AB: Kurvendiskussion

Nachfolgend findet ihr Aufgaben zur Kurvendiskussion, mit denen ihr euer Wissen testen könnt.

1.

Diskutiere die Funktion f mit der Gleichung \( f(x) = \frac{1}{2} x^3 - 2x^2 + 4 \). Eine Nullstelle dieser Funktion ist 2.

$$ S_y(0|4); \quad S_{x_1}(2|0); \quad S_{x_2}(3,24|0); \quad S_{x_3}(-1,24|0) \\ H(0|4); \quad T(2,67|-0,74); \quad W(1,33|1,63) $$

Graph 1

2.

Die Funktion f mit \( f(x) = 4x^3 - 5x^2 + 3 \) ist zu diskutieren. Bestimme außerdem die Gleichung der Wendetangente.

Die Nullstelle ist über das Newtonverfahren zu ermitteln.

$$ S_y(0|3); \quad S_{x_1}(-0,63138|0) \\ H(0|3); \quad T(0,83|1,84); \quad W(0,42|2,42) \\ t(x) = -2,08·x + 3,29 $$

Graph 2

3.

Weise für die Funktion f mit \( f(x) = \frac{1}{5}x^4 - \frac{8}{5}x^2 + \frac{16}{5} \) rechnerisch die Symmetrie nach und führe anschließend die vollständige Kurvendiskussion durch.

$$ S_y(0|3,2); \quad S_{x_1}(-2|0); \quad S_{x2}(2|0) \\ H(0|3,2); \quad T_1(-2|0); \quad T_2(2|0); \quad W_1(1,15|1,42); \quad W_2(-1,15|1,42) $$

Graph 3

4.

Diskutiere die Funktion mit der Gleichung \( f(x) = x^4 - 2x^3 \)

$$ S_y(0|0); \quad S_{x_1}(0|0); \quad S_{x_2}(2|0) \\ T(1,5|-1,69); \quad W_1(1|-1); \quad W_2(0|0) \text{ ist Sattelpunkt} \\ t(x) = -2,08·x + 3,29 $$

Graph 4

5.

Untersuche das Verhalten der Funktion f mit \( f(x) = -\frac{1}{9}x^5 + x^3 \) im Unendlichen, ihr Symmetrieverhalten, die Existenz der Nullstellen, die Art der Extrempunkte, die Wendepunkte.

Verhalten im Unendlichen: x → ∞ mit f(x) → -∞ und x → -∞ mit f(x) → ∞

Die Funktion ist punktsymmetrisch.

Nullstellen: \( x_1 = 0; x_2 = 0; \quad x_3 = 0 \)

$$ H(2,32|5,02); \quad T(-2,32|-5,02); \quad W_1(1,64|3,1); \quad W_2(-1,64|-3,1); \quad W_3(0|0) \text{ ist Sattelpunkt} $$

Graph 5

6.

Zeige, dass die Funktionen \( f_a \) mit \( f_a(x) = a·\left( \frac{1}{8}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{4}x - 1 \right) \), wobei a ≠ 0, die gleiche (einzige) Nullstelle haben und dass auch die Wendestelle für die Funktionen \( f_a \) gleich ist. Berechne die Nullstelle und die Wendestelle. Skizziere anschließend die Schar der Graphen \( f_a \).

\( f_a(x) = 0 \) führt wegen a ≠ 0 zu einer Gleichung mit nur der Variablen x, das heißt für alle Funktionen ist \( x_0 = 2,8812 \).

\( f``_a(x) = 0 \) führt wegen a ≠ 0 zu einer Gleichung mit nur der Variablen x, das heißt für alle Funktionen ist \( x_W = \frac{4}{3} \).

Graph 6

7.

Berechne die Extrem- und Wendepunkte der Funktionen \( f_k \) und \( g_t \): $$ f_k(x) = -x^3 + x^2 - k·x + 1 \quad (k ≤ 0) \\ g_t(x) = \frac{1}{2}x^3 - t·x - 2 \quad (t > 0) $$

Funktionen \( f_k \):

Fall 1 mit k = 0: \( T(0|1) \) und \( H\left( \frac{2}{3}|f(\frac{2}{3}) \right) \)

Fall 2 mit k < 0: T bei \( x_1 = \frac{1+\sqrt{1-3k}}{3} \) und H bei \( x_2 = \frac{1-\sqrt{1-3k}}{3} \)

Graph 7f

Funktionen \( g_t \):

Extremstellen sind für den Tiefpunkt \( x_1 = \sqrt{\frac{2}{3}t} \) und für den Hochpunkt \( x_2 = -\sqrt{\frac{2}{3}t} \)

Graph 7g

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