AB: Lektion Exponentialgleichungen (Teil 3)

Wie es die Aufgabenstellung schon besagt, ist hier direkt mit dem Logarithmus zu arbeiten. Vorher ist es jedoch sinnvoll noch zu vereinfachen.

$$ 8 · 7,5^{5x-8} = 450 \qquad |:8 \\ 7,5^{5x-8} = 56,25 \qquad | log \\ \log(7,5^{5x-8}) = log(56,25) \qquad | \text{ mit } \log(ab) = b · \log(a) \\ (5x-8) · log(7,5) = log(56,25) \qquad | :log(7,5) \\ 5x-8 = \frac{\log(56,25)}{\log(7,5)} \qquad | +8 \\ 5x = \frac{\log(56,25)}{\log(7,5)} + 8 \qquad | :5 \\ x = (\frac{\log(56,25)}{\log(7,5)} + 8) : 5 $$

Mit dem Taschenrechner errechnet sich x ≈ 2.

$$ \frac{1}{2·4^x} - 3 = 0 \qquad |+3 \\ 12·4^x = 3 \qquad | ·2·4^x \\ 1 = 6·4^x \qquad | :6 \\ \frac{1}{6} = 4^x \qquad | \log \\ \log( \frac{1}{6} ) = \log( 4^x ) \qquad | \log(a^b) = b · \log(a) \\ \log( \frac{1}{6} ) = x · \log(4) \qquad | \text{ mit } \log( ab ) = \log(a)-\log(b)\text{ und } :\log(4) \\ \log( 1 ) - \log( 6 ) = x · \log(4) \qquad |:\log(4) \\ x = \frac{\log(1) - \log(6)}{\log(4)} \qquad | \text{ mit } \log(1) = 0, \text{ da } 10^0 = 1 \\ x = \frac{-\log(6)}{\log(4)} $$

Mit dem Taschenrechner ergibt sich ein Näherungswert von x ≈ -1,2925.

3 · 2^x+3 = 64 · 3^x-2   | log

log(3 · 2^x+3) = log(64 · 3^x-2)   | Regel log(a · b) = log(a)+log(b)

log(3) + log(2^x+3) = log(64) + log(3^x-2)   | Regel log(a^b) = b · log(a)

log(3) + (x+3)·log(2) = log(64) + (x-2)·log(3)

log(3) + x · log(2) + 3·log(2) = log(64) + x · log(3) - 2·log(3)   | Sortieren

log(3) + 3·log(2) - log(64) + 2·log(3) = x · log(3) - x · log(2)

3·log(3) + 3·log(2) - log(64) = x·(log(3) - log(2))   | :(log(3)-log(2))

\( x = \frac{3·log(3) + 3·log(2) - log(64)}{log(3) - log(2)} \)

Mit dem Taschenrechner ergibt sich x = 3

(2 - 5^x)² = (5^x - 3)²   | Binomische Formel

4 - 2 · 2 · 5^x + 5^2x = 5^2x - 2 · 3 · 5^x + 9   | -5^2x

4 - 4 · 5^x = -6 · 5^x + 9   | +6 · 5^x -4

2 · 5^x = 5   | :2

5^x = 2,5   | log

log(5^x) = log(2,5)

x · log(5) = log(2,5)   | :log(5)

\( x = \frac{log(2,5)}{log(5)} \)

Mit dem Taschenrechner ergibt sich ein Näherungswert von x ≈ 0,569

2^6x+2 = 12   | log

log(2^6x+2) = log(12)

(6x+2)·log(2) = log(12)  | :log(2)

6x+2 = \( \frac{log(12)}{log(2)} \)   | -2

6x = \( \frac{log(12)}{log(2)} - 2 \)   | :6

x = \( (\frac{log(12)}{log(2)} - 2) · \frac{1}{6} \)

Mit dem Taschenrechner ergibt sich ein Näherungswert von x ≈ 0,264

3^4x-1 = 2^x   | log

log(3^4x-1) = log(2^x)

(4x-1)·log(3) = x · log(2)   | - x·log(2)

4x · log(3) - log(3) - x · log(2) = 0   | +log(3)

4x · log(3) - x · log(2) = log(3)   | x ausklammern

x·(4·log(3) - log(2)) = log(3)   | :(4·log(3) - log(2))

\( x = \frac{log(3)}{4·log(3)-log(2)} \)

Mit dem Taschenrechner ergibt sich ein Näherungswert von x ≈ 0,297

3 · 7^2x-3 = 16   | :3

7^2x-3 = \( \frac{16}{3} \)   | log

log(7^2x-3) = log(\( \frac{16}{3} \))

(2x-3)·log(7) = log(\( \frac{16}{3} \))   | :log(7)

2x-3 = log(\( \frac{16}{3} \)) : log(7)   | +3

2x = log(\( \frac{16}{3} \)) : log(7) + 3   | :2

x = (log(\( \frac{16}{3} \)) : log(7) + 3) : 2

Mit dem Taschenrechner ergibt sich ein Näherungswert von x ≈ 1,930

2^x+9 = 16^x   | log

log(2^x+9) = log(16^x)

(x+9)·log(2) = x·log(16)

(x+9)·log(2) = x·log(2⁴)

x·log(2) + 9·log(2) = 4·x·log(2)   | - x·log(2)

9 log(2) = 4·x·log(2) - x·log(2)

9 log(2) = 3·x·log(2)   | :( 3·log(2) )

9 log(2) :( 3·log(2) ) = x

x = 3

Diese Aufgabe hätte man auch gut mit dem Exponentenvergleich lösen können, wenn man 16^x = (2⁴)^x = 2^4x schreibt und mit der linken Seite vergleicht.