a·b)² = (a·2)·(a·2) - 2·a·2·a·b + (a·b)·(a·b) = a²·4 - 4·a·a·b + a·b·a·b = 4·a² - 4·a²·b + a²·b²

h)

(x + 3)·(x - 3) = x² - 3²

i)

(x + y)·(x - y) = x² - y²

j)

(2·a + 3·b)·(2·a - 3·b) = (2·a)² - (3·b)²

2.

Faktorisiere (das heißt, du musst die ursprüngliche Form der binomischen Formel wieder herstellen).

Beispiellösung:

x² + 6x + 9 = x² + 2·3·x + 3² = x² + 2·x·3 + 3² = (x + 3)²
a² + 2ab + b² = (a + b)²

a)

25 - 40 + 16 = 5² - 2·5·4 + 4² = (5 - 4)²

b)

x² + 6·x·y + 9·y² = x² + 2·3·x·y + 3·3·y·y = x² + 2·x·3·y + 3·y·3·y = x² + 2·(x)·(3·y) + (3·y)·(3·y) = (x + 3·y)²

c)

100 - 20·x + x² = 10² - 2·10·x + x² = (10 - x)²

Alternativ wäre hier ebenso (-10 + x)² richtig, da beim Auflösen dieser Klammer auch 100 - 20·x + x² herauskommt.

d)

400 - 100·x² = 400 - 10·10·x·x = 20·20 - 10·x·10·x = 20² - (10·x)² = (20 - 10x)·(20 + 10x)

e)

x² - 18·x + 81 = x² - 2·9·x + 9² = (x - 9)²

Alternativ könnte man auf (-x + 9)² als Lösung kommen, da beim Auflösen dieser Klammer tatsächlich auch x² - 18·x + 81 herauskommt.

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