AB: Lektion Definitionsbereich einer Funktion (Teil 1)

Nachfolgend findest du Aufgaben zur Lektion „Definitionsbereich“, mit denen du dein Wissen testen kannst.

1.

Beantworte die folgenden Verständnisfragen.

a)

Welcher andere Begriff für den Definitionsbereich wird noch verwendet?

Definitionsmenge

b)

Wie wird der Definitionsbereich aufgeschrieben, wenn nur die positiven rationalen Zahlen erlaubt wären?

\( D = \mathbb Q^+ \)

Je nach Definition muss eventuell die Null explizit ausgeschlossen werden, also: \( \mathbb Q^+_{\backslash 0} \)

Alternative Schreibweise hierfür: \( D = \{x \in \mathbb Q|x>0\} \)

c)

Gibt es eine Einschränkung des Definitionsbereichs für f(x) = 2x-5?

Wir haben es mit einer linearen Funktion zu tun. Hier gibt es keine Problemstellen und demnach auch keine Einschränkung des Definitionsbereichs. Demnach:

\( D = \mathbb R \)

d)

Was gilt für den Numerus eines Logarithmus bei der Bestimmung des Definitionsbereichs?

Der Numerus muss positiv sein. Darf also auch den Wert 0 nicht annehmen.

2.

Bestimme den Definitionsbereich (einfach):

a)

f(x) = 3·x-5

\( D = \mathbb R \)

b)

g(x) = 5

\( D = \mathbb R \)

c)

h(x) = 0

\( D = \mathbb R \)

d)

k(x) = 12·x+12

\( D = \mathbb R \)

e)

m(x) = -x

\( D = \mathbb R \)

3.

Bestimme den Definitionsbereich (Wurzeln):

a)

\( f(x) = \sqrt{2x-5} \)

Der Radikand muss größer oder gleich 0 sein. Untersuchen wir das:

\( 2x-5 \geq 0 \\ 2x \geq 5 \\ x \geq 2,5 \)

Für den Definitionsbereich gilt also: \( D = \{x \in \mathbb R|x > 2,5\} \)

Plot im Koordiantensystem:

~plot~ sqrt(2x-5) ~plot~

b)

\( g(x) = \sqrt{758,12} \)

Hier haben wir nur eine Zahl. Deshalb ist \( D = \mathbb R \).

c)

\( h(x) = \sqrt{x^2} \)

Da x² nie negativ wird, haben wir mit dem Radikanden kein Problem und es ist \( D = \mathbb R \).

d)

\( k(x) = \sqrt{4x^2-49} \)

Hier sollten wir direkt die dritte binomische Formel erkennen:

\( 4x^2-49 \geq 0 \\ (2x)^2-7^2 \geq 0 \\ (2x - 7)(2x+7) \geq 0 \)

Nun kann man die Nullstellen ablesen:

x1 = -3,5
x2 = 3,5

Wir brauchen aber nicht die Nullstellen, sondern das Intervall bzw. die Intervalle, bei denen der Radikand größer 0 ist. Am Einfachsten ist hierzu eine Punktprobe zu machen, denn die Intervalle werden durch die Nullstellen begrenzt.

Punktprobe bei x = 0.

4·0 - 49 = -49

Folglich haben wir zwischen den beiden Nullstellen negative Werte. Wir wollen aber positive Werte. Unsere Definitionsmenge ist also für die Intervalle außerhalb zu wählen.

\( D = \{x\in\mathbb R|x\leq-3,5 \lor x\geq3,5\} \)

Dabei steht das \( \lor \) für “oder”, das könnte man auch mit "oder" ausschreiben, wenn man möchte.

Plot im Koordiantensystem:

~plot~ sqrt(4x^2-49) ~plot~

e)

\( m(x) = \sqrt{x^2+x-6} \)

Auch hier bestimmen wir zuallererst die Nullstellen. Mit Hilfe der p-q-Formel kommen wir auf x1 = -3 und x2 = 2.

Eine Punktprobe mit x = 0 ergibt:

-0² - 0 + 6 = 6

So haben wir:

\( D = \{x\in\mathbb R|-3 \leq x \leq 2\} \)

Plot im Koordiantensystem:

~plot~ sqrt(x^2+x-6) ~plot~

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